表７ 检验统计量
分布类型 二项分布
Ｄ值 ０．００６５０８
正态性检验结果
检验概率
Ａ２ 值
０．１５
０．３３７１９８
检验概率 ０．１８２３
Ｗ２ 值 ０．０５３０３３
检验概率 ０．２５
泊松分布
０．００７８４８
０．１３９
０．４４１２１５
０．２５
０．０６８１４８
０．２５
表８ 统计量类型
分布类型 二项分布
均值 –０．００５６８
!Ｘｎ "为：
!１
Ｘｎ ＝ ０
!ｎ ＞０．５ !ｎ ＜０．５
一般来说， !ｎ ＝０．５ 的情况基本不会发生（ 本次实验证实
了这点） ， 显然这样定义的随机变量序列 !Ｘｎ "服从 Ｂ（１，０．５）。
至表 ６ 给出了检验的结果， 在 ０．０５ 的显著性水平下， 表 ４ 的 结论是标准化变量序列 Ｙｎ＊ 服从正态分布， 表 ６ 得出的结论 是表 ５ 中的均值与 ０ 以及方差与 １ 无显著差异， 即德莫 弗—拉 普 拉 斯 中 心 极 限 定 理 在 ｐ 为 ０．５ 时 得 到 了 验 证 。 另 外， 图 ４ 给出了本次模 拟 １００００ 个 标 准 化 随 机 变 量 序 列 Ｙｎ＊ 的分布情况， 从直观上也证实了定理的正确性， 当然也可以 模拟 ｐ 取其它值的情形。
表１
检验统计量 分布类型
Ｄ值
均匀分布
０．００７１０８
正态性检验结果
检验概率
Ａ２ 值
检验概率
Ｗ２ 值
０．１５
０．４１２３６
０．２５
０．０６４０２９
检验概率 ０．２５
泊松分布
０．００５６５８
０．１５
０．３８８１６
０．２５
０．０４４９２９
０．２５
指数分布 表２
统计量类型 分布类型
均匀分布 泊松分布 指数分布 表３
表４ 检验统计量
分布类型
Ｄ值
正态性检验结果
检验概率
Ａ２ 值
检验概率
Ｗ２ 值
检验概率
二项分布 ０．００７６４７
０．１５
０．３４３４８７
０．２５
０．０５４７７５
０．２５
表５ 统计量类型
分布类型 二项分布
均值 –０．００６５６
描述性统计量
方差
偏度
１．００３２６
–０．０２０５４
峰度 ０．０２６８３
级差 ７．９４４３４
＊
布下标准化随机变 量 序 列 Ｙｎ 都 服 从 正 态 分 布 ， 表 ２ 的 结 果 显示每种分布下的均值与 ０ 非常接近， 而方差与 １ 也相差 无几。为了进一步检验每种分布下的均值是否为 ０， 方差是
＊
否为 １， 再对各个分布下的序列 Ｙｎ 进行均值和方差检验， 检 验结果见表 ３， 显然在 ０．０５ 的显著性水平下， 都 可 以 接 受 均 值为 ０、方差为 １ 的结论， 从而最终可以认为， 当林德贝格— 列维中心极限定理的求和变量个数为 １００００ 时 ， 随 机 变 量 序 列 分 别 服 从［０， １］上 的 均 匀 分 布 、参 数 都 为 １ 的 泊 松 分 布 和指数分布时， 模拟结果证实了该定理的正确性。
发 生 器 分 别 产 生［０， １］上 的 均 匀 分 布 、参 数 都 为 １ 的 指 数 分
布和泊松分布随机变量序列 !Ｘｎ "各 １００００ 个， 然后求和得
到 Ｙｎ， 在 三 种 特 定 分 布 下 ， Ｙｎ 的 期 望 分 别 为 ５０００、１００００、 １００００， 方差 分 别 为 ２５００／３、１００００、１００００， 再 对 进 行 标 准 化 ， 即减去期望再除以标准差， 从而得到一个标准化随机变量
＊
Ｙｎ 。当这样的实验模拟 １００００ 次时， 每种分布下都能得到
＊
１００００ 个标准化随机变量序列 Ｙｎ ， 对每种分布下得到的序
＊
列 Ｙｎ 调用 ＳＡＳ 中的 Ｕｎｉｖａｒｉａｔｅ 过程进行正态性检验， 检验 统 计 量 有 Ｋｏｌｍｏｇｏｒｏｖ 的 Ｄ 统 计 量 、Ａｎｄｅｒｓｏｎ－ Ｄａｒｌｉｎｇ 的 Ａ２ 统计量和 Ｃｒａｍｅｒ－ ｖｏｎ Ｍｉｓｅｓ 的 Ｗ２ 统计量 ， 表 １ 给 出 了 正 态 性检验结果， 表 ２ 给出了几个常用的描述性统计量。显然表 １ 的 正 态 性 检 验 结 果 表 明：在 显 著 性 水 平 为 ０．０５ 时 ， 三 种 分
表６
均值和方差的检验结果
均值检验统计量值
检验概率
方差检验统计量值
检验概率
均匀分布
－ ０．６４９１５１
０．５１６３
１００３１．３６
０极 限 定 理 的 模 拟 为了模拟该定理， 本文使用服从泊松分布和二项分布 下的随机变量， 为了满足不同分布的要求，在构造时使分布 参数值每次都在变化， 参数值与其出现的顺序相同， 即分别 有 Ｘｎ∽Ｐ（ｎ）和 Ｘｎ∽Ｂ（ｎ，ｐ）， 两 种 分 布 下 求 和 变 量 个 数 分 别 为 １０００００ 和 １００００， 模拟次数都为 １００００ 次。可以验证它们满
均匀分布 泊松分布 指数分布
０．００８６９７ 均值
０．０６６７
０．６１３１８
０．１１２７
几个描述性统计量
０．０８１２０５
方差
偏度
锋度
０．２０７６ 级差
０．００２６３
０．９９４２８
–０．０４２２２
–０．０２８６１
０．００３１５
０．９９５３６
–０．０１１２３
–０．１１３０８
–０．０１０６７
１．００３２４
·６·
统计教育
２００７ 年第 ２ 期
中心极限定理的蒙特卡罗模拟分析
文／ 江海峰
摘要： 本文采用蒙特卡罗模拟技术， 选取几个常用随机 变量分布类型来产生随机变量序列并对结果进行检验， 模 拟和检验结果证实了 ３ 个中心极限定理的正确性。
关键词： 中心极限定理； 蒙特卡罗； 模拟分析
一、问题的引出
中心极限定理在数理统计居于重要位置， 证明比较复 杂，现行教材一般只给出定理的内容，这难免破坏了定理的 完整性， 那么能否用一个实验来模拟从而给读者以直观的 感觉呢？ 蒙特卡罗模拟技术为解决这类问题提供了一种途 径。本文将使用该技术来模拟常见的 ３ 个中心极限定理， 采 用 ＳＡＳ９．０ 系统承担本文模拟。因篇幅所限， 略去 模 拟 使 用 的程序。
二、３ 个中心极限定理的模拟
１、林 德 伯 格 — 列 维 中 心 极 限 定 理 的 模 拟 该定理所要求的条件是随机变量为独立同分布序列， 具有期望和有限的方差， 对于随机变量序列的分布类型没 有作要求， 从理论上说任何满足条件的随机变量序列都适 用 该 定 理 ， 不 失 一 般 性 ， 本 文 使 用 均 匀 分 布 、指 数 分 布 和 泊 松分布加以模拟， 求和随机变量的个数 ｎ 和每种分布下的 模拟 实 验 次 数 都 为 １００００。 为 了 产 生 三 种 分 布 的 随 机 变 量 序列， 使用 ＳＡＳ 系统中的 Ｕｎｉｆｏｒｍ、Ｒａｎｅｘｐ 和 Ｒａｎｐｏｉ 随机数
几个描述性统计量
方差
偏度
１．００７２４５
－ ０．００４８９２７
锋度 － ０．００４７７４１
级差 ７．７７６３７
泊松分布
–０．００７２２
１．００５１９
–０．０５１９１
–０．００４０２
７．３５２１８
表９
二项分布 泊松分布
均值和方差的检验结果
均值检验统计量值
检验概率
方差检验统计量值
０．５７４６０７
０．５６５６
０．０１３７１
０．０５６０２
均值和方差的检验结果
均值检验统计量值
检验概率
方差检验统计量值
０．２６０２５５
０．７９４７
９９４１．０５９
０．３１６０３４
０．７５２０
９９５２．５９２
－ １．０５００７１
０．２９３７
１００３１．３６
７．３６４７３ ７．２８００ ８．１１５９４
检验概率 ０．３４２４ ０．３７３０ ０．４０７８
总第 ８９ 期
统计新论
·７·
２、德 莫 弗 — 拉 普 拉 斯 中 心 极 限 定 理 的 模 拟
取 求 和 变 量 个 数 ｎ＝３００００， 将 这 个 实 验 模 拟 １００００ 次 ， 表 ４
调用 ＳＡＳ 中的 Ｕｎｉｆｏｒｍ 随机 数 发 生 器 产 生［０， １］上 的 均
匀 分 布 序 列 !!ｎ "， 然 后 以 ０．５ 为 界 限 ， 定 义 随 机 变 量 序 列
量服从其它分布的情况限于篇幅， 这里就不再分析了。
作者单位： 安徽工业大学经济学院统计系 （责任编辑： 曾鸿）
足定理所要求的条件， 表 ７ 给出了本次模拟正态性检验结 果， 表明了由两种分布下产生的随机变量按照定理要求处 理后新随机变量序列的确服从正态分布； 表 ８ 给出了几个 常见的描述性统计量， 显然均值和方差都分别比较接近 ０ 和 １， 而表 ９ 的检验说明了均值为 ０ 而方差为 １， 从而李雅 普洛夫中心极限定理在这两种分布下得到验证。
１００７１．４４
－ ０．７１７７３２
０．４７２９
１００５１．１２
检验概率 ０．３０３０ ０．３５４７
三、基本结论
通过本文蒙特卡罗模拟研究表明， 在所选取了几种常 见的分布类型情况下， 三个中心极限定理得到了很好的验 证， 虽然不同分布类型对求和变量个数要求不尽相同， 但只 要满足定理的条件， 都能得到理想的模拟结果， 对于随机变