武汉市硚口区2019-2020 年八年级上期中数学试卷含答案解析一、选择题（共10 小题，每小题 3 分，满分30 分）1．在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是( )A ．B．C．D．2．如图，过△ ABC 的顶点 A ，作 BC 边上的高，以下作法正确的是( )A ．B．C．D．3．以下列每组长度的三条线段为边能组成三角形的是( )A ． 2、3、 6B． 2、 4、 6C． 2、 2、 4D． 6、 6、 64．如图，点 P 是∠ BAC 的平分线 AD 上一点， PE⊥ AC 于点 E．已知 PE=3 ，则点 P 到 AB 的距离是 ( )A ． 3 B． 4 C． 5D． 65． BD 是锐角等腰△ ABC 腰上的高，∠A=40 °，则∠ CBD 的度数为 ( )A ． 25°B ． 30°C． 20°D． 50°6．如图，将两根钢条AA ′、 BB ′的中点 O 连在一起，使AA ′、 BB ′可以绕着点O 自由转动，就做成了一个测量工件，由三角形全等得出 A ′B′的长等于内槽宽AB ；那么判定△OAB ≌△ OA ′B′的理由是 ( )A ．边角边B．角边角C．边边边D．角角边7．如图，在 3×3 的正方形网格中由四个格点 A ， B ，C， D，以其中一点为原点，网格线所在直线为坐标轴，建立平面直角坐标系，使其余三个点中存在两个点关于一条坐标轴对称，则原点是 ( )A ． A 点B．B 点C．C 点D．D 点8．如图，△ ABC 中，∠ ABC ，∠ ACB 的角平分线交于点 O，过 O 点作 MN ∥BC 分别交AB ， AC 于 M ， N 两点， AB=7 ， AC=8 ，CB=9 ，则△AMN 的周长是 ( )A ． 14 B． 16 C． 17D． 159．如图，平面上到两两相交的三条直线a、 b、 c 的距离都相等的点一共有( )A ． 1 个 B． 4 个 C． 2 个 D． 3 个10．如图，∠ AOB=30 °， M ， N 分别是边 OA ， OB 上的定点， P、Q 分别是边 OB ，OA 上的动点，记∠ AMP= ∠ 1，∠ ONQ= ∠ 2，当 MP+PQ+QN 最小时，则关于∠ 1，∠ 2 的数量关系正确的是 ( )A ．∠ 1+∠ 2=90°B． 2∠ 2﹣∠ 1=30°C． 2∠ 1+∠ 2=180 °D．∠ 1﹣∠ 2=90°二、填空题（共 6 小题，每小题 3 分，满分 18 分）11．点 M （ 1， 2）关于 x 轴对称的点的坐标为__________ ．12．从一个多边形的一个顶点出发，可以作7 条对角线，则它是__________ 边形，它的内角和为 __________ ，外角和为 __________．13．如图，点 D 在 AC 的垂直平分线上，AB ∥ CD，若∠ D=130 °，则∠ BAC 的度数是__________．14．如图，△ ABC 中，∠ ACB=90 °， CD 是高，若∠ A=30 °， BD=1 ，则 BC=__________ ，AD=__________ ．15．如图，动点P 从（ 0， 3）出发，沿所示方向运动，每当碰到长方形OABC 的边时反弹，反弹后的路径与长方形的边的夹角为45°，第 1 次碰到长方形边上的点的坐标为（3，0），则第 3 次碰到长方形边上的点的坐标为__________，第次碰到长方形边上的点的坐标为__________ ．16．如图，在平面直角坐标系中，已知 A （ 0， 4）， B（ 2，0），在第一象限内的点C，使△ ABC 为面积最小的等腰直角三角形，则点 C 的坐标为 __________ ，最小面积为__________．三、解答题（共8 小题，满分72 分）17．如图， AB ∥ CD，∠ A=45 °，且 OC=OE ，求∠ C 的度数．18．一个等腰三角形的两条边长分别为 5 和 10，求这个三角形的周长．19．如图，点 B 、C、 E、 F 在同一直线上，BC=EF ， AC ⊥ BC 于点 C， DF⊥ EF 于点 F，AC=DF ．求证：（1）△ ABC ≌△ DEF；（2） AB ∥ DE．20．如图，点 E 在 AB 上，∠ CEB= ∠ B ．∠ ACD= ∠ ECB ，∠ D= ∠ A ，求证： CD=CA ．21．已知△ABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示．（1）画出△ ABC 关于 y 轴对称的△ AB 1C1；并写出 B1的坐标；（2）将△ABC 向右平移8 个单位，画出平移后的△ A1B2C2，并写出B2的坐标；（3）在（ 1）、（ 2）的基础上，写出△ AB1C1与△A1B2C2有怎样的位置关系？（4）在 y 轴上有一点P，使得 PB+PC 最小，请画出点P，（用虚线保留画图的痕迹）22．如图，等腰 Rt△ABC 中，∠ ACB=90 °， CA=CB ，点 D 在 AB 上， AD=AC ， BE⊥直线CD 于 E（1）求∠ BCD 的度数；（2）求证： CD=2BE ；（3）若点 O 是 AB 的中点，请直接写出三条线段CB 、 BD 、 CO 之间的数量关系．23．已知点 E 在等边△ ABC 的边 AB 上，点 P 在射线 CB 上， AE=BP（1）如图 1，求证： AP=CE ；（2）如图 2 ，求证： PE=EC ；（3）如图 3，若 AE=2BE ，延长 AP 至点 M 使 PM=AP ，连接 CM ，求证： CM=CE ；24． CO 是△ ACE 的高，点B 在 OE 上， OB=OA ， AC=BE（1）如图 1，求证：∠ A=2 ∠ E；（2）如图 2， CF 是△ ACE 的角平分线．①求证： AC+AF=CE ；②判断三条线段CE、 EF、 OF 之间的数量关系，并给出证明．-学年八年级（上）期中数学试卷一、选择题（共10 小题，每小题 3 分，满分30 分）1．在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是( )A ．B．C．D．【考点】轴对称图形．【分析】根据轴对称图形的概念求解．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．【解答】解： A 、是轴对称图形，故 A 符合题意；B、不是轴对称图形，故 B 不符合题意；C、不是轴对称图形，故 C 不符合题意；D、不是轴对称图形，故 D 不符合题意．故选： A ．【点评】本题主要考查轴对称图形的知识点．确定轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．2．如图，过△ ABC 的顶点 A ，作 BC 边上的高，以下作法正确的是( )A ．B．C．D．【考点】三角形的角平分线、中线和高．【分析】根据三角形高线的定义：过三角形的顶点向对边引垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线解答．【解答】解：为△ ABC 中 BC 边上的高的是 A 选项．故选 A ．【点评】本题考查了三角形的角平分线、中线、高线，熟记高线的定义是解题的关键．3．以下列每组长度的三条线段为边能组成三角形的是( )A ． 2、3、 6 B． 2、 4、 6 C． 2、 2、 4 D． 6、 6、 6 【考点】三角形三边关系．【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行分析．【解答】解：根据三角形的三边关系，知A、 2+3＜ 6，不能组成三角形；B、 2+4=6，不能组成三角形；C、 2+2=4，不能组成三角形；D、 6+6＞ 6，能够组成三角形．故选 D ．【点评】此题考查了三角形的三边关系．判断能否组成三角形的简便方法是看较小的两个数的和是否大于第三个数．4．如图，点 P 是∠ BAC 的平分线 AD 上一点， PE⊥ AC 于点 E．已知 PE=3 ，则点 P 到 AB 的距离是 ( )A ． 3 B． 4 C． 5D． 6【考点】角平分线的性质．【分析】已知条件给出了角平分线、 PE⊥ AC 于点 E 等条件，利用角平分线上的点到角的两边的距离相等，即可求解．【解答】解：利用角的平分线上的点到角的两边的距离相等可知点P 到 AB 的距离是也是3．故选： A ．【点评】本题主要考查了角平分线上的一点到角的两边的距离相等的性质．做题时从已知开始思考，想到角平分线的性质可以顺利地解答本题．5． BD 是锐角等腰△ ABC 腰上的高，∠A=40 °，则∠ CBD 的度数为 ( )A ． 25°B ． 30°C． 20°D． 50°【考点】等腰三角形的性质．【分析】根据已知可求得两底角的度数，再根据三角形内角和定理不难求得∠DBC 的度数．【解答】解：∵ AB=AC ，∠ A=40 °，∴∠ ABC= ∠ ACB=70 °∵BD 是 AC 边上的高，∴BD ⊥ AC ，∴∠ CBD=90 °﹣ 70°=20 °．故选 C．【点评】本题主要考查等腰三角形的性质，解答本题的关键是会综合运用等腰三角形的性质和三角形的内角和定理进行答题，此题难度一般．6．如图，将两根钢条AA ′、 BB ′的中点 O 连在一起，使AA ′、 BB ′可以绕着点O 自由转动，就做成了一个测量工件，由三角形全等得出 A ′B′的长等于内槽宽AB ；那么判定△OAB ≌△ OA ′B′的理由是 ( )A ．边角边B．角边角C．边边边D．角角边【考点】全等三角形的应用．【分析】由于已知 O 是 AA ′、 BB ′的中点 O，再加对顶角相等即可证明△ OAB ≌△【解答】解：△ OAB 与△ OA ′B′中，∵AO=A ′O，∠ AOB= ∠ A ′OB ′， BO=B ′O，∴△ OAB ≌△ OA ′B′（ SAS ）．故选 A ．【点评】此题主要考查全等三角形的判定方法，此题利用了SAS ，做题时要认真读图，找出有用的条件是十分必要的．7．如图，在3×3 的正方形网格中由四个格点 A ， B ，C， D，以其中一点为原点，网格线所在直线为坐标轴，建立平面直角坐标系，使其余三个点中存在两个点关于一条坐标轴对称，则原点是 ( )A ． A 点B．B 点C．C 点D．D 点【考点】关于 x 轴、 y 轴对称的点的坐标；坐标确定位置．【分析】以每个点为原点，确定其余三个点的坐标，找出满足条件的点，得到答案．【解答】解：当以点 B 为原点时，A （﹣ 1，﹣ 1）， C（1，﹣ 1），则点 A 和点 C 关于 y 轴对称，符合条件，故选： B．【点评】本题考查的是关于x 轴、 y 轴对称的点的坐标和坐标确定位置，掌握平面直角坐标系内点的坐标的确定方法和对称的性质是解题的关键．8．如图，△ ABC 中，∠ ABC ，∠ ACB 的角平分线交于点 O，过 O 点作 MN ∥BC 分别交AB ， AC 于 M ， N 两点， AB=7 ， AC=8 ，CB=9 ，则△AMN 的周长是 ( )A ． 14 B． 16 C． 17D． 15【考点】等腰三角形的判定与性质；平行线的性质．【分析】根据角平分线的定义可得∠ABO= ∠ OBC，再根据两直线平行，内错角相等可得∠OBC= ∠ BOM ，从而得到∠ABO= ∠ BOM ，根据等角对等边的性质可得BM=OM ，同理可得 CN=ON ，然后求出△ AMN 的周长 =AB+AC ，代入数据进行计算即可．【解答】解：∵ OB 平分∠ ABC ，∴∠ ABO= ∠ OBC，∵MN ∥BC ，∴∠ OBC= ∠ BOM ，∴∠ ABO= ∠ BOM ，∴BM=OM ，同理可得 CN=ON ，∴△ AMN 的周长 =AM+MO+ON+AN=AM+BM+CN+AN=AB+AC，∵A B=7 ， AC=8 ，∴△ AMN 的周长 =7+8=15 ．故选： D．【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，用到的知识点是等角对等边，两直线平行，内错角相等，熟记性质是解题的关键．9．如图，平面上到两两相交的三条直线a、 b、 c 的距离都相等的点一共有( )A ． 1 个 B． 4 个 C． 2 个 D． 3 个【考点】角平分线的性质．【分析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等解答即可．【解答】解：如图，到三条直线a、 b、c 的距离都相等的点一共有 4 个．故选 B ．【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟记性质是解题的关键，作出图形更形象直观．10．如图，∠ AOB=30 °， M ， N 分别是边 OA ， OB 上的定点， P、Q 分别是边 OB ，OA 上的动点，记∠ AMP= ∠ 1，∠ ONQ= ∠ 2，当 MP+PQ+QN 最小时，则关于∠ 1，∠ 2 的数量关系正确的是 ( )A ．∠ 1+∠ 2=90° B． 2∠ 2﹣∠ 1=30° C． 2∠ 1+∠ 2=180 ° D．∠ 1﹣∠ 2=90°【考点】轴对称 -最短路线问题．【分析】如图，作 M 关于 OB 的对称点 M ′，N 关于 OA 的对称点 N ′，连接 M ′N′交 OA于Q，交 OB 于 P，则 MP+PQ+QN 最小，根据外角的性质得到∠ 1= ∠O+ ∠OPM ，∠OPM= ∠ 1﹣∠ O= ∠ 1﹣ 30°，由轴对称的性质得到∠ OPM= ∠OPM ′，∠ OPM ′=∠ QPN，于是得到∠ QPN= ∠ 1+30°，由于∠ 3=∠ O+∠ 2=30 °+∠ 2，∠ NQN ′=∠QPN+ ∠2= ∠ 1﹣30°+∠2，∠ QPN=2∠ 3，即可得到结论．【解答】解：如图，作 M 关于 OB 的对称点 M ′， N 关于 OA 的对称点 N′，连接 M ′N′交 OA 于 Q，交 OB 于 P，则 MP+PQ+QN 最小，∵∠ 1=∠ O+∠ OPM ，∴∠ OPM= ∠ 1﹣∠ O= ∠1﹣ 30°，∵∠ OPM= ∠ OPM ′，∠ OPM ′=∠ QPN ，∴∠ QPN= ∠1+30°∵∠ 3=∠ O+∠ 2=30°+∠ 2，∠ NQN ′=∠ QPN+∠ 2=∠1﹣ 30°+∠ 2，∠ QPN=2 ∠ 3，∴∠ 1﹣ 30°+∠ 2=2（ 30°+∠ 2），∴∠ 1﹣∠ 2=90°．故选 D ．【点评】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，三角形的外角的性质，正确的作出图形是解题的关键．二、填空题（共 6 小题，每小题 3 分，满分 18 分）11．点 M （ 1， 2）关于 x 轴对称的点的坐标为（1，﹣ 2）．【考点】关于 x 轴、 y 轴对称的点的坐标．【分析】利用关于 x 轴对称点的性质，关于x 轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数．即点P（ x， y）关于 x 轴的对称点P′的坐标是（ x，﹣ y）．【解答】解：点 M （ 1， 2）关于 x 轴对称的点的坐标为：（1，﹣ 2）．故答案为：（ 1，﹣ 2）．【点评】此题主要考查了关于x 轴对称点的性质，正确记忆横纵坐标关系是解题关键．12．从一个多边形的一个顶点出发，可以作7 条对角线，则它是十边形，它的内角和为1440°，外角和为360°．【考点】多边形的对角线；多边形内角与外角．【分析】根据 n 边形从一个顶点出发可引出（n﹣ 3）条对角线，可得n﹣ 3=7，求出 n 的值，再根据 n 边形的内角和为（ n﹣ 2） ?180°，代入公式就可以求出内角和，根据多边形的外角和等于 360°即可求解．【解答】解：设多边形有n 条边，则n﹣ 3=7 ，解得 n=10，故它是十边形，它的内角和为（10﹣2） ?180°=1440°，外角和等于360°．故答案为：十，1440°，360°．【点评】本题考查了多边形的对角线，多边形的内角和及外角和定理，是需要熟记的内容，比较简单．13．如图，点 D 在 AC 的垂直平分线上，AB ∥ CD，若∠ D=130 °，则∠ BAC 的度数是25°．【考点】线段垂直平分线的性质；平行线的性质．【分析】由点 D 在 AC 的垂直平分线上，根据线段垂直平分线的性质，可得AD=CD ，又由∠ D=130 °，即可求得∠ DCA 的度数，然后由 AB ∥ CD，根据平行线的性质，求得∠ BAC 的度数．【解答】解：∵点 D 在 AC 的垂直平分线上，∴AD=CD ，∵∠ D=130 °，∴∠ DAC= ∠ DCA=25 °，∵AB ∥ CD ，∴∠ BAC= ∠ DCA=25 °．故答案为： 25°．【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质、平行线的性质以及等腰三角形的性质．注意垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．14．如图，△ ABC 中，∠ ACB=90 °， CD 是高，若∠ A=30 °， BD=1 ，则 BC=2 ， AD=3 ．【考点】含 30 度角的直角三角形．【分析】根据三角形内角和定理求出∠ B=60 °，∠ BCD=30 °，根据含 30°角的直角三角形性质求出 BC ，再求出 AB ，即可得出答案．【解答】解：∵在△ACB 中，∠ ACB=90 °，∠ A=30 °，∴∠ B=60 °，∵CD 是高，∴∠ CDB=90 °，∴∠ BCD=30 °，∵BD=1 ，∴BC=2BD=2 ，∴AB=2BC=4 ，%AD=4 ﹣ 1=3 ．故答案为： 2， 3．【点评】本题考查了三角形内角和定理和含30°角的直角三角形性质的应用，能根据含30°角的直角三角形性质得出BC=2BD 和 AB=2BC 是解此题的关键．15．如图，动点 P 从（ 0， 3）出发，沿所示方向运动，每当碰到长方形OABC 的边时反弹，反弹后的路径与长方形的边的夹角为45°，第 1 次碰到长方形边上的点的坐标为（3，0），则第 3 次碰到长方形边上的点的坐标为（8， 3），第次碰到长方形边上的点的坐标为（1， 4）．【考点】律型：点的坐．【】律型；探究型．【分析】根据形可以直接写出第 3 次碰到方形上的点的坐，然后再根据意画出形察律，从而可以得出次碰到方形上的点的坐．【解答】解：根据意，如下示：根据形可知，第 3 次碰到方形上的点的坐（8， 3）；通上察可知，每碰撞 6 次回到始点．∵÷6=335 ⋯5，∴第次碰到方形上的点的坐（1， 4）．故答案：（ 8， 3），（ 1，4）．【点】本考探究性的，关是根据意画出符合要求的形，找出其中的律．16．如，在平面直角坐系中，已知 A （ 0， 4）， B（ 2，0），在第一象限内的点C，使△ ABC 面最小的等腰直角三角形，点 C 的坐（ 3， 3），最小面5．【考点】等腰直角三角形；坐与形性．【分析】分别从当∠ ABC=90 °， AB=BC 时，当∠ BAC=90 °， AB=AC 时与当∠ ACB=90 °，AC=BC 时去分析求解，利用全等三角形的判定与性质，即可求得点 C 的坐标和三角形的面积．【解答】解：当∠ ACB=90 °， AC=BC 时，过点 C 作 CD ⊥ y 轴于 D， CE⊥ x 轴于 E．∵∠ BCA= ∠ DCE=90 °，∴∠ ACD= ∠ BCE ，在△ ACD 与△ BCE 中，，∴△ ACD ≌△ BCE （ AAS ），∴CD=CE=OE ， AD=BE ，∵AB= =2 ，∴AC=AB= ，2 2 2∵CE +（ CE﹣ 2）=AC =10，解得 CE=3 或﹣ 1（不合题意舍去）．则点 C 坐标为（ 3，3），∴S△ABC =S 正方形OECD﹣S△ABO =3×3﹣=5．故答案为：（ 3， 3）， 5．【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质，勾股定理，坐标与图形的性质，熟练掌握等腰直角三角形的性质是解题的关键．三、解答题（共8 小题，满分72 分）17．如图， AB ∥ CD，∠ A=45 °，且 OC=OE ，求∠ C 的度数．【考点】等腰三角形的性质；平行线的性质．【分析】利用平行可求得∠ DOE ，结合等腰三角形和外角的性质可求得∠C．【解答】解：∵AB ∥ CD ，∴∠ DOE= ∠ BAE=45 °，∵OC=OE ，∴∠ C=∠ E，又∠ DOE=2 ∠ C，∴∠ C=22.5°．【点评】本题主要考查等腰三角形的性质及平行线的性质，掌握等边对等角是解题的关键，注意外角性质的利用．18．一个等腰三角形的两条边长分别为 5 和 10，求这个三角形的周长．【考点】等腰三角形的性质；三角形三边关系．【分析】分 5 是腰长与底边长两种情况讨论，由三角形的三边关系和三角形的周长求解即可【解答】解：① 5 是腰长时，三角形的三边分别为5、 5、 10，∵5+5=10 ，∴此时不能组成三角形；② 5 是底边长时，三角形的三边分别为5、10、 10，此时能组成三角形，所以，周长 =5+10+10=25 ．综上所述，这个等腰三角形的周长是25．【点评】本题考查了等腰三角形的性质、三角形的三边关系、三角形周长的计算；熟练掌握等腰三角形的性质，分情况讨论是解决问题的关键．19．如图，点 B 、C、 E、 F 在同一直线上，BC=EF ， AC ⊥ BC 于点 C， DF⊥ EF 于点 F，AC=DF ．求证：（1）△ ABC ≌△ DEF；（2） AB ∥ DE．【考点】全等三角形的判定与性质；平行线的判定．【专题】证明题．【分析】（1）由 SAS 容易证明△ABC ≌△ DEF ；（2）由△ABC ≌△ DEF ，得出对应角相等∠ B=∠ DEF ，即可得出结论．【解答】证明：（ 1）∵ AC ⊥ BC 于点 C，DF ⊥ EF 于点 F，∴∠ ACB= ∠ DFE=90 °，在△ ABC 和△ DEF 中，，∴△ ABC ≌△ DEF （ SAS）；（2）∵△ ABC ≌△ DEF ，∴∠ B=∠ DEF ，∴AB ∥ DE ．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的判定；熟练掌握全等三角形的判定与性质，证明三角形全等是解决问题的关键．20．如图，点 E 在 AB 上，∠ CEB= ∠ B ．∠ ACD= ∠ ECB ，∠ D= ∠ A ，求证： CD=CA ．【考点】全等三角形的判定与性质．【专题】证明题．【分析】如图，首先证明∠ACB= ∠ DCE，这是解决问题的关键性结论；然后运用AAS 公理证明△ ABC ≌△ DEC ，即可解决问题．【解答】证明：∵∠ B= ∠ CEB，∴CE=CB ，∴∠ ACB= ∠ ECB ，∴∠ ACD+ ∠ ACE= ∠ ECB+ ∠ACE ，即∠ DCE= ∠ACB ，在△ CAB 与△ CDE 中，，∴△ CAB ≌△ CDE （ AAS ），∴CD=CA ．【点评】该题主要考查了全等三角形的判定及其性质的应用问题；解题的关键是牢固掌握全等三角形的判定方法，这是灵活运用、解题的基础和关键．21．已知△ABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示．（1）画出△ ABC 关于 y 轴对称的△ AB 1C1；并写出 B1的坐标；（2）将△ABC 向右平移8 个单位，画出平移后的△ A1B2C2，并写出B2的坐标；（3）在（ 1）、（ 2）的基础上，写出△ AB1C1与△A1B2C2有怎样的位置关系？（4）在 y 轴上有一点P，使得 PB+PC 最小，请画出点P，（用虚线保留画图的痕迹）【考点】作图 -轴对称变换；轴对称-最短路线问题；作图-平移变换．【分析】（1）画出△ ABC 关于 y 轴对称的△ AB 1C1，并写出 B 1的坐标即可；（2）画出平移后的△ A 1B2C2，并写出 B2的坐标即可；（3）根据△ AB 1C1与△A 1B2C2在坐标系内的位置即可得出结论；（4）连接 CB1 交 y 轴于点 P，则 P 点即为所求．【解答】解：（ 1）如图所示， B 1（ 3， 2）；（2）如图所示， B2（ 5， 2）；（3）由图可知△ AB 1 C1与△ A 1B2C2关于直线 x=4 对称；（4）如图，点 P 即为所求点．【点评】本题考查的是作图﹣轴对称变换，熟知图形轴对称的性质是解答此题的关键．22．如图，等腰 Rt△ABC 中，∠ ACB=90 °， CA=CB ，点 D 在 AB 上， AD=AC ， BE⊥直线CD 于 E（1）求∠ BCD 的度数；（2）求证： CD=2BE ；（3）若点 O 是 AB 的中点，请直接写出三条线段CB 、 BD 、 CO 之间的数量关系．【考点】全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质得出∠A=45 °，利用等腰三角形进行解答即可；（2）作 AH ⊥ CD 于 H，根据全等三角形的判定和性质解答即可；（3）过 D 作 DH ⊥BC 于点 H，利用等腰直角三角形的性质证得Rt△COD ≌ Rt△ CHD ，得出 CH=CO ，进一步利用性质求得BC=CH+BH=CO+BD 即可．【解答】解：（ 1）∵等腰Rt△ABC 中，∠ ACB=90 °，CA=CB ，∴∠ A= ∠ CBA=45 °，∵AD=AC ，∴∠ ACD=67.5 °，∴∠ BCD=90 °﹣∠ ACD=22.5 °；（2）作 AH ⊥ CD 于 H，如图：∵BE ⊥直线 CD 于 E， AC=AD ，∴CD=2CH ，∠ BEC= ∠ AHC=90 °，∵∠ BCE+ ∠ DCA= ∠HAC+ ∠ DCA=90 °，∴∠ BCE= ∠ CAH ，在△ CBE 与△ACH 中，，∴△ CBE ≌△ ACH （ AAS ），∴CH=BE ，即CD=2CH=2BE ；（3）如图，过D 作 DH ⊥ BC 于点 H，由（ 1）可知∠ BCD=22.5 °，∵O 是 AB 的中点，∴∠ BCO=45 °，∴∠ DCO= ∠ BCO=22.5 °，∴DO=DH ，在Rt△ COD 和 Rt△ CHD 中，，∴R t △ COD ≌ Rt△ CHD ，∴C H=CO ，∴∠ DBH=45 °，∠ DHB=90 °，∴BH=BD ，∴BC=CH+BH=CO+BD ．【点评】此题考查全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，利用等腰三角形的角度与边之间的关系是解决问题的关键．23．已知点 E 在等边△ ABC 的边 AB 上，点 P 在射线 CB 上， AE=BP（1）如图 1，求证： AP=CE ；（2）如图 2，求证： PE=EC；（3）如图 3，若 AE=2BE ，延长 AP 至点 M 使 PM=AP ，连接 CM ，求证： CM=CE ；【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质．【分析】（1）根据等边三角形的性质和全等三角形的判定和性质证明即可；（2）在 AC 上截取 AM=AE ，连接 EM ，利用全等三角形的判定和性质解答即可；（3）在 PB 上截取 PN=PC，利用全等三角形的判定和性质解答即可．【解答】证明：（ 1）∵等边△ ABC ，∴A B=AC ，∠ BAC= ∠ B=60 °，在△ ABP 与△CAE 中，，∴△ ABP ≌△ CAE （ SAS），∴AP=CE ；（2）在 AC 上截取 AM=AE ，连接 EM ，如图 2：∵AM=AE ，∠ A=60 °，∴△ AEM 是等边三角形，∴B E=AB ﹣ AE=AC ﹣ AM=CM ，∴EM=AE=PB ，∠ EMC= ∠ EBP=120 °，在△ PBE 与△ EMC 中，，∴△ PBE≌△ EMC （SAS），∴P E=CE ；（3）在 PB 上截取 PN=PC，如图 3：在△ MPC 与△ NPA 中，，∴△ MPC ≌△ NPA （ SAS），∴MC=AN ，∵A E=2BE ，由（ 1）得 BP=2PC，由 BP=BN+PN=BN+PC=2PC ，∴BN=PC ，在△ ABN 与△ ACP 中，，∴△ ABN ≌△ ACP ，（SAS ），∴A P=AN ，∵A P=EC ，MC=AN ，∴CM=CE ．【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．24． CO 是△ ACE 的高，点B 在 OE 上， OB=OA ， AC=BE（1）如图 1，求证：∠ A=2 ∠ E；（2）如图 2， CF 是△ ACE 的角平分线．①求证： AC+AF=CE ；②判断三条线段 CE、 EF、 OF 之间的数量关系，并给出证明．【考点】全等三角形的判定与性质．【分析】（1）连接 CB ，根据等腰三角形的性质和三角形的外角性质解答即可；（2）①在 CE 上截取 CH=CA ，连接 FH ，利用全等三角形的判定和性质解答即可；② 根据全等三角形的性质进行解答即可．【解答】证明：（ 1）连接 CB，由 AO=OB ，CO⊥ AB ，∴CA=CB ，∴∠ A= ∠ CBA ，∵A C=BE ，∴BE=CB ，∴∠E=∠BCE ，∴∠ A= ∠ CBA= ∠ BCE+ ∠E=2 ∠ E；（2）①在 CE 上截取 CH=CA ，连接 FH ，∵∠ ACF= ∠ ECF， CF=CF，在△ FCA 与△ FCH 中，，∴△ FCA ≌△ FCH ，∴A F=HF ，∠ A= ∠ CHF= ∠ HFE+ ∠ E=2∠E，∴∠ HFE= ∠ E，∴A F=HE ，即CE=CH+HE=CA+AF ；②在① 的基础上， BE=AC ， AO=OB ，∴C E=CA+AF=BE+AO+OF=EF﹣ FB+OB+OF=EF+OF+OF=EF+2OF ．【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质和等腰三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质；证明三角形全等是解决问题的关键．。