uuv r
磁矩: Pm IS
uuv
r
( N匝 Pm NIS )
5
四. 磁介质
磁介质中的高斯定理:

B
ds


(B0

B)

ds

0
s
s

磁介质中的安培环路定理: H dl I传 ( L包围)
磁场强度：
r H

r B

6
电磁感应
1. 感应电动势
法拉第电磁感应定律 d
B 0I1
2πx
dF

BI2dl

0 I1I 2dl
2πx
dx dl cos
dF 0I1I2 dx 2 π cos x
y
r B
r
r
r dF
dF
r dFy
I1 dF r
dFx
d

r I2dl
x
O
dx Lcos
21
F = dF 0I1I2 dLcos dx
定理得
uuv B2

0
2
v uv j r2
j在P点产生的磁感应强度为
R
r1
P r2
O
O’
uuv B1

0
2
v uv j r1
所以，P点磁感应强度为 BP

uuv B1
uuv B2

0
2
v uv j r1
0
2
v uv j r2
d由OO指向O’O’ 故，空心部分为大小和方
)
19
练习5 如图所示，一根长直导线与一等边三角形线圈 ABC 共面放置，
三角形高为 h ，AB 边平行于直导线，且与直导线的距离为 b ，三角形线
圈中通有电流 I=I0sinωt，电流 I 的方向如箭头所示，求直导线中的感生 电动势。
A
解答提示
I
设长直导线为线圈 1，三角形回路为线圈 2 ，
C
并设长直导线通过电流为 I1, 求三角形回路磁通量φ： B
d BdS 0I 2 (b h r)dr 2 r 3
b
h
O
r
r

d

0 I1 3
bh (b h br
1)dr

0 I1 3
(b

h)
ln(
b
b
h
)

h
M 21
I1 I1
0 3
(b
h) ln(b b

0
2
v uv j (r1
uv r2 )
向均不变的均匀磁场， 得证

0
v uv jd
2
17
例4 如图，已知无限长载流直导线中通有电流I=I(t)，与其共面
的矩形导体线框以速度 vr 垂直于载流直导线向右运动，求矩
形导体线框中的感应电动势 i ？
解法一:分别考虑动生电动势和感生电动势
解：在x处取宽度为dx的无限载流窄长条；其电流
dI dx
其在 P 点的磁感应强度为：
y
dB 0dI / 2 (L d x ) 方向：
整个载流金属板在 P 点的磁场
o
B dB

0L
2
0dx
(L d

x
)
dx
P
dx
0 ln d L , 2 d
方向：
x
O
dx Lcos
22
6. 一细而薄的圆柱面长为l、半径为a，其上均匀带电， 面电荷密度为。若圆柱面以恒定的角加速度绕 中心轴转动，若不计边缘效应，试求：
(1) 圆柱壳内磁场的磁感应强度 (2) 圆柱壳内电场的强度 (3) 圆柱壳内的磁场能和电场能
解：(1)圆柱面内的磁场可按长直螺线管计算，即
2 π cos d
x
(L)

0 I1I 2 2 π cos
ln

d

L cos
d

讨论：（1） 0
F

0 I1I2
2π
ln

d
d
L

（2） 2
F 0I1I2 L
2π d
y
r B
r
r
r dF
dF
r dFy
I1 dF r
dFx
d

r I2dl
h)
h
12
M
di2 dt
M
dI dt
0I0 3
(b

h)
ln(
b
b
h
)

h

cos
t.
20
练习 长为 L 载有电流 I2 的导线与电流为 I1 的长直导线 放在同 一平面内（如图），求作用在长为L 的载流导线上的磁场力。
r rr 解： dF I2dl B dF I2Bdl
根据对称性分析：
rr Fx 0 F Fy j
y
rC
Idl
r
d
Bo
r Bv dF
I
Ax
Fy dFy dF sin
12
F dFy dF sin
BIdl sin
因 dl rd
π
F BIr0 sin d
BI 2r
r
y
dF
rC
ds

0,
无源场;
s

2. 安培环路定理 : B dl 0 I
L
( L包围)
有旋场;
4
三. 磁场力 1. 运动电荷受力:
F

qv
B
2. 电流元受力:


dF Idl B F LIdl B
r r r uuv r
3. 载流线圈受磁力矩: M IS B Pm B
大学物理习题课
——磁学部分
1
稳恒磁场与电磁相互作用
一.
磁感应强度
B
的计算
r
1)
叠加法或积分法 : 电流元的磁场分布dBr
0 4
Idl rˆ r2

2) 应用安培环路定理 : B dl 0 Ii内
L
(L)
3) 典型磁场 : 长直导线的磁场:
B

0 I 4 r
(cos1
L
11
r 例强2度为如图Br 的一通均有匀电磁流场中I，、导半线径平为面与的磁半感圆强形度导B线r 放垂在直磁。感求应磁
场作用于导线的力。
解： r r r
dF Idl B
r
dF
dF IBdl
dFx dF cos IBdl cos
dFy dF sin IBdl sin
4R
8R
(B) 0I , 方向为e ；0I ，方向为e
2R
4R
(D) 0I , 方向为；0I ，方向为
8R
4R
答案: (A)
R
O
R
B 0I
O
2R 2
10
1. 在 xy 平面内,有一宽度为 L 的无限长载流薄金属板,
沿 x 方向单位长度上的电流（线电流密度）为 。
试求: x 轴上 P 点的磁感应强度的大小和方向;
Idl
r
d
Bo
r B
I
Ax
r
r
r
F BI 2r j BI AB j
AB 为缺口的长度
13
3. 一半径为R的无限长导体圆柱，在离轴线d处挖去 半径为r0(r0<d)的无限长小圆柱，两圆柱的轴线互相 平行，余下部分沿轴向流过均匀的电流密度。求:
(1) 大圆柱轴线上的磁感应强度；
(2) 空圆柱轴线上的磁感应强度；
r,(r

R)
B 0I 1 , (r R) 2 r
B 0 (r 0) 3
通电螺线管:
B
1 2
0
nI
(cos

2
cos1)
( 有限长轴线上 )
B 0nI ( 无限长管内任一点 )
B

1 2
0nI
( 半限长面中心处 )
二.磁场的性质
1.
高斯定理
:

B
dt
（掌握符号规则）
动生电动势 感生电动势
动ab

(b) (v
B)

d
l （搞清两个夹角）
(a)
Ñ 感ab
rr
v B
v
Ek d l
r
S
dS t
Ek : 感生电场（非保守场）
7
2. 自感和互感
L
I
L

L
dI dt
Wm

1 2
LI 2
3. 磁场能量
(B) 0I
4R
(D) 0I 0I 4R 4 R
答案: (C)
R O
P
9
练习2. 将两条无限长的直导线分别从中间部分弯成 半径为R的半圆弧和1/4圆弧，如图所示，当通以电 流I时，圆心O处的磁感应强度为( )：
( A) 0I ,方向为；0I ，方向为e
4R
8R
(C) 0I ,方向为e ；0I ，方向为e

vc
0 I 2 a

vc
0I 2 (a b)
vc
0 I 2