θn
=
arc
tan 2ζγ n
1
−
γ
2 n
γn
=
nω ωn
a0 2k
代表着平衡位置;
当 a0 作用于系统上所产生的静变形
2
上节课内容的回顾
2. 任意激励下系统的响应——冲击
一般的有阻尼自由振动的运动方程式: x = e−ζωnt ( A sin ωd t + B cosωd t )
同时，由于冲击产生的初始条件为: x 0 = 0 and
合并后：
22
第2章 多自由度系统的振动
3. 多自由度的无阻尼振动
m1&x&1 + (k1 + m2&x&2 − k2 x1
Байду номын сангаас
k2 )x1 + (k2
− +
kk32)xx22==00⎬⎫⎭
?我们感兴趣的是m1和m2是否能以相同的频率和相角 但不同的振幅作简谐振动
假设在振动两个质量按同样频率和相位角作简谐振动。
如果耦合项均为零时，方程组便成为两个独立的单自由 度系统自由振动的微分方程。
第2章 多自由度系统的振动
3.
x1 x2
多自由度的无阻尼振动
&x&1 + ax1 −
= =
AA12ssiinn((ωωtt++θθ))⎫⎭⎬
&x&2 − cx1 +
代入运动微分方程组可得
bx2 dx2
= =
0⎫ 0⎭⎬
9
第2章 多自由度系统的振动
1. 引言
• 船舶作为一个刚体，具有六个自由度；在研究总纵强度时， 只考虑船舶的升沉运动和纵摇运动，即约束四个自由度，可 视为两自由度系统(z，θy )。
10
第2章 多自由度系统的振动
1. 引言
• 一般来说，工程上各种机械都是由杆、梁、板、壳或其他元 件组成的复杂的弹性结构，理论上都是无限自由度系统。
−
ω
2 2
⎫ ⎪⎪ ⎬ ⎪ ⎪⎭
v1
=
1 b
⎡ ⎢
a
⎢⎣
−d 2
+
⎜⎛
a
−
d
⎟⎞2
+
⎤ bc ⎥
>
⎫ 0⎪
⎝2⎠
⎥⎦ ⎪⎪
⎬
v2
=
1 b
⎡ ⎢
a
⎢⎣
−d 2
−
⎜⎛
a
−
d
⎟⎞2
+
⎤ bc ⎥
<
⎪ 0⎪
⎝2⎠
⎥⎦ ⎪⎭
o说明系统以频率ω1振动时，质量与总是按同一个方向运动， o而以频率ω2振动时，则按相反方向运动。
∞ n=1
(an
cos
nωt
+
bn
sin
nωt)
上节课内容的回顾
1. 周期激励下系统的响应
∑ ∑ x(t) = a0
2K
+ ∞ an n=1 K
Hn
(nω)
cos(nωt
−θn
)
+
∞ n=1
bn K
Hn (nω) sin(nωt −θn )
Hn (nω) =
1
(1− γ n )2 + (2ζγ n )2
( ) [ a − ω2 A1 − bA2 ]sin (ω t +θ ) = 0 sin(ωt+θ)不恒等于零
[−cA1 + (d − ω2 ) A2 ]sin(ω t + θ ) = 0
所以：
(a −ω 2
− cA1 +
) A1 − bA2 =
(d − ω 2 ) A2
0 =
⎪⎫ 0⎬⎪⎭
25
第2章 多自由度系统的振动
取两物体为研究对象，物体离开 其平衡位置的位移用x1、x2表示。 在水平方向的受力如图示，由牛顿 第二定律得
m1&x&1 = −k1x1 + k2 (x2 − x1) m2&x&2 = −k2 (x2 − x1) − k3x2
18
第2章 多自由度系统的振动
自由振动微分方程
：
m1&x&1 + (k1 + m2&x&2 − k2 x1
x& 0
=
Fˆ m
对于上述初始条件，产生的有阻尼自由振动响应为：
x
=
Fˆ
mωd
e −ζωn t
sin ωd t
上节课内容的回顾
2. 任意激励下系统的响应
∫ x(t) = 1
mωd
t o
f
(τ )e−ζωn (t−τ ) sin ωd (t −τ )dτ
上节课内容的回顾
2. 任意激励下系统的响应
在（0，t1）时间间隔内受到突加的矩形脉冲力作用
• 对于这些具有分布质量无限多自由度系统，往往要对质量和 弹性体进行离散化处理，即转化为有限个自由度系统。
11
第2章 多自由度系统的振动
1. 引言
• 至于取多少个自由度，可根据工程上实际所要求的精度来确 定，广义坐尽可能取在能反映结构特征的那些点上，以便更 好的逼近实际的动挠度曲线。
12
多自由度系统的特点：
=0 ⎫ = 0⎬⎭
为了书写简便，引入符号：
a = K1 + K2 b = K2 c = K2 d = K1 + K2
m1
m1
m2
m2
&x&1 &x&2
+ ax1 − cx1
− +
bx2 dx2
= =
0⎫ 0⎭⎬
这是二阶常系数性齐次联立微分方程组。第一个方程中
包含-bx2项，第二个方程中包含-cx1项，称为耦合项。
Δ(ω 2 ) = ω 4 − (a + d )ω 2 + (ad − bc) = 0
该方程唯一确定了频率ω所需满足的条件，
26
称为频率方程或特征方程
第2章 多自由度系统的振动
Δ(ω 2 ) = ω 4 − (a + d )ω 2 + (ad − bc) = 0
频率方程是ω2的二次代数方程，它的两个特征根为
第2章 多自由度系统的振动
¾ 固有频率
ω12
和
ω
2 2
称为振动系统的固有频率。较低的一个称为第一阶固有频 率，简称基频。较高的一个称为第二阶固有频率。
28
第2章 多自由度系统的振动
¾ 固有振型
将特征值 ω12 和 ω22 分别代回方程组
(a −ω 2
− cA1 +
) A1 − bA2 =
(d − ω 2 ) A2
各个自由度彼此相互联系，某一自由度的振动往 往导致整个系统的振动。
运动微分方程的变量之间通常相互耦合，需要求 解联立方程。
第2章 多自由度系统的振动
2. 运动微分方程的建立
• 两个自由度是最简单的多自由度系统，从单自由度系统到两 自由度系统，振动的性质和研究的方法有质的不同，但从两自 由度系统到更多自由度系统的振动，无论是模型的简化、振动 的微分方程的建立和求解的一般方法，以及系统响应表现出来 的振动特性等，没有本质上的差别，而主要是量上差别，
与ω1对应的振幅比ν1称为第一阶主振型。 与ω2对应的振幅比ν2称为第二阶主振型。
¾ 固有振型（主振型）
ω2 1, 2
=
a
+d 2
m
⎜⎛ a − d ⎟⎞2 + bc ⎝2⎠
v1 v2
= =
A(1) 2
A(1) 1
A(2) 2
A(2) 1
= a − ω12
b
=
a
−
ω
2 2
b
=c
d − ω12
=c
d
∑ ∑ ∑ mo Fi + mo Ni + mo⎜⎝⎛FiI ⎟⎠⎞ =0
17
第2章 多自由度系统的振动
2. 运动微分方程的建立
m1&x&1 + (k1 + m2&x&2 − k2 x1
k2 )x1 + (k2
− +
kk32)xx22==00⎫⎭⎬
• 例 2.1 P36
两自由度的弹簧质量系统。两 物体均作直线平移，略去摩擦力 及其它阻尼。
¾惯性力：当质点受到其它物体的作用而改变其原来的运动状态时， 由于质点的惯性产生对施力物体的反作用力， 称为质点的惯性力。
惯性力的大小等于 质点的质量与其加速度的乘积， 方向与加速度的方向相反， 并作用在施力物体上。
FI = -ma
16
第2章 多自由度系统的振动
2. 运动微分方程的建立
• 质点的达朗贝尔原理——
ω2 1, 2
=
a
+d 2
m
⎜⎛ a + d ⎟⎞2 − (ad − bc) ⎝2⎠
= a + d m ⎛⎜ a − d ⎞⎟2 + bc 2 ⎝2⎠
a = K1 + K2 m1
b = K2 m1
c = K2 m2
d = K1 + K2 m2
弹簧刚度和质量恒为正数，a，b，c，d的值都是正数
ω12 和 ω22 都是实根 由于ad ＞bc, ω12 和 都是正数 27
I cθ&& − k1 ( x−l1θ ) l1 + k2 ( x+l2θ ) l2 = 0