(3-18)
meq mv
3. 弹性元件
l32 Jr l12 m m p r 2 2 2 l2 l2 l2
(3-19)
弹性元件在振动系统力学模型中抽象成无质量而具有 线性弹性的元件，它是储存势能的元件，如图 3-9 所示。当 弹性元件的一端固定，而另一端受到力 Fs 作用时，这一端 点沿作用力的方向有位移 x ， 弹性元件受的力与位移之间有 如下关系
第三章 振动理论基础及激励源分析
3.1 振动系统的基本元件
工程实际中， 无论是动力机械或其他机器和结构， 都是由各部分之间可作相对运动的质 量组成的。从振动分析的观点看，即使是一台很简单的机器或结构，也是由无限多个质点组 成的。这些质点之间既有弹性，也有阻尼。因而，任何实际系统的质量、弹性和阻尼都是连 续分布的。用质点动力学的方法作系统分析时，必须用无穷多个微分方程来表示，这就很难 获得解析解， 更无法通过解析解讨论其物理意义。 即使在电子计算机高度发展并得到广泛应 用的今天，要采用数值解研究无穷多自由度系统的振动特性也是不可能的。所以，在分析机 器或结构的振动特性时，必须抓住主要因素，略去一些次要因素，把实际系统简化和抽象成 离散的力学模型，这是振动分析的第一步。当然，简化的程度取决于系统本身的复杂程度、 外界对它的作用形式和分析结果的精度要求等。 简化后力学模型的动力特性必须与原系统等 效。简化后系统理论分析的结果还要经过试验验证。 把实际系统简化成离散化模型时，可以把系统的质量、弹性和阻尼恰当地集中。例如， 机器中弹性较小而质量较大的构件可以简化成不计弹性的集中质量， 质量较小而弹性较大的 构件可以简化成不计质量的弹簧，构件之间阻尼较大的部分用不计质量和弹性的阻尼器表 示。某些质量、弹性和阻尼没有明显差别的构件，也可以通过简化前后系统动能、势能和能 量消耗不变的原则简化。更一般地，也可人为地把构件划分成若干单元，把单元的质量凝聚 在某一位置作为集中质量， 而把单元的总弹性和总阻尼作为无质量的弹性元件和阻尼元件与 集中质量连接，从而把一个无穷多自由度的系统简化成有限个自由度的系统。 例 3-1 图 3-1（a）是通过弹性支承安装的柴油发电机组，只讨论机组对地面产生的动 压力时，可以把整个机组的质量集中在机组的重心处，机组作为一个集中质量，弹性支承的 质量与机组相比小得多，可以简化成并联的弹簧和阻尼器。这样，机组就能简化成如图 2-1 （b）所示的只作垂直方向振动的单自由度振动系统。
图 3-3
质量元件
，根据牛顿第二定律，作用在质量元件上的力和加速度之 获得与力 Fm 方向相同的加速度 x 间的关系为
Fm = m x
（3-1）
式中 m 是元件的质量，它是元件惯性的度量。式中力、质量和加速度的单位分别为 N、kg 和 m / s 2。 对于角振动系统， 质量元件的惯性用它绕转动轴的转动惯量 J 来描述， 作用在元件上的
其等效质量为
2 me m1 4m2 xe m3
(3-10)
(3-11)
4
2） 等效转动惯量 假设 e ，且 x1 a ， x2 2 a ，则
1 1 T m1a 2e2 2m2 a 2e2 m3a 2e2 2 2
其等效转动惯量
(3-12)
J e m1a2 4m2 a2 m3a2
F F F ( x* ) dF dx (x)
x*
（3-24）
注意到弹簧 F F ( x* ) ， F 可以写成如下的形式：
F k x
dF 显然，等效线性弹簧常数为 k dx
（3-25）
x*
为了简单，可以利用式（3-25） ，但有时由于这种近似带来的误差可能比较大。 像梁这样的弹性元件其作用也相当于弹簧。例如，如图 3-4 所示端部有集中质量 m 的 悬臂梁，为了简单，可以假设梁的质量相对于集中质量 m 可以忽略不计。根据材料力学的 结果，梁在自由端的静变形为
图 3-7 平动和转动多质量系统
（3-8）
1 1 1 1 m a2 1 1 2m (2a)2 2 2 T m1 x12 m2 x2 3 2 3 2 2 2 3 3 2 3 3
假设 xe x1 ，且 x1 a ， x2 2 a ，则
(3-9)
1 1 T m1 xe2 2m2 xe2 m3 xe2 2 2
F F F ( x* x) F ( x* ) dF dx (x)
x*
1 d 2F 2! dx 2
(x) 2
x*
（3-23）
6
图 3-10
比例极限后的非线性
图 3-11
非线性弹性的线性化过程
对于较小的变形增量 x ，高阶导数项可以忽略不计，所以由式（3-23）得
Fs = kx
图 3-9 弹性元件
（3-20）
式中 k 为弹性元件的刚度，单位是 N / m。 对角振动系统，弹性元件的刚度为扭转刚度 k t ，单位是 Nm / rad。 作用在弹性元件端点的扭矩 Ts 与转角 之间的关系与式（3-20）相似，即 Ts = k t （3-21）
式（3-20）中， x 也就是弹簧的变形等于弹簧两端的相对位移。根据式（ 3-20） ，如果 用图像来描述弹簧力 F 和弹簧变形 x 之间的关系，将得到一条直线。使弹簧变形的力所做 的功以变性能或势能的形式存储下来，其表达式为
图 3-6
弹簧－杠杆－质量系统
3
2l 。可任意假设等效质量在杆中的位置，为简化起见，假设等效质量在 ma 处。对于杆只有
较小角位移的情况下， mb 在垂直方向的速度可以用 ma 的速度表示，即
xb
另外
2L xa 2 xa L
（3-5）
xeq xa
这两个质量块的动能 T 为
（3-6）
1 1 x 1 1 2 2 2 T ma xa mb a 2l ma 4mb xa meq xeq 2 2 l 2 2
meq m p
2 l32 Jr l2 m m v 2 r 2 l12 l1 l1
(3-17)
(2) 类似地，如果假设等效质量的位置在 C 点，其速度为 xeq xv ，其动能表达式为
1 1 2 Teq meq xeq meq xv2 2 2 令式（3-14）与式（3-18）相等，得
（3-3）
对于角振动系统，功和力矩、转角之间的关系为
W Tm
（3-4）
通常情况下，不同的研究目标，对一个实际的振动系统建立其力学模型也有所不同， 一般应根据研究目标选择合适的力学模型。 一旦确定其研究模型， 其系统的质量或惯性元件 就很容易识别。例如当讨论图 3-4a 所示的端部有一质量块的悬臂梁时，端部质量块相比， 梁的质量可以忽略不计，此时系统的简化结果如图 3-4b，这时，端部的质量是质量单元， 弹簧反映梁的弹性。再考虑如图 3-5a 所示一多层建筑在水平地震波作用下的例子，与楼板 相比，框架的质量可以忽略不计，整个建筑物可以简化成图 3-5b，每层楼板的质量用不同
1
(a) 图 3-2 柴油机——非刚性基础系统
(b)
振动系统离散化的力学模型由质量元件、 弹性元件和阻尼元件组成， 它们是理想化的元 件。 3.1.1. 质量或惯性元件 质量或惯性元件在振动系统的力学模型中抽象成无弹性、不耗 能的刚体，当其速度改变时会导致动能的增加或减少，它是储存动 能的元件，如图 3-3 所示。若对质量元件施加一个作用力 Fm ，它会
解：该结构的等效质量可以根据等效系统质量的动能与原系统的动能来确定。当推杆 有一个竖向位移 x 时，摇臂转过的角度为 r x l1 ，阀杆的向下位移为 xv r l2 xl2 l1 ， 摇臂重心的向下位移为 xr r l3 xl3 l1 。系统的动能为
1 1 1 1 T mp x2 mv xv2 J rr2 mr xr2 p 2 2 2 2
1 U kx 2 2
（3-22）
实际的弹簧往往是非线性的，但一般来说在某一变形范围内仍满足式（3-20） 。超过某 一变形值后（图 3-10 中的 A 点） ，应力超过材料的屈服极限，力和变形之间的关系就呈非 线性了。在许多应用中，人们都假定弹簧只发生较小的变形，因而可以利用式（3-20） 。即 使力和变形之间是如图 3-11 所示的非线性关系，人们也经常用线性关系近似。为了说明如 何线性化，令 F 表示使弹簧处于静平衡时的外力， x* 表示相应的变形。如果使力 F 有一个 增量 F ，相应的变形增量记为 x 。对 F F 在静平衡点 x* 处作泰勒级数展开，即
之间的关系与式（3-1）类似，即 力矩 Tm 与元件的角加速度
Tm = J
（3-2）
力矩、转动惯量和角加速度的单位分别为 N· m、kg m 2 和 rad / s 2。 力对物体所做的功使得物体具有动能，大小等于力与沿力方向的位移的乘积。对于平 动，功和力、位移之间的关系为
W Fm x
2
的质量元件来表示，竖直方向结构件的弹性用不同的弹簧单元来表示。
图 3-4 端部带集中质量的悬臂梁（a）实际系统； （b）单自由度力学模型
图 3-5 多层建筑 （a）实际系统； （b）多自由度系统力学模型
在大多数实际问题中， 其质量单元并不是一个简单的质量块， 如图 3-4 所示的悬臂梁结 构， 如果梁的质量相对于集中质量块不是小量， 须将梁的分布质量和集中质量块简化为一个 等效质量的单质量系统。将具有多个集中质量或分布质量的系统简化为具有一个等效质量 （或惯量）的单质量（惯量）系统时，求等效质量（或惯量）的方法是使等效前后系统的动 能相等。 1. 几个运动属性相同的质量块由一个刚性杆连在一起 如图 3-6 所示的系统中，质量可忽略的刚性杆 AOB 能绕 O 点转动， A 、 B 两端的质 量分别为 ma 和 mb ， A 端有一刚度为 k 的弹簧支承。 刚性杆 AO 和 BO 部分的长度分别为 l 和