v

A
cos

t



π 2

a A 2cos t π
v

dx dt


A
sin
t



a

d
dt

A
2cos t

2x
x, v, a 均是作谐振动的物理量
频率相同

振幅的关系
相位差
vm A am A 2
速度超前于位移；加速度超前于速度
x Acos(t )
v A sin(t )
A cos(t )
2
速度超前位移π/2相位
a A2 cos(t )
A2 cos(t )
加速度超前速度位移π/2相位， 加速度超前位移π相位
x
o
t
v
o
t
a
o
t
该物
Qi
重要的振动形式是简谐振动—— simple harmonic vibration
简谐振动是振动的基本模型，一般振动是多个简谐振动的 合成，或者说：振动的理论建立在简谐振动的基础上。 ➢ 以机械振动为例说明振动的一般性质
1、简谐振动
x Acos t
特征量：
x 位移 单位：m
弹簧谐振子

0
d2 g sin 0
dt2 l
Q 5o,sin
设： 2 g
l
有：
d2
dt 2
2

0
g 2
l
1 g 2 l
T 2 l
g
无阻尼自由振动 固有频率 固有圆频率 固有周期
6、简谐振动的描述
1）. 解析描述
x Acos t
v

A
cos

t



π 2

a A2 cost π
A
2A
由图看出：速度超前位移 π
加速度超前速度

2


A
a
x
位移与加速度 Δ π 称两振动反相
若 0 称两振动同相
例：质量为m的质点和劲度系数为k 的弹簧组成的弹簧谐振子， t = 0时，质点过平衡位置且向正方向运动。
例 如图，求振动方程。
x(cm)
解： 由图可知
0.25
O
2
t (s)
A 0.5cm T 2s
2 (1 s)
-0.5
T
初始条件： x0 Acos0 0.5cos0 0.25(cm)
cos0 0.5
0



3
初始条件：v0 0
0


3
v0 Asin0 0 sin 0 0
x 0.5cos(t ) (cm)
3
5、无阻尼自由振动
例题：证明单摆小幅度摆动时的运动是简谐振动，并求出简 谐振动的频率
证明： F ma
mg sin ma

ml
d2
dt 2
g sin

l
d2
dt 2

l
nr 0
r0
m
mgr
l
d2
dt 2

g sin
x Acos t
v

dx dt


A
sin
t



v

A
cos

t



π 2

vm A
a

dv dt


A
2
cos
t



2x
a A2 cost π
am A 2
o
t
v
o
t
a
o
t
x va
A
A
o
t
2A T
3、简谐振动的相位
相位是决定振动物体运 动状态的物理量
x

t




v
a
x1 Acos(t 1 ) x2 Acos(t 2 ) 相位差： 1 2
1 2 0 x1 的振动超前于 x2的振动
1 2 0 x1 的振动落后于 x2的振动
2）. 旋转矢量法描述
用匀速圆周运动、几何方法描述简谐振动 规定： A A 以角速度 逆时针转
y
旋转矢量端点在x轴上的投影：
vr < 0
r A
x Acos(t )
t

0
vr > 0
vr
x
x
➢ 直观地表达振动状态 x、v
➢ 直观地表达了(t )
例如：
x Acost
1、简谐振动动力学方程
以弹簧谐振子为例 设弹簧原长为坐标原点
k m kx
x
由牛顿第二定律
Fx max

k
o
x
m
d2 dt
x
2
x
整理得
d2x k dt 2 m x 0
令 2 k
m
d2x dt 2

2x

0
简谐振动
上述方程的特解之一为 x Acos t
2. 简谐振动的能量
求：物体运动到负的二分之一振幅处时所用的最短时间
解：设 t 时刻到达末态

由已知画出t = 0 时刻的旋矢图 再画出末态的旋矢图

o
x
由题意选蓝实线所示的位矢
设始末态位矢夹角为Δ t
t 0
得 t 7π 7π
6 6 k m
7.1.2、简谐振动动力学方程和能量
km
x
0
x
A 振幅 单位：m, cm 最大位移； 由初始条件决定
频率 单位：Hz 1Hz=1 1s
T 周期 单位：s
T 1
圆频率（角频率） 单位：rad s-1 2π
t 相位（位相 或 周相） 单位：rad
初相位（初位相） 单位：rad
——取决于时间零点的选择
2、简谐运动的速度及加速度 x
1 2 0 x1 与 x2的振动同相位 1 2 x1 与 x2的振动反相位
4、初始条件决定简谐振动的振幅和初相位
由初始条件 x和0 有v0：
x0 Acos
v0 Asin
解方程组可得：
A
x02

v02
2Hale Waihona Puke tg1 v0 x0km
以弹簧谐振子为例：
0
系统机械能守恒，以弹簧原长为势能零点
x x
x Acost
v A sin t
1 mv2 1 kx2 c
2
2
Ek

1 mv2 2

1 mA22 sin2 (t )
2
m2 k
Ep

1 2
第七章 振动和波
7.1 简谐振动 7.2 简谐波
第七章 振 动 和 波
x
o
t
7.1 简谐振动
7.1.1 简谐振动的运动学描述
平衡位置：物体运动始终在该位置附近
机械振动：物体位置在某一值附近来回往复的变化
广理义量振的动运：动形一式个称物振理动量在,如某物一理定量值：附近rr往vr复变Er 化Hr ,