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初三数学三角形存在性问题

1.如图2-1,在矩形ABCD中,AB=6,BC=8,动点P以2个单位/秒的速度从点A出发,沿AC向点C移动,同时动点Q以1个单位/秒的速度从点C出发,沿CB向点B移动,当P、Q两点中其中一点到达终点时则停止运动.在P、Q两点移动的过程中,当△PQC为等腰三角形时,求t的值.知识点一(等腰三角形的存在性问题)【知识梳理】如果△ABC是等腰三角形,那么存在①AB=AC,②BA=BC,③CA=CB三种情况.已知腰长画等腰三角形用圆规画圆,已知底边画等腰三角形用刻度尺画垂直平分线.解等腰三角形的存在性问题,有几何法和代数法,把几何法和代数法相结合,可以使得解题又好又快.几何法一般分三步:分类、画图、计算.代数法一般也分三步:罗列三边长,分类列方程,解方程并检验.【例题精讲】例1.如图1-1,在平面直角坐标系xOy中,已知点D的坐标为(3, 4),点P是x轴正半轴上的一个动点,如果△DOP是等腰三角形,求点P的坐标.图1-1【解析】分三种情况讨论等腰三角形△DOP:①DO=DP,②OD=OP,③PO=PD.①当DO=DP时,以D为圆心、DO为半径画圆,与x轴的正半轴交于点P,此时点D在OP的垂直平分线上,所以点P的坐标为(6, 0)(如图1-2).②当OD=OP=5时,以O为圆心、OD为半径画圆,与x轴的正半轴交于点P(5, 0) (如图1-3).③当PO=PD时,画OD的垂直平分线与x轴的正半轴交于点P,设垂足为E(如图1-4).在Rt△OPE中,3cos5OEDOPOP∠==,52OE=,所以256OP=.此时点P的坐标为25(,0)6.图1-2 图1-3 图1-4上面是几何法的解题过程,我们可以看到,画图可以帮助我们快速找到目标P,其中①和②画好图就知道答案了,只需要对③进行计算.代数法先设点P的坐标为(x, 0),其中x>0,然后罗列△DOP的三边长(的平方).DO2=52,OP2=x2,PD2=(x-3)2+42.①当DO=DP时,52=(x-3)2+42.解得x=6,或x=0.当x=0时既不符合点P在x轴的正半轴上,也不存在△DOP.②当OD=OP时,52=x2.解得x=±5.当x=-5时等腰三角形DOP是存在的,但是点P此时不在x轴的正半轴上(如图1-5).③当PO=PD时,x2=(x-3)2+42.这是一个一元一次方程,有唯一解,它的几何意义是两条直线(x轴和OD的垂直平分线)有且只有一个交点.代数法不需要画三种情况的示意图,但是计算量比较大,而且要进行检验.图1-5【课堂练习】1.如图2-1,在矩形ABCD中,AB=6,BC=8,动点P以2个单位/秒的速度从点A出发,沿AC向点C移动,同时动点Q以1个单位/秒的速度从点C出发,沿CB向点B移动,当P、Q两点中其中一点到达终点时则停止运动.在P、Q两点移动的过程中,当△PQC为等腰三角形时,求t的值.图2-1【解析】在P、Q两点移动的过程中,△PQC的6个元素(3个角和3条边)中,唯一不变的就是∠PCQ的大小,夹∠PCQ的两条边CQ=t,CP=10-2t.因此△PQC符合“边角边”的解题条件,我们只需要三个∠C就可以了,在∠C的边上取点P或Q画圆.图2-2 图2-3 图2-4①如图2-2,当CP=CQ时,t=10-2t,解得103t=(秒).②如图2-2,当QP=QC时,过点Q作QM⊥AC于M,则CM152PC t ==-.在Rt△QMC中,45cos5CM tQCMCQ t-∠===,解得259t=(秒).③如图2-4,当PQ=PC时,过点P作PN⊥BC于N,则CN.在Rt△PNC中,142cos5102tCNPCNCP t∠===-,解得8021t=(秒).这道题中,我们从“有限”的矩形中,选择我们需要的“无限”的∠PCQ,使得画图简洁,计算简练.2.如图3-1,直线y=2x+2与x轴交于点A,与y轴交于点B,点P是x轴正半轴上的一个动点,直线PQ与直线AB垂直,交y轴于点Q,如果△APQ是等腰三角形,求点P的坐标.图3-1【解析】我们先用代数法解这道题.由y =2x +2得,A (-1,0),B (0,2).所以OA =1,OB =2.如图3-2,由于∠QPA =∠ABO ,所以OP ∶OQ =OB ∶OA =2∶1.设点Q 的坐标为(0,m ),那么点P 的坐标为(2m ,0).因此AP 2=(2m +1)2,AQ 2=m 2+1,PQ 2=m 2+(2m )2=5m 2.①当AP =AQ 时,解方程(2m +1)2=m 2+1,得0m =或43m =-.所以符合条件的点P 不存在.②当PA =PQ 时,解方程(2m +1)2=5m 2,得25m =±.所以(425,0)P +.③当QA =QP 时,解方程m 2+1=5m 2,得12m =±.所以(1,0)P .图3-2 图3-3 图3-4我们再用几何法验证代数法,并进行比较.如图3-3,在直线PQ 平移的过程中,根据“两直线平行,同位角相等”,可知∠QPO 的大小是不变的,因此△PQA 也符合“边角边”的解题条件,我们只需要三个∠P ,点P 在点A 的右侧,暂时不画y 轴(如图3-4).①如果AP =AQ ,以A 为圆心、AP 为半径画圆,得到点Q (如图3-5).因为点Q 在y 轴上,于是“奇迹”出现了,点A (-1, 0)怎么可以在y 轴的右侧呢?图3-5 图3-6②当PA =PQ 时,以P 为圆心、PA 为半径画圆,得到点Q ,再过点Q 画y 轴.此时由215m m +=,解得25m =+,所以(425,0)P +(如图3-6).请问代数法解得的点(425,0)P -在哪里?看看图3-7就明白了.③当QA =QP 时,点Q 在AP 的垂直平分线上,由于A (-1, 0),所以P (1, 0) (如图3-8).我们可以体验到,几何法可以快速找到目标,而且计算比较简便.图3-7 图3-8知识点二(相似三角形的存在性问题)【知识梳理】相似三角形的判定定理有3个,其中判定定理1和判定定理2都有对应角相等的条件,因此探求两个三角形相似的动态问题,一般情况下首先寻找一组对应角相等.判定定理2是最常用的解题依据,一般分三步:寻找一组等角,分两种情况列比例方程,解方程并检验应用判定定理1解题,先寻找一组等角,再分两种情况讨论另外两组对应角相等应用判定定理3解题不多见,根据三边对应成比例列连比式解方程(组).【例题精讲】例1. 如图1-1,抛物线213482y x x =-+与x 轴交于A 、B 两点(A 点在B 点左侧),与y 轴交于点C .动直线EF (EF //x 轴)从点C 开始,以每秒1个单位的速度沿y 轴负方向平移,且分别交y 轴、线段BC 于E 、F 两点,动点P 同时从点B 出发,在线段OB 上以每秒2个单位的速度向原点O 运动.是否存在t ,使得△BPF 与△ABC 相似.若存在,试求出t 的值;若不存在,请说明理由.图1-1【解析】△BPF 与△ABC 有公共角∠B ,那么我们梳理两个三角形中夹∠B 的两条边. △ABC 是确定的.由213482y x x =-+,可得A (4, 0)、B (8, 0)、C (0, 4).于是得到BA =4,BC =45.还可得到12CE CO EF OB ==. △BPF 中,BP =2t ,那么BF 的长用含t 的式子表示出来,问题就解决了.在Rt △EFC 中,CE =t ,EF =2t ,所以5CF t =.因此4555(4)BF t t =-=-.于是根据两边对应成比例,分两种情况列方程:①当BA BP BC BF =时,42455(4)t t =-.解得43t =(如图1-2). ②当BA BF BC BP =时,45(4)245t t -=.解得207t =(如图1-3).图1-2 图1-3 【课堂练习】1. 如图2-1,在平面直角坐标系中,顶点为M 的抛物线y =ax 2+bx (a >0)经过点A 和x 轴正半轴上的点B ,AO =BO =2,∠AOB =120°.(1)求这条抛物线的解析式;(2)连结OM ,求∠AOM 的大小;(3)如果点C 在x 轴上,且△ABC 与△AOM 相似,求点C 的坐标.图2-1【解析】△ABC 与△AOM 中相等的一组角在哪里呢?本题由简到难,层层深入.第(1)题求出抛物线的解析式,得到顶点M 的坐标,为第(2)题求∠AOM 的大小作铺垫;求得了∠AOM 的大小,第(3)题暗示了要在△ABC 中寻找与∠AOM 相等的角.(1)如图2-2,过点A 作AH ⊥y 轴,垂足为H .容易得到A (1,3)-.再由A (1,3)-、B (2,0)两点,可求得抛物线的解析式为232333y x x =-. (2)由2232333(1)3333y x x x =-=--,得顶点M 3(1,)3-. 所以3tan 3BOM ∠=.所以∠BOM =30°.所以∠AOM =150°.图2-2 (3)由A (1,3)-、B (2,0),可得∠ABO =30°.因此当点C 在点B 右侧时,∠ABC =∠AOM =150°.所以△ABC 与△AOM 相似,存在两种情况:①当3BA OA BC OM ==时,23233BA BC ===.此时C (4,0)(如图2-3). ②当3BC OA BA OM ==时,33236BC BA ==⨯=.此时C (8,0)(如图2-4).图2-3 图2-42. 如图3-1,抛物线y =ax 2+bx -3与x 轴交于A (1, 0)、B (3, 0)两点,与y 轴交于点D ,顶点为C .(1)求此抛物线的解析式;(2)在x 轴下方的抛物线上是否存在点M ,过M 作MN ⊥x 轴于点N ,使以A 、M 、N 为顶点的三角形与△BCD 相似?若存在,求出点M 的坐标;若不存在,请说明理由.图3-1【解析】△AMN 是直角三角形,因此必须先证明△BCD 是直角三角形.一般情况下,根据直角边对应成比例分两种情况列方程.(1)抛物线的解析式为y =-x 2+4x -3.(2)由y =-x 2+4x -3=-(x -2)2+1,得D (0,-3),C (2, 1).如图3-2,由B (3, 0)、D (0,-3)、C (2, 1),可知∠CBO =45°,∠DBO =45°.所以∠CBD =90°,且21332BC BD ==.图3-2 图3-3 图3-4设点M 、N 的横坐标为x ,那么NM =-y M ,而NA 的长要分N 在A 的右边或左边两种情况,因此列方程要“两次分类”:当N 在A 右侧时,NA =x -1,分两种情况列方程:①当3NA BD NM BC ==时,13(1)(3)x x x -=--.解得103x =.此时M 107(,)39-(如图3-3). ②当13NA BC NM BD ==时,11(1)(3)3x x x -=--.解得x =6.此时M (6,-15)(如图3-5). 当N 在A 左侧时,NA =1-x ,也要分两种情况列方程:①当3NA BD NM BC ==时,13(1)(3)x x x -=--.解得83x =>1,不符合题意(如图3-4). ②当13NA BC NM BD ==时,11(1)(3)3x x x -=--.解得x =0,此时M (0,-3)(如图3-6).图3-5 图3-6知识点三(直角三角形的存在性问题)【知识梳理】解直角三角形的存在性问题,一般分三步走,第一步寻找分类标准,第二步列方程,第三步解方程并验根.一般情况下,按照直角顶点或者斜边分类,然后按照三角比或勾股定理列方程.有时根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半列方程更简便.解直角三角形的问题,常常和相似三角形、三角比的问题联系在一起.如果直角边与坐标轴不平行,那么过三个顶点作与坐标轴平行的直线,可以构造两个新的相似直角三角形,这样列比例方程比较简便.在平面直角坐标系中,两点间的距离公式常常用到.怎样画直角三角形的示意图呢?如果已知直角边,那么过直角边的两个端点画垂线,第三个顶点在垂线上;如果已知斜边,那么以斜边为直径画圆,直角顶点在圆上(不含直径的两个端点).例1.如图1-1,在△ABC中,AB=AC=10,cos∠B=45.D、E为线段BC上的两个动点,且DE=3(E在D右边),运动初始时D和B重合,当E和C重合时运动停止.过E作EF//AC交AB于F,连结DF.设BD=x,如果△BDF为直角三角形,求x的值.图1-1【解析】△BDF中,∠B是确定的锐角,那么按照直角顶点分类,直角三角形BDF存在两种情况.如果把夹∠B的两条边用含有x的式子表示出来,分两种情况列方程就可以了.如图1-2,作AH⊥BC,垂足为H,那么H是BC的中点.在Rt△ABH中,AB=10,cos∠B=45,所以BH=8.所以BC=16.由EF//AC,得BF BEBA BC=,即31016BF x+=.所以BF=5(3)8x+.图1-2 图1-3 图1-4①如图1-3,当∠BDF=90°时,由4cos5BDBBF∠==,得45BD BF=.解方程45(3)58x x=⨯+,得x=3.②如图1-4,当∠BFD =90°时,由4cos 5BF B BD ∠==,得45BF BD =. 解方程5154885x x +=,得757x =. 我们看到,在画示意图时,无须受到△ABC 的“限制”,只需要取其确定的∠B .【课堂练习】1. 如图2-1,已知A 、B 是线段MN 上的两点,,,.以A 为中心顺时针旋转点M ,以B 为中心逆时针旋转点N ,使M 、N 两点重合成一点C ,构成 △ABC ,设AB =x ,若△ABC 为直角三角形,求x 的值.图2-1【解析】△ABC 的三边长都可以表示出来,AC =1,AB =x ,BC =3-x .如果用斜边进行分类,每条边都可能成为斜边,分三种情况:①若AC 为斜边,则22)3(1x x -+=,即0432=+-x x ,此方程无实根.②若AB 为斜边,则1)3(22+-=x x ,解得35=x (如图2-2).③若BC 为斜边,则221)3(x x +=-,解得34=x (如图2-3). 因此当35=x 或34=x 时,△ABC 是直角三角形.图2-2 图2-32. 如图3-1,已知在平面直角坐标系中,点A 的坐标为(-2, 0),点B 是点A 关于原点的对称点,P 是函数)0(2>=x xy 图象上的一点,且△ABP 是直角三角形,求点P 的坐标. 4=MN 1=MA 1>MB图3-1【解析】A 、B 两点是确定的,以线段AB 为分类标准,分三种情况.如果线段AB 为直角边,那么过点A 画AB 的垂线,与第一象限内的一支双曲线没有交点;过点B 画AB 的垂线,有1个交点.以AB 为直径画圆,圆与双曲线有没有交点呢?先假如有交点,再列方程,方程有解那么就有交点.如果是一元二次方程,那么可能是一个交点,也可能是两个交点.由题意,得点B 的坐标为(2,0),且∠BAP 不可能成为直角. ①如图3-2,当∠ABP =90°时,点P 的坐标为(2,1).②方法一:如图3-3,当∠APB =90°时,OP 是Rt △APB 的斜边上的中线,OP =2.设P 2(,)x x ,由OP 2=4,得2244x x+=.解得2x =±.此时P (2,2).图3-2 图3-3方法二:由勾股定理,得PA 2+PB 2=AB 2.解方程2222222(2)()(2)()4x x x x+++++=,得2x =±.方法三:如图3-4,由△AHP ∽△PHB ,得PH 2=AH ·BH .解方程22()(2)(2)x x x=+-,得2x =±.图3-4 图3-5这三种解法的方程貌似差异很大,转化为整式方程之后都是(x 2-2)2=0.这个四次方程的解是x 1=x 2=2,x 3=x 4=2-,它的几何意义就是以AB 为直径的圆与双曲线相切于P 、P ′两点(如图3-5).1.如图4-1,已知正方形OABC 的边长为2,顶点A 、C 分别在x 、y 轴的正半轴上,M 是BC 的中点.P (0, m )是线段OC 上一动点(C 点除外),直线PM 交AB 的延长线于点D .当△APD 是等腰三角形时,求m 的值.图4-1【解析】点P (0, m )在运动的过程中,△APD 的三个角都在变化,因此不符合几何法“边角边”的解题条件,我们用代数法来解.因为PC //DB ,M 是BC 的中点,所以BD =CP =2-m .所以D (2, 4-m ). 于是我们可以罗列出△APD 的三边长(的平方): 22(4)AD m =-,224AP m =+,2222(42)PD m =+-.①当AP =AD 时,22(4)4m m -=+.解得32m =(如图4-2).②当PA =PD 时,22242(42)m m +=+-. 解得43m =(如图4-3)或4m =(不合题意,舍去).③当DA =DP 时,222(4)2(42)m m -=+-. 解得23m =(如图4-4)或2m =(不合题意,舍去).综上所述,当△APD 为等腰三角形时,m 的值为32,43或23.图4-2 图4-3 图4-4其实①、②两种情况,可以用几何说理的方法,计算更简单:①如图4-2,当AP =AD 时,AM 垂直平分PD ,那么△PCM ∽△MBA .所以12PC MB CMBA==.因此12PC =,32m =.②如图4-3,当PA =PD 时,P 在AD 的垂直平分线上. 所以DA =2PO .因此42m m -=.解得43m =.2. 如图4-1,在平面直角坐标系中,A (8,0),B (0,6),点C 在x 轴上,BC 平分∠OBA .点P 在直线AB 上,直线CP 与y 轴交于点F ,如果△ACP 与△BPF 相似,求直线CP 的解析式.图4-1【解析】首先求得点C (3,0).△ACP 与△BPF 中,相等的角在哪里啊?①如图4-2,当点P 在线段AB 上时,△ACP 与△BPF 中,∠APC 与∠BPF 是邻补角,如果这两个邻补角一个是锐角,一个是钝角,两个三角形怎么可能相似呢?因此CP 与AB 是垂直的.可以求得F (0,-4),于是直线CF (CP )为443y x =-.②如图4-3,当点P 在AB 的延长线上时,△ACP 与△BPF 有公共角∠P .于是∠OFC =∠PFB =∠A ,可以求得F (0, 4),因此直线CF (CP )为443y x =-+.③如图4-4,当点P 在BA 的延长线上时,∠B 与∠PCA 不可能相等.在△AOB 中,根据大边对大角,∠B >∠BAO ;∠BAO 又是△PCA 的一个外角,∠BAO >∠PCA .图4-2 图4-3 图4-43.如图4-1,已知直线y =kx -6经过点A (1,-4),与x 轴相交于点B .若点Q 是y 轴上一点,且△ABQ 为直角三角形,求点Q 的坐标.图4-1【解析】和例题3一样,过A、B两点分别画AB的垂线,各有1个点Q.和例题3不同,以AB为直径画圆,圆与y轴有没有交点,一目了然.而圆与双曲线有没有交点,是徒手画双曲线无法肯定的.将A(1,-4)代入y=kx-6,可得k=2.所以y=2x-6,B(3,0).设OQ的长为m.分三种情况讨论直角三角形ABQ:①如图4-2,当∠AQB=90°时,△BOQ∽△QHA,BO QHOQ HA=.所以341mm-=.解得m=1或m=3.所以Q(0,-1)或(0,-3).②如图4-3,当∠BAQ=90°时,△QHA∽△AGB,QH AGHA GB=.所以4214m-=.解得72m=.此时7(0,)2Q-.③如图4-4,当∠ABQ=90°时,△AGB∽△BMQ,AG BMGB MQ=.所以243m=.解得32m=.此时3(0,)2Q.图4-2 图4-3 图4-4三种情况的直角三角形ABQ,直角边都不与坐标轴平行,我们以直角顶点为公共顶点,构造两个相似的直角三角形,这样列比例方程比较简便.已知A(1,-4)、B(3,0),设Q(0, n),那么根据两点间的距离公式可以表示出AB2,AQ2和BQ2,再按照斜边为分类标准列方程,就不用画图进行“盲解”了.1.如图5-1,已知△ABC 中,AB =AC =6,BC =8,点D 是BC 边上的一个动点,点E 在AC 边上,∠ADE =∠B .设BD 的长为x ,如果△ADE 为等腰三角形,求x 的值.图5-1【解析】在△ADE 中,∠ADE =∠B 大小确定,但是夹∠ADE 的两条边DA 、DE 用含有x 的式子表示太麻烦了.本题的已知条件∠ADE =∠B =∠C 非常典型,由于∠ADC =∠ADE +∠1,∠ADC = ∠B +∠2,∠ADE =∠B ,所以∠1=∠2.于是得到典型结论△DCE ∽△ABD .①如图5-2,当DA =DE 时,△DCE ≌△ABD .因此DC =AB ,8-x =6.解得x =2. ②如图5-3,如果AD =AE ,那么∠AED =∠ADE =∠C .由于∠AED 是△DCE 的一个外角,所以∠AED >∠C .如果∠ADE =∠C ,那么E 与C 重合,此时D 与B 重合,x =0.③如图5-4,当EA =ED 时,∠DAE =∠ADE =∠B =∠C ,所以△DAC ∽△ABC .因此8668x -=.解得72x =.图5-2 图5-3 图5-42.如图5-1,二次函数y =x 2+3x 的图象经过点A (1,a ),线段AD 平行于x 轴,交抛物线于点D .在y 轴上取一点C (0, 2),直线AC 交抛物线于点B ,连结OA 、OB 、OD 、BD .求坐标平面内使△EOD ∽△AOB 的点E 的坐标;图5-1【解法一】点A 、D 、B 都是确定的,可以求得A (1, 4),D (-4, 4),B (-2,-2). 所以17AO =,22BO =,35AB =,42DO =.△EOD ∽△AOB ,对应边已经确定,因此我们可以根据判定定理3列方程. 由EO OD DE AO OB BA ==,得42172235EO DE==.所以217EO =,65DE =. 设点E 的坐标为(x , y ),根据EO 2=68,DE 2=180,列方程组222268,(4)(4)180.x y x y ⎧+=⎪⎨++-=⎪⎩解得118,2,x y =⎧⎨=-⎩ 222,8,x y =⎧⎨=-⎩ 所以点E 的坐标为(8,-2)或(-2, 8).上面的解题过程是“盲解”,我们并不明白两个三角形的位置关系.【解法二】如图5-2,△AOB 是确定的,△AOB 与△EOD 有公共点O ,OB ∶OD =1∶2,∠BOD =90°.如果△EOD ∽△AOB ,我们可以把△AOB 绕着点O 顺时针旋转,使得点B ′落在OD 上,此时旋转角为90°,点B ′恰好落在OD 的中点.按照这个运动规则,点A (1, 4) 绕着点O 顺时针旋转90°,得到点A ′(4,-1),点A ′是线段OE 的中点,因此点E 的坐标为(8,-2).如图5-3,点E (8,-2)关于直线OD (即直线y =-x )对称的点为E ′(2,-8).图5-2 图5-33.如图6-1,在△ABC 中,AB =AC =42,BC =8.⊙A 的半径为2,动点P 从点B 出发沿BC 方向以每秒1个单位的速度向点C 运动.延长BA 交⊙A 于点D ,连结AP 交⊙A 于点E ,连结DE 并延长交BC 于点F .设点P 运动的时间为t 秒,当△ABP 与△FBD 相似时,求t 的值.图6-1【解析】△ABC 是等腰直角三角形,⊙A 是确定的,先按照题意把图形补充完整. 如图6-2,容易发现△ABP 与△FBD 有公共角∠B ,如果根据对应边成比例列方程BA BD BP BF=或BA BFBP BD=,其中BA =42,BP =t ,BD =42+2,但是用含t 的式子表示BF 困难重重啊!图6-2 图6-3 图6-4我们另起炉灶,按照判定定理1来解决.△ABP 与△FBD 有公共角∠B ,我们以∠D 为分类标准,分两种情况讨论它们相似: 第一种情况,如图6-3,∠BAP =∠D 是不可能的,这是因为∠BAP 是等腰三角形ADE 的外角,∠BAP =2∠D .第二种情况,如图6-4,当∠BPA =∠D 时,在△ABP 中,由于∠BAP =2∠D =2∠BPA , 因此45°+3∠BPA =180°.解得∠BPA =45°.此时△ABP 是等腰直角三角形,P 与C 重合,所以t =8.解答这道题目,如果选取点P 的3个不同位置,按照题意画图,可以帮助我们探究.在讨论第二种情况∠BPA =∠D 时,我们容易被已知图6-1给定的点P 的位置所误导,以为图6-2中“锐角∠D ”与“钝角∠BPA ”不可能相等.4.如图5-1,抛物线233384y x x =--+与x 轴交于A 、B 两点(点A 在点B 的左侧).若直线l 过点E (4, 0),M 为直线l 上的动点,当以A 、B 、M 为顶点所作的直角三角形有且只有....三个时,求直线l 的解析式.图5-1【解析】有且只有三个直角三角形ABM 是什么意思呢?过A 、B 两点分别画AB 的垂线,与直线l 各有一个交点,那么第三个直角顶点M 在哪里?以AB 为直径的⊙G 与直线l 相切于点M 啊!由23333(4)(2)848y x x x x =--+=-+-,得A (-4, 0)、B (2, 0),直径AB =6. 如图5-2,连结GM ,那么GM ⊥l .在Rt △EGM 中,GM =3,GE =5,所以EM =4.因此3tan 4GEM ∠=. 设直线l 与y 轴交于点C ,那么OC =3.所以直线l (直线EC )为334y x =-+. 根据对称性,直线l 还可以是334y x =-.图5-25. 如图6-1,在△ABC 中,CA =CB ,AB =8,4cos 5A ∠=.点D 是AB 边上的一个动点,点E 与点A 关于直线CD 对称,连结CE 、DE .(1)求底边AB 上的高;(2)设CE 与AB 交于点F ,当△ACF 为直角三角形时,求AD 的长; (3)连结AE ,当△ADE 是直角三角形时,求AD 的长.图6-1【解析】这道题目画示意图有技巧的,如果将点D 看作主动点,那么CE 就是从动线段.反过来画图,点E 在以CA 为半径的⊙C 上,如果把点E 看作主动点,再画∠ACE 的平分线就产生点D 了.(1)如图6-2,设AB 边上的高为CH ,那么AH =BH =4.在Rt △ACH 中,AH =4,4cos 5A ∠=,所以AC =5,CH =3.(2)①如图6-3,当∠AFC =90°时,F 是AB 的中点,AF =4,CF =3. 在Rt △DEF 中,EF =CE -CF =2,4cos 5E ∠=,所以52DE =.此时52AD DE ==.②如图6-4,当∠ACF =90°时,∠ACD =45°,那么△ACD 的条件符合“角边角”. 作DG ⊥AC ,垂足为G .设DG =CG =3m ,那么AD =5m ,AG =4m . 由CA =5,得7m =5.解得57m =.此时2557AD m ==.图6-2 图6-3 图6-4(3)因为DA =DE ,所以只存在∠ADE =90°的情况.①如图6-5,当E 在AB 下方时,根据对称性,知∠CDA =∠CDE =135°,此时△CDH 是等腰直角三角形,DH =CH =3.所以AD =AH -DH =1.②如图6-6,当E 在AB 上方时,根据对称性,知∠CDA =∠CDE =45°,此时△CDH 是等腰直角三角形,DH =CH =3.所以AD =AH +DH =7.。

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