可以想象如果一个事件发生的概率很小，那么在只进 行一次试验时，我们说这个事件是“不会发生的”。 从一般的常识就可以知道，这句话在大多数情况下是 正确的，但是它一定有犯错误的时候，因为发生的概 率再小也总是有可能发生的。这就是小概率原理。
例如现在买体育彩票中特等奖的概率是千万分之一左 右，如果你只买 1注，你是得不到特等奖的，这句话在 绝大多数情况下是正确的，但是它一定有犯错误的时 候，因为确实有人中了特等奖。
例5-1 已知一般中学男生的心率平均值为 74次／分 钟，标准差 6次／分钟，为了研究经常参加体育锻炼的 中学生心脏功能是否增强，在某地区中学中随机抽取常 年参加体育锻炼的男生 100名，得到心率平均值 65次／ 分钟。
这是一个未知总体与已知总体均数比较的问题。在 这个例子中我们把中学一般男生作为一个已知总体，该 总体心率的均数μ 0=74次／分钟，标准差σ＝ 6次／分。 将常年参加体育锻炼的中学男生作为一个未知总体，通 过随机抽样，得到该总体心率的均数μ的估计值 X ＝65 次／分钟，样本量 n＝100。试问：常年参加体育锻炼 的中学男生心率是否与一般中学男生相等？
按照假设检验的思想用双侧检验对例 5-l提出的问题进行假设检验。
无效假设 H0：常年参加体育锻炼的中学男生的心率与一般的中学男 生相等，即μ=μ 0。
备择假设 H1：常年参加体育锻炼的中学男生的心率与一般的中学男 生不同，即μ≠μ 0。
将检验水准确定为α＝ 0.05。
由于在无效假设的前提下，可以认为样本是来自μ 0＝74次／分钟， 标准差σ＝ 6次／分的总体。此时构造统计量 u：
第五章 假设检验
假设检验是统计学中最重要的概念之一，是统计 推断的核心，因此正确地理解假设检验的思想，掌 握假设检验的方法与步骤，对统计学的学习和应用 具有十分重要的意义。
第一节 假设检验的基本思想
一、小概率事件与假设检验
为了研究某一特定总体的特征， 个体是无限多的，由于人力、物力和时间等因素的限制，在 绝大多数的情况下，研究者没有能力和必要对总体中的每一 个体进行测量，只能用随机抽样的方法，得到一个能够很好 地代表总体的样本，通过对样本指标的测量，以样本的特征 来推断总体的参数。由于这种估计存在抽样误差，可以根据 抽样误差的分布规律对抽样误差的大小进行估计。
样本是否属小概率事件，若属小概率事件，则拒绝该假设；若
不属小概率事件，则不拒绝该假设。关于μ与μ 0是否相等的研 究中，首先假设μ=μ 0，然后看在μ=μ 0的情况下实际观察到的 样本的情况是否属小概率事件。
先前的假设即：这个样本是从均数为μ 0的总体中抽出来的（μ ＝μ0）称为无效假设（ null hypothesis ）用H0表示，将 μ≠μ0称为备择假设（ alternative hypothesis ）用H1表示， 其意义是当无效假设 H0被拒绝后，应该接受的假设，所以称为备 择假设或对立假设。
二、单、双侧检验
通常假设检验的目的是两总体是否相等，备择假设是 μ≠μ0，即μ可以大于μ 0，也可以小于μ 0，因此是双 侧检验。但是如果你从专业知识的角度判断μ不可能大 于μ0（或者是μ不可能小于μ 0），这就是单侧的检验， 此时备择假设为μ＜μ 0（或者是μ＞μ0）。
例如：要比较经常参加体育锻炼的中学男生心率是否 低于一般中学男生的心率，就属于单侧检验。因为根据 医学知识知道不会高于一般中学男生，因此在进行假设 检验时，应使用单侧检验。即 H0：μ=μ0经常参加体育 锻炼的中学男生心率与一般中学男生的心率相同， H1： μ＜μ0。经常参加体育锻炼的中学男生心率低于一般中 学男生的心率。
估计值X 。因此X 与μ0之间的差异（不相等）应有两种可能： 1.μ与μ0本身就不相等，所以导致了 X与μ0之间的差异； 2.μ与μ0相等仅因为用 X 去估计μ时存在抽样误差，所
以导致了 X 与μ0之间的差异。
因为均数有抽样误差，故当观察到样本均数 不X等于μ 0时，不
能下结论μ≠μ 0，到底μ与μ 0是否相等，需作统计推断。
在统计学中约定，如果一个事件发生的概率P≤0.05 就把这个事件称之为小概率事件。
既然有两种可能造成 X与μ0之间的差异，无法确定μ是否等
于μ0，但是我们已经知道如果是采用随机抽样的方法得到的样 本，那么抽样误差的分布是存在一定规律的。假设检验的基本
思想是：先提出假设，然后在假设成立的前提下看实际拍到的
u ? X ? ?0
(5 ? 1)
在无效假设成? 立/ 的n情况下， u服从标准正态分布 N（0，1），｜
u｜≥u0.05/2=1.96的概率为 0.05，故一次随机抽样“ |μ|≥1.96 ”属 于小概率事件，若实际样本出现“ |μ|≥1.96 ”则拒绝 H0。
（level of significance ），常取 α＝0.05；将接受了错误
的无效假设 H0称为Ⅱ类错误（type Ⅱ error）。犯Ⅱ类错误的 概率用β表示。在统计学中将 l－β称为检验效能（ power of
test），其意义是当两个总体存在差异时（即备择假设 Hc： μ≠μ 0成立时），所使用的统计检验能够发现这种差异（拒绝 无效假设 H0：μ=μ0）的能力，通常检验效能应该达到 0.8左右。
三、两类错误
尽管假设检验帮助我们回答了μ与μ 0是否相等的问题，但它是 建立在小概率原理上的判断，无论接受无效假设 H0、拒绝备择 假设 H1，还是接受备择假设 H1、拒绝无效假设 H0都有可能犯错 误。统计学中将拒绝了正确的无效假设 H0称为Ⅰ类错误（ type Ⅰerror），犯Ⅰ类错误的概率用α表示，通常称之为检验水准
当要用抽样的方法研究一个未知总体的均数μ是否和一个已
知总体的均数μ 0相等时，通常是从未知总体中随机抽取一个样 本，对样本中的每一个体进行测量，得到相应的测量值（ X1，
X2，…，Xn），并计算出样本的均数 X ，可以用样本的均数 X
去估计未知总体的均数μ。此时要比较的是μ与μ 0是否相等， 但是由于μ是“无法”得到的，只能通过抽样的样本得到μ的