基本不等式知识点总结向量不等式:【注意】：ab 同向或有0 〔a b| |a| |b| > \\i\ ibii 〔a b ； ab 反向或有 0 \a b\ \a\ \b\>\\a\ \b\\ \a b\;lb 不共线 \\a\ \b\\ \a b\ \a\ \^\.(这些和实数集中类似)代数不等式：a,b 同号或有 0 \a b\ \a\ \b\> |\a\ \b\ \a b\ ； a,b 异号或有 0\a b\ \a\ \b\> |\a\ \b\ \a b\.绝对值不等式：同a 2 a^ w |aj |a 2| |a 3|双向不等式：|a | b l w |a b w |a | |b(左边当ab w 0(> 0)时取得等号，右边当ab > 0(w 0)时取得等号.)放缩不等式:① a b0,1111 2n n 1 nb函数 f (x) ax 一(a 、bx【说明】: b 0,m糖水的浓度问题）【拓展】: 0, m 0,n 0,则② a,b,cb ad cana b n bn 12Un,n⑤ In x w 1 x (x0), e x > x 1(xR).1y \ /（一 2肩\aH/I ■ 2码 a,n 1,0）图象及性质⑴函数f (x) ax a、b 0图象如图:⑵函数f (x) ax - a. b 0性质:x①值域: ,2 ,ab] [2.ab,)；②单调递增区间：（:]，[ ,[）;单调递减区间：（0,,0). 重要不等式基本不等式知识点总结1、和积不等式：a,b a2b2> 2ab (当且仅当a b时取到“ ”）.【变形】：①ab w『2&宀a2b22 （当a = b时，（芋）2 , 2a b 、ab)2【注意】: Jab w -------- (a,b R ) , ab w (2 a b 22) (a,b R)2、均值不等式：两个正数a、b的调和平均数、几何平均数、算术平均数、均方根之间的关系,即“平方平均*.若x 0,则x 》算术平均》几何平均》调和平均" 12（当且仅当x1时取“=”；0,则x 当且仅当x1时取“=”0,则若ab o,则a 2 （当且仅当a-2 （当且仅当a b时取“=”b时取“二”）b -2 （当且仅当a b时取“=”a3、含立方的几个重要不等式（a 、b 、c 为正数）：333a b c > 3abc (a b c 0等式即可成立，a b c 或a同时除以ab 得ba2* a,b,均为正数，— b最值定理（积定和最小）*不等式的变形在证明过程中或求最值时， 有广泛应用，如:当ab 0时, a 2 b 2 2ab2 b 2丿八种变式： ①ab : ------------2②ab (a 2b )2；③(a 2b)2a 2b 2 2 ‘④ a b 2(a 2b 2);⑤若2b>0,则 ab2a 1 1b ； ® a>0,b>0,则 11a ba 4b ；⑦若2 4a>0,b>0,则(1')24； a b ab⑧若ab1 1 则 a2 b 22(： b )2o上述八个不等式中等号成立的条件都是“b ”。

b c 0时取等）；2a b① x,y 0,由x y > 2-,xy ，若积 xy P （定值），则当y 时和x y 有最小值厶p ;（和定积最大）② x, y 0,由x y > 2 xy ，若和x y S （定值），贝U 当x y 是积xy 有最大值^s 2.【推广】:已知x, y R ，则有（x y ）2 （x y ）2 2xy.（1）若积xy 是定值，则当| x y |最大时，| x y |最大；当| x y |最小时，| x y |最小.（2）若和| x y |是定值，则当|x y |最大时，| xy |最小；当| x y |最小时，| xy |最大.2 b 2b（*厂）2不易想到，应重视; 例4.求函数 52）的最大值;⑸连用公式:5.已知a⑹对数变换:1例6.已知x 1，且xy e ,求t （2x ）lny 的最大值；⑺三角变换： 例7.已知0 y < x 刁，且tan x 3tan y ，求t x y 的最大值;⑻常数代换（逆用条件）：例8.已知a 0,b 0，且a 2b 1，求t - 1的最小值.a b“单调性”补了“基本不等式”的漏洞:1 1 1 1 一 一(ax by)(一 一)x y x y+£十土二1④ 已知'■ ■■ ，若…• 贝厂「和」的最小值为:二（兀十j ）（—+—）二盘十占-\-2yfah 二+ 筋尸①应用基本不等式求最值的“八种变形技巧”：⑴凑系数（乘、除变量系数）•例1.当0 x 4时，求函的数y x （8 2x ）最大值.⑵凑项（加、减常数项）：例2.已知x 5，求函数f （x ） 4x 2 4 1 5的最大值 2⑶调整分子：例3.求函数f （x ） x 7x 10（x x 1③ 已知 a,x,b,y R ，若 ax by1 1 —4"—1，贝u 有则.「的最小值为:2.. abO.a -/b)21）的值域;⑷变用公式：基本不等式 ab 有几个常用变形b 0，求 y a2寺的最小值;⑴平方和为定值若X2 y2 a ( a 为定值，a 0)，可设x a cos ,y ..a sin ,，其中0 < 2 .① f (x, y) x y 、、asin a cos 、, 2asin( )在［0,1］，［- ,2 )上是增函数，4 4 41 5在［-，-］上是减函数；4 4- 1 3—7②g (x, y) xy a si n2 在［0, ］,［ , ］,［,2 )上是增函数，在2 4 4 4 41 3 5 7［',3］,［5,］上是减函数；4 4 4 4③m(x,y) 1 1 x y sin cos厂.令t sin cos V2Ssin( -)，其中x y xy V a sin cos 4t ［忑» 4)U(1,1)［/1j2］. 由t2 1 2sin cos ，得2sin cos t21，从而m(x,y)2t掐(t21)2在'屁,1卅(航1) u1,1)U(1,j2］上是减函数.⑵和为定值若x y b( b为定值, b 0 )，则y b x.①g(x, y) xy x2 bx在(，:］上是增函数，在［：,)上是减函数；②m(x,y) 1 1—.当b 0时，在(，0),(0,卫］上是减函数，在x y xy x bx 2［2,b),(b,)上是增函数；当b 0时，在(，b),(b£］上是减函数，在［号,0),(0,)上是增函数.③ n(x, y) x2 y2 2x2 2bxb2在(，£］上是减函数，在［;,)上是增函数；⑶积为定值若xy c ( c为疋值，c 0)，则y c.x① f (x, y) x y x -.当xc 0 时，在［c,0),(0, c］上是减函数，在(，匸］，［二)上是增函数；当 c 0时，在(，0),(0,)上是增函数；② m(x,y) 1 1 1(x -).当c 0 时，在［、.C,0),(0,、、C］上是减函数，在x y xy c x(,,c］,［ ,c,)上是增函数；当c 0时，在(,0),(0,)上是减函数;③ n(x,y)22 2 2 cx y x —x(x c)2x 2c在(,,c),(0, ■ c］上是减函数，在(云］,［E )上是增函数.⑷倒数和为定值若丄-x y (d为定值, c.成等差数列且均不为零，可设公差为xz，其中d d乙得x 1 dz,y 1 dz① f(x) x2d 1 d上是增函数；当1 1 1 1—),(i,0］上是减函数，在［0,—),(—,) d dd d时，在(］上是增函数，在d d0时，在(1 1［0,卫(孑)上减函数;② g(x,y) xyd21 d2z2'11 1 1.当d 0时'在(，存評上是减函数，在［°,族,)上是增函数；当③ n(x,y) x21 1 1 10时，在(‘/(y。

］上是减函数，在［0,-),(-,2d"呼221)-.令t d2z2 1，其中t > 1 且t 2，从而(d2z2 1)2)上是增函数;2 / 、2d2t n(x, y) ----------- 2(t 2) 2d2t 4 4在［1,2)上是增函数，在(2,)上是减函数.。