{AX,AY}={X,Y}. 证 (AX,AY)=(AX)T(AY)=XT(ATA)Y
=XTY=(X,Y). 当Y=X时, 有(AX,AX)=(X,X), 即|AX|=|X|, 因 此 cos AX , AY ( AX , AY ) ( X ,Y ) cos X ,Y ,
| AX || AY | | X || Y |
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6、意志坚强的人能把世界放在手中像 泥块一 样任意 揉捏。 2020年 12月13 日星期 日上午 7时42 分29秒0 7:42:29 20.12.1 3
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7、最具挑战性的挑战莫过于提升自我 。。20 20年12 月上午 7时42 分20.12. 1307:4 2December 13, 2020
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3、越是没有本领的就越加自命不凡。 20.12.1 307:42: 2907:4 2Dec-20 13-Dec-20
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4、越是无能的人，越喜欢挑剔别人的 错儿。 07:42:2 907:42: 2907:4 2Sunda y, December 13, 2020
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5、知人者智，自知者明。胜人者有力 ，自胜 者强。 20.12.1 320.12. 1307:4 2:2907: 42:29D ecembe r 13, 2020
所以AX与AY夹角与X,Y的夹角相同.
8 2020/12/13
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1、有时候读书是一种巧妙地避开思考 的方法 。20.1 2.1320. 12.13Sunday, December 13, 2020
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2、阅读一切好书如同和过去最杰出的 人谈话 。07:4 2:2907: 42:2907 :4212/ 13/2020 7:42:29 AM
是正交矩阵, 从而A的行向量组也是Rn的一组标 准正交基,
(iv) 由(AB)T(AB)=BT(ATA)B=BTB=I, 即得 AB也是正交矩阵.
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定理 方阵A为正交矩阵的充分必要条件是A的列 向量构成标准正交组。
推论1 方阵A为正交矩阵的充分必要条件是A的行 向量构成标准正交组。
4.3 正交矩阵及其性质
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定义6 设A为n阶方阵, 如果ATA=I或AAT=I,
就
称A为正交矩阵.(A-1=AT )
定理4 A为n阶正交矩阵的充分必要条件是A
的列（行）向量组为Rn的一组标准正交基.
证设
a11 a12
A
a21
a22
a1n
a2n
an1 an2
ann
按列分块为[a1,a2,...,an],
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于是
AT
A
aa12TT
a1
,a
2
,
a
T n
,an
aa12TTaa11
a
aT
n1
a1T a 2 a 2T a 2
a nT a 2
a1Ta a 2Ta
n n
anTan
因此ATA=I的充分必要条件是
aiTai (ai ,ai ) 1, i 1,2,, n; 且 aiTa j (ai ,a j ) 0, j i, i, j 1,2,, n. 即A的向量组{a1,a2 ,,an}
A是正交矩阵 AT A-1
AT 是正交矩阵
方阵A的列向量构成 标准正交组
方阵A的行向量构成 标准正交组
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例 现有标准正交组
a1
(1 3
,
2 3
,
2) 3
a2 (0,
1 ,2
1) 2
求三维向量a 使得矩阵 (a1,a2,a ) 为正交矩阵
解 a (x, y, z)T a1,a2 ,a 是标准正交组
为R n的一组标准正交基.
此定理可作为判定正交矩阵的一种方法
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定理5 设A,B皆是n阶正交矩阵, 则: (i) det A=1或-1; (ii) A-1=AT（充要条件）; (iii) AT(即A-1)也是正交矩阵; (iv) AB也是正交矩阵.
证 (i) det(ATA)=det(I)=1=(det(A))2, 所以成立, (ii) ATA=I, 当然就是A-1=AT, (iii) (AT)TAT=AAT=AA-1=I, 所以AT(即A-1)也
2020 7:42:29 AM07:42:292020/12/13
ห้องสมุดไป่ตู้
• 11、自己要先看得起自己，别人才会看得起你。12/13/
谢 谢 大 家 2020 7:42 AM12/13/2020 7:42 AM20.12.1320.12.13
• 12、这一秒不放弃，下一秒就会有希望。13-Dec-2013 December 202020.12.13
a1a 0 a2a 0
a 1
1 3
(x
2
y
2
z)
0
1 (y - z) 0
2
x2 y2 z2 1
x 4 yz 1
18
18
a (- 4 , 1 , 1 )T
18 18 18
6
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定义 若A为正交矩阵，则线性变换 Y AX
y1
a11x1
ym am1x1
a1n xn amn xn
• 13、无论才能知识多么卓著，如果缺乏热情，则无异 纸上画饼充饥，无补于事。Sunday, December 13, 20201
3-Dec-2020.12.13
• 14、我只是自己不放过自己而已，现在我不会再逼自 己眷恋了。20.12.1307:42:2913 December 202007:42
n
或 yi aij x j i 1, , m. j 1
称为正交变换。
定理 正交变换不改变向量的内积，从而不改变 向量的模、夹角和距离。
7 2020/12/13
也就是说，若列向量X,YRn在n阶正交矩 阵A作用下变换为AX, AYRn, 则向量的内积 与长度及向量间的夹角都保持不变, 即
(AX,AY)=(X,Y), |AX|=|X|,
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8、业余生活要有意义，不要越轨。20 20年12 月13日 星期日 7时42 分29秒0 7:42:29 13 December 2020
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9、一个人即使已登上顶峰，也仍要自 强不息 。上午 7时42 分29秒 上午7时 42分07 :42:292 0.12.13
• 10、你要做多大的事情，就该承受多大的压力。12/13/