A∪Ac U， A∩Ac .
模糊集不再具有“非此即彼”的特点，
这正是模糊性带来的本. 质特征.
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例：设论域U = {x1, x2, x3, x4, x5}(商品集)， 在U上定义两个模糊集： A =“商品质量好”， B =“商品质量坏”，并设
A = (0.8, 0.55, 0, 0.3, 1).
言，需要选取不同的置信水平 (0 1) 来确
定其隶属关系。截集就是将模糊集转化为普
通集的方法。模糊集A 是一个具有游移边界的
集合，它随值的变小而增大，即当1 <2时，
有A1∩A2。
.
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模糊集的-截集A是一个经典集合，由隶属 度不小于的成员构成.
例：论域U={u1, u2, u3, u4 , u5 , u6}(学生集)， 他们的成绩依次为50,60,70,80,90,95，A=“学 习成绩好的学生”的隶属度分别为 0.5,0.6,0.7,0.8, 0.9,0.95，则
并：A∪B的隶属函数为
(A∪B)(x)=A(x)∨B(x)；
交：A∩B的隶属函数为
(A∩B)(x)=A(x)∧B(x)；
余：Ac的隶属函数为
Ac (x) =. 1- A(x).
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模糊集的并、交、余运算性质
幂等律：A∪A = A， A∩A = A；
交换律：A∪B = B∪A，A∩B = B∩A；
结合律：(A∪B)∪C = A∪(B∪C)，
射，而对于模糊子集的运算，实际上可以转换称为对隶属函数的运算：
AAx 0，AU Ax 1 ABAxB x，ABAx B x AA x 1Ax
ABCC x maxAx, B x ABDDx minAx, B x
.
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也可以表示
为： 相等：A = B A(x) = B(x)；
包含：AB A(x)≤B(x)；
.
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也可用Zadeh表示法：
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 A
x1 x2 x3 x4 x5 x6
A 0.1 50.20.4 20.60.80.9 x1 x2 x3 x4 x5 x6
上式表示一个有n个元素的模糊子集。
“+”叫做查德记号，不是求和。
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模糊集的运 算
根据定义，我们知道所谓模糊集合，实质上是论域U到 0,1 上的一个映
(A∩B)c = Ac∪Bc；
对偶律的证明：对于任意的 xU (论域)，
(A∪B)c(x) = 1 - (A∪B)(x) = 1 - (A(x)∨B(x))
= (1 - A(x))∧(1 - B(x)) = Ac(x)∧Bc(x)
= Ac∩Bc (x)
模糊集的运算性质基本上与经典集合一 致，除了排中律以外，即
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根据集合论的要求，一个对象对应于一个集合， 要么属于，要么不属于，二者必居其一，且仅居其一。 这样的集合论本身并无法处理具体的模糊概念。为处 理这些模糊概念而进行的种种努力，催生了模糊数学。 模糊数学的理论基础是模糊集。模糊集的理论是1965 年美国自动控制专家查德(L. A. Zadeh)教授首先提出 来的，近10多年来发展很快。
(A∩B)∩C = A∩(B∩C) ；
吸收律：A∪(A∩B) = A，A∩( A∪B)= A；
分配律：(A∪B)∩C = (A∩C)∪(B∩C)；
(A∩B)∪C = (A∪C)∩(B∪C)；
0-1律： A∪U = U，A∩U = A；
A∪ = A，A∩ = ；
还原律：
(Ac)c
=
A
； .
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对偶律：(A∪B)c = Ac∩Bc，
B = (0.1, 0.21, 0.86, 0.6, 0).
则Ac=“商品质量不好”, Bc=“商品质量不坏” Ac= (0.2, 0.45, 1, 0.7, 0).
Bc= (0.9, 0.79, 0.14, 0.4, 1). 可见Ac B, Bc A.
又 A∪Ac = (0.8, 0.55, 1, 0.7, 1) U,
模糊集合论的提出虽然较晚，但目前在各个领域 的应用十分广泛。
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2、模糊集的概念
对于一个普通的集合A，空间中任一元素x，要么
xA，要么xA，二者必居其一。这一特征可用一个 函数表示为：
1 A(x) 0
xA xA
A(x)即为集合A的特征函数。将特征函数推广到模 糊集，在普通集合中只取0、1两值推广到模糊集中为 [0, 1]区间。
A∩Ac = (0.2, 0.45, 0, 0.3, 0) .
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3、截集
定义2 若A为X上的任一模糊集，对任意0 1，记A=｛x｜xX, A(x)｝,称A为A的 截集。
(A) = A= {x | A(x) ≥ }
A是普通集合而不是模糊集。由于模糊集的 边界是模糊的, 如果要把模糊概念转化为数学语
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例：设论域U = {x1 (140), x2 (150), x3 (160), x4 (170), x5 (180), x6 (190)}(单位：cm)表示人的身高，那么 U上的一个模糊集“高个子”(A)的隶属函数A(x) 可定义为
A(x) x140 190140
A(x) x100 200100
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查 德 1965年 给 出 的 定 义 ：
定 义 ： 从 论 域 U到 闭 区 间 0,1的 任 意 一 个 映 射 ： A:U 0,1， 对 任 意 u U， u A Au， Au0,1， 那 A 么叫 做 U的 一 个 模 糊
子 集 ， Au叫 做 u的 隶 属 函 数 ， 也 记 做 Au。
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简单地可表达为： 设U是论域，称映射 A(x)：U→[0,1]
确定了一个U上的模糊子集A，映射A(x)称为A的隶属 函数，它表示x对A的隶属程度.
使A(x) = 0.5的点x称为A的过渡点，此点最具模糊 性.
当映射A(x)只取0或1时，模糊子集A就是经典子 集，而A(x)就是它的特征函数. 可见经典子集就是 模糊子集的特殊情形.
一、模糊集及模糊关系
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1、模糊问题的提出
在自然科学或社会科学研究中,存在着许多定义 不很严格或者说具有模糊性的概念。这里所谓的模糊 性，主要是指客观事物的差异在中间过渡中的不分明 性，如某一生态条件对某种害虫、某种作物的存活或 适应性可以评价为“有利、比较有利、不那么有利、 不利”；灾害性霜冻气候对农业产量的影响程度为 “较重、严重、很严重”，等等。这些通常是本来就 属于模糊的概念，为处理分析这些“模糊”概念的数 据，便产生了模糊集合论。