马鞍山市2017届高中毕业班第二次教学质量检测高三理科数学试题本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，全卷满分150分，考试时间120分钟．考生注意事项：1．答题前，务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的学校、姓名、班级、座号、准考证号．2．答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．3．答第Ⅱ卷时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上．．．．书写，要求字体工整、笔迹清晰．作图题可先用铅笔在答题卡．．．规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚．必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效．．．．．．．．．．．．．，在试题卷．．．．、草稿纸上答题无效．．．．．．．．． 4．考试结束，务必将试题卷和答题卡一并上交．第I 卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12个题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）集合2{|230}A x x x =-->，{||2|3}B x x =-≤，则A B =（ ▲ ）（A ）(1,5] （B ）(3,5] （C ）R （D ）(,1)(1,)-∞--+∞ 【答案】C【命题意图】本题考查集合基本运算，难度：简单题．（2）已知复数z 满足34i z i ⋅=+(其中i 为虚数单位)，则z 的虚部为（ ▲ ）（A ）3- （B ）3 （C ）3i - （D ）3i 【答案】A【命题意图】考查复数的基本概念和运算，难度：简单题．（3）动点(),A x y 在圆221x y +=上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，其初始位置为01(2A ，12秒旋转一周． 则动点A 的纵坐标y 关于t （单位：秒）的函数解析式为（ ▲ ）（A ）sin()36y t ππ=+（B ）cos()63y t ππ=+（C ）sin()63y t ππ=+ （D ）cos()36y t ππ=+【答案】C【命题意图】本题考查三角函数的定义，难度：简单题．（4）已知函数1()2mx f x x n+=+的图象关于点(1,2)对称，则（ ▲ ）（A ）42m n =-=， （B ）42m n ==-，（C ）42m n =-=-， （D ）42m n ==， 【答案】B【命题意图】本题考查函数图象与性质，难度：中等题．（5）执行如图所示的程序框图，如果输出s ＝4，那么判断框内应填入的条件是（ ▲ ）（A ）k ≤ 14? （B ）k ≤ 15? （C ）k ≤ 16? （D ）k ≤ 17?【答案】B【命题意图】本题考查程序框图，难度：中等题．（6）已知2cos sin αα=，则41+cos sin αα=（ ▲ ）（A（B（C ）12（D ）2【答案】D【命题意图】本题考查三角恒等变换，难度：中等题．（7）将正方形ABCD 沿对角线AC 折成120︒的二面角，则折后的直线BD 与平面ABC 所成角的正弦值为（ ▲ ）（A ）12（B（C）2 （D【答案】A【命题意图】本题考查立体几何，二面角以及线面角的有关计算，难度：中等题．（8）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若410S ≥，515S ≤，则4a 的最大值为（ ▲ ） （A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）5 【答案】C【命题意图】本题考查线性规划思想与等差数列的基本运算，难度：中等题．（9）已知P ､Q 为ABC ∆中不同的两点，且32PA PB PC ++=0，QA QB QC ++=0，则:PAB QAB S S ∆∆ 为（ ▲ ） （A ）1:2 （B ）2:1 （C ）2:3 （D ）3:2 【答案】A【命题意图】考查平面向量，难度：中等题．（10）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为（ ▲ ） （A ）25π （B ）26π （C ）32π （D ）36π 【答案】C【命题意图】本题考查三视图，球的计算，难度：中等题． （11）已知函数2()ln 1f x x x =+，()g x kx =，若存在0x 使得00()()f x g x =，则k 的取值范围是（ ▲ ） （A ）(,1]-∞ （B ）[1,)+∞ （C ）(,]e -∞ （D ）[,)e +∞ 【答案】B【命题意图】本题考查函数图象与性质，难度：中等题．（12）已知(0,7)A ，(0,7)B -，(12,2)C ，以C 为一个焦点作过 A 、B 的椭圆，则椭圆的另一个焦点F 的轨迹方程是（ ▲ ）（A ）22148x y -= （B ）22148y x -=（C ）22148x y -=（1y ≤-）（D ）22148y x -=（1y ≥）【答案】C【命题意图】本题考查椭圆、双曲线的基本概念与运算，难度：中等题．俯视图侧视图正视图第10题图第II 卷（非选择题，共90分）本卷包括必考题和选考题两部分。

第（13）题~第（21）题为必考题，每个试题考生都必须做答．第（22）题~第（24）题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请在答题卡上答题．（13）7(1)x -的展开式中3x 的系数为 ▲ ．（用数字填写答案） 【答案】14【命题意图】本题考查二项式定理，难度：简单题．（14）已知(0,0)A ，(2,4)B -，(4,2)C ，线段AD 是ABC ∆外接圆的直径，则点D 的坐标是 ▲ ． 【答案】(6,2)-【命题意图】本题考查线直线和圆相关知识，难度：中等题． （15）在边长为2的正三角形ABC 的边AB AC 、上分别取M N 、两点，点A 关于线段MN 的对称点字73在图中出现的次数为 ▲ ． 【答案】12【命题意图】本题考查排列组合，难度：较难题．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． （17）(本小题满分12分)已知数列{}n a 是公差不为0的等差数列，23a =，且3a ，5a ，8a 成等比数列． (Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式；(Ⅱ)设cos2nn n a b a π=，求数列{}n b 的前2017项和． 【命题意图】本题考查数列的基本运算，难度：简单题． 【解】(Ⅰ)设等差数列{}n a 的公差为d ，由题意可知，111225381113321(4)(2)(7)a d a d a d a a a a d a d a d +=+=⎧⎧=⎧⎪⎪⇒⇒⎨⎨⎨==+=++⎪⎪⎩⎩⎩，所以1n a n =+； ……………………5分 (Ⅱ)由(Ⅰ)可知，(1)cos (1)cos22n n n a n b a n ππ+==+，所以数列{}n b 的前2017项和为 123420132014201520162017()()b b b b b b b b b +++++++++50422018=⨯-1010.=- ……………12分（18）(本小题满分12分)在一次数学考试中，第22题和第23题为选做题，规定每位考生必须且只须在其中选做一题，现有甲、乙、丙、丁4名考生参加考试，其中甲、乙选做第22题的概率均为23，丙、丁选做第22题的概率均为12．(Ⅰ)求在甲选做第22题的条件下，恰有两名考生选做同一道题的概率；(Ⅱ)设这4名考生中选做第22题的学生个数为X ，求X 的概率分布及数学期望．【命题意图】本题考查概率的计算，分布列与期望，难度：简单题．【解】【方法一】记“甲选做第22题”为事件A ；“恰有两名考生选做同一道题”为事件B . 由题意可计算，2()3P A =，222121112()()()23232329P AB =+⨯⨯⨯⨯=，所以2()19()2()33P AB P B A P A ===.【方法二】在甲选做第22题的条件下，恰有两名考生选做同一道题，问题等价于“乙、丙、丁三人中有且只有一人选做第22题，其余两人选做第23题”，记为事件C.由题意可计算，2111111()23222323P C =⨯⨯+⨯⨯⨯=. ………………………………………4分(Ⅱ) X 的所有可能取值为0、1、2、3、4．22211(0)()()3236P X ===，1221222121111(1)()((332326P X C C ==⨯⨯+=， 222211222211121113(2)((()()()323233236P X C C ==++⨯⨯=， 2122122211121(3)()((322333P X C C ==+⨯=，22211(4)()(329P X ==⨯=， ………………9分（19）(本小题满分12分)已知圆柱1OO 底面半径为1，高为π，ABCD 是圆柱的一个轴截面，动点M 从点B 出发沿着圆柱的侧面到达点D ，其距离最短时在侧面留下的曲线Γ如图所示．将轴截面ABCD 绕着轴1OO 逆时针旋转 (0)θθπ<<后，边11B C 与曲线Γ相交于点P ．(Ⅰ)求曲线Γ长度； (Ⅱ)当2πθ=时，求点1C 到平面APB 的距离；(Ⅲ)证明：不存在 (0)θθπ<<，使得二面角D AB P --的大小为4π．【命题意图】本题考查空间几何体的线面位置关系，空间想象能力，反证法．难度：中等题． 【解】(Ⅰ)Γ在侧面展开图中为BD 的长，其中AB = AD = π，∴Γ; …………………………3分 (Ⅱ)当2πθ=时，建立如图所示的空间直角坐标系，则有(0,1,0)A -、(0,1,0)B 、(1,0,)2P π-、1(1,0,)C π-，(0,2,0)AB ⇒=、(1,0,)2AP π=-、1(1,0,)OC π=-设平面ABP 的法向量为(,,)n x y z =，则2002y x y z π=⎧⎪⎨-++=⎪⎩，取z = 2得(,0,2)n π=，所以点C 1到平面P AB1||n π=注：本题也可以使用等积法求解． (Ⅲ) 假设存在满足要求的 (0)θθπ<<，在（II ）的坐标系中，(sin ,cos ,)P θθθ-，(sin ,cos 1,)AP θθθ⇒=-+，设平面ABP 的法向量为111(,,)m x y z =，则 111120sin (cos 1)0y x y z θθθ=⎧⎨-+++=⎩， 取x 1 = 1得sin (1,0)m θθ=，又平面ABD 的法向量为(1,0,0)k=， 由二面角D AB P --的大小为4π， 则|cos ,|m k <>=sin θθ⇒=． ………………………10分 ∵sin (0)2θθθ<<<，∴0θπ<<时，均有sin θθ<，与上式矛盾．所以不存在 (0)θθπ<<使得二面角D AB P --的大小为4π．………12分 （20）（本小题满分12分）已知动圆过定点(0,2)，且在x 轴上截得的弦长为4，记动圆圆心的轨迹为曲线C ． （Ⅰ）求直线420x y -+=与曲线C 围成的区域面积；（Ⅱ）点P 在直线:20l x y --=上，点(0,1)Q ，过点P 作曲线C 的切线PA 、PB ，切点分别为A 、B ，证明：存在常数λ，使得2||=||||PQ QA QB λ⋅，并求λ的值．【命题意图】本题考查抛物线的基本运算，直线与抛物线的位置关系，难度：中等题． 【解】（Ⅰ）设动圆圆心的坐标为(,)x y ，由题意可得，2222||2(2)y x y +=+-，C'B'C 1BD C B 1A化简得24x y =， ………………………………………………………………………………3分 联立方程组24420x y x y ⎧=⎨-+=⎩，解得114x y =-⎧⎪⎨=⎪⎩或21x y =⎧⎨=⎩， 所以直线420x y -+=与曲线C 围成的区域面积为2211119()4248x x dx -+-=⎰； ……………5分（Ⅱ）设11(,)A x y 、22(,)B x y ，则由题意可得，切线PA 的方程为111()2x y y x x -=-，切线PB 的方程为222()2x y y x x -=-，再设点00(,)P x y ，从而有1010120202()2()2x y y x x x y y x x ⎧-=-⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩，所以可得出直线AB 的方程为20000011()422222x x x y y x x y y x x x y -=-⇒-=⨯-=-⨯，即002x y x y =-．……………7分联立方程组00224x y x y x y ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，得200240x x x y -+=，又002y x =-，所以有20024(2)0x x x x -+-=， 可得120120248x x x x x x +=⎧⎨=-⎩， ………………………………………………………………8分222222000000||(1)(3)269PQ x y x x x x =+-=+-=-+，22221212121212||||(1)(1)114444x x x x QA QB y y y y y y ⋅=++=+++=⋅+++=22121212()()21164x x x x x x +-++=22200000(48)(2)2(48)1269164x x x x x ---++=-+，所以常数2||=1||||PQ QA QB λ=⋅． ………………………………………………12分 （21）（本小题满分12分）已知函数211()ln 22f x x x =+-．（Ⅰ）证明曲线()f x 上任意一点处的切线斜率不小于2；（Ⅱ）设k R ∈，若()()2g x f x kx =-有两个极值点12,x x ，且12x x <，证明：2()2g x <-．【命题意图】本题考查函数与导数的综合运用，难度：中等题．【解】（Ⅰ）因为0x >，所以切线斜率1()2f x x x'=+≥，当且仅当1x =时取得等号；……3分 （Ⅱ）211()()2ln 222g x f x kx x x kx =-=+--(0)x >，1()2g x x k x'=+-， 当1k ≤时，1()22220g x x k k k x '=+-≥=-≥， 函数()g x 在(0,)+∞上递增，无极值． ……………………………………………5分当1k >时，2121()2x kx g x x k x x-+'=+-=，由()0g x '=得2210x kx -+=，24(1)0k ∆=->，设两根为12,x x ，则12122,1x x k x x +==，其中1201x k x k <=-<<=+()g x 在1(0,)x 上递增，在12(,)x x 上递减，在2(,)x +∞上递增，从而()g x 有两个极值点12,x x ，且12x x <， …………………………………………………8分 222222221221122()ln 2ln ()22x x g x x kx x x x x =+-=-+-+-22222222213ln ()ln 12222x x x x x x x =++=----，即222223()ln (1)22x g x x x =-->， ………………………………………………………………10分构造函数23()ln (1)22x h x x x =-->，1()0h x x x'-<=，所以()h x 在(1,)+∞上单调递减， 且(1)2h =-．故2()2g x <-． ……………………………12分请考生在第（22），（23）题中任选一题做答．注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一个题目计分。