对一切 x[，)，有 A xAM ，
从而
|

six ny dy||

siu ndu|
Ay
Ax u
首页 ×
所以 sin xy dy 在[，）一致收敛. 0y 首页 ×
定 理 1 9 .8设 含 参 量 反 常 积 分 f(x ,y )d y c
首页 ×
定理19.12 设f(x, y)在
[a, )[c, )上 连 .若 续

f(x,
y)dx
关于 y在任何闭[c区 ,d]上 间一致收
a
f(x, y)dy
关于 x在任何闭[a区 ,b]上 间一致收
c
积分

dx | f(x,y)|dy 与

dy | f(x,y)|dx
单调递减且当 y时，对参量 x , g ( x, y ) 一致
地收敛于 0 ， 则

f(x,y)g(x,y)dy
c
在 [ a, b ] 上一致收敛.
首页 ×
阿贝尔判别法 设
⑴

f (x, y)dy 在 [ a, b ] 上一致收敛.
c
⑵ 对每一个固定的 x ∈[ a, b ]，函数 g ( x, y ) 为 y
连续，故每个 un( x ) 都在 [ a, b ]上连续. 根据函数项 级数的连续性定理，函数 I(x)在[a,b]上连续 .
首页 ×
定理 19.10 设f(x,y)与fx(x,y)在区域
[a ,b ] [c,)上 连 I(x ) 续 f ， (x ,y)d若 在 y c
[a,b]上收c敛 fx(x， ,y)dy在 [a,b]上一致收
若 g (y)d收 y ,则 敛 f(x ,y)d y
c
c
在[a,b]上一致收敛.
首页 ×
例２
证 明 含 参 量 反 常 积 分 0
cosxy 1 x2 dx
在(,)上一致收. 敛
证 因为，有
|
c1osxx2y|
1 1x2
y
并且反常积分
1 0 1 x2 dx
首页 ×
证:
因为

I(x) f(x,y)dy在[a,b]上
c
一致收敛， 由定理19.8，对任一递增且趋于
的数列 {An}(A1c), 函数项级数
I(x)n 1 A A n n1f(x,y)dyn 1 un(x)
在 [ a, b ] 上一致收敛. 又由于 f (x, y)在 [a,b][c, )
故由阿贝尔判别法，知 e xy sinxdx
0
x
在[ 0, d ] 上一致收敛
首页 ×
二、含参量反常积分的性质
定理 19.9（连续性） 设 f (x, y) 在
[a,b][c, ) 连续，若

I(x)c f(x,y)dy
在[a, b]上一致收敛， 则I(x)在[a,b]上连续。
即对于每 x[一 a,b]个 ,反常积分

I(x)c f(x,y)dy
都收敛，由反常积分收敛的定义，即
0 , N (,x ) c ,使得 MN,
| Mf(x,y)d yI(x)| c
其中 N 与 x 有关. 如果存在一个与 x[a,b]
无关的 N( ) 使得该不等式成立，就称
则I(x)在[a,b]上可微，且

I(x) c
fx(x,y)dy
首页 ×
定理19.11（可积性） 设f(x, y)在 [a,b][c,)上 连 续 ， 若

I(x)c f(x,y)dy
在[a,b]上 一 致 收 敛 I(x)， 在[则 a,b]上 可积，且
b
b
adcx f(x ,y )d y c da y f(x ,y )d x
首页 ×
例1. 证 明 含 参 量 反 常 积 分 sinxydy
0y
在[， ）上一致收敛（ 0其 ),但中在
（0，）内不一致收敛。
分析 要证： 0, N 0,使得 A N 时 当，
对一x切 [, )，都有
| si nxydy|
Ay
首页 ×
a
c
c
a
中有一个收敛，则另一个积分也收敛，且


adcx f(x ,y )d y cday f(x ,y )d x
首页 ×
例5 计算
sb in x sa in x
I e px 0
d x(p 0 ,b a ) x
例6 计算
si nax
证: 令 u = x y , 得
sinxy sinu
dy
du 其中 A > 0.
Ay
Ax u
由于
s inu du
收敛，故
0u
0,M c，使 A 得 M 时 当 就， 有
| si nudu|
A u
取 N M ， 则当 AN时， AM，
首页 ×
都收 ,则 敛它x的 是函 ,记 数这个I函 (x)有 ,数

I(x )c f(x ,y)d,yx [a ,b ]
则 ⑴ 式为定 [a,b]义 上在 的含 x的 参 无 量 穷
反常积分，或简称含参 量反常积分
首页 ×

设反常积分 I(x) f cosxy 0 1 x2 dx 在(,)上一致收. 敛
首页 ×
狄利克雷判别法 设
⑴ 存在 M > 0, 对一切 N > c , 及一切 x ∈[ a, b ]
都有
N
|c f(x, y)dy|M
⑵ 对每一个固定的 x ∈[ a, b ]，函数 g ( x, y ) 关于 y
的单调函数，且存在 M > 0, 使得
|g ( x ,y ) | M , x [ a ,b ] y , c

则 c f(x,y)g(x,y)dy
在 [ a, b ] 上一致收敛.
首页 ×
例 3 证 明 含 参 量 反 常 积 分exy sinxdx
0
x
在[0, d]上一致收敛.
I 0
dx x
例7 计算
(r) ex2corsd xx 0
首页 ×
含参量无界函数非正常积分
设 f (x, y) 在 [a,b][c,d] 上有定义. 若对 x 的
某些值，y = d 为函数 f (x, y) 的瑕点，则称
d
c f (x, y)dy
为含参量 x 的无界函数反常积分，或简称为含参 量反常积分.
§2 含参量反常积分
一、一致收敛性及其判别法 二、含参量反常积分的性质
首页 ×
一、一致收敛性及其判别法
设函数f (x, y)定义在无界区域 R { (x ,y )|a x b ,c y } 上，若对于每一 的个 x[固 a,b定 ],反常积分

c f(x,y)dy (1)
在[a,b]一致收敛
对任 一 的趋 递 {A 于 n 增 }(其 数 A 1中 c)， 列
函数项级数

n1
An1 An

f(x,y)dy un(x)
n1
在[a,b]上一致收敛.
首页 ×
魏 尔 斯 特 拉 斯 M 判 别 法
设有函g(数 y),使得
f(x ,y)g (y)x , [a ,b ]y , [c ,) .
反常积分在区间 [ a, b ]上一致收敛
首页 ×
定义1. 若 0 , N c ,使 得 当 M N 时 ，
对 一x切 [a,b]， 都 有
| Mf(x,y)d yI(x)| c
则称含参量反常积分

c f(x, y)dy
在[a,b]一 致 收 敛I(于 x),
或含参量积[分 a,b]在 一致收.敛
证
因为，反常积分
sin x dx
收敛，
0x
从而对于参量 y 它在 [ 0, d ] 上一致收敛，
函数 g(x,y)exy对每个 x ∈[ 0, d ]，关于变量 y
单调减少，且在[ 0, d ] 上一致有界：
|g ( x ,y )| |e x| y 1 , 0 y d ,x 0
首页 ×
由于

I(x)c f(x,y)dy
所以上述定义中的不等式
| Mf(x,y)d yI(x)| c
也可表示为
| f(x,y)dy| M
首页 ×
定 理 1 9 .7 ( 一 致 收 敛 的 柯 西 准 则 ） 设含量反常
积 分 f(x,y)d在 y [a,b]一 致 收 敛 c 0, M c， 使 A 1,A 得 2M 时 当， 对 x[a,b]，都有 | A2 f(x,y)dy| A1