2. 预备知识
2.1. 图论
图论是研究多智能体行为方式的重要工具。对于一个多智能体系统，每个智能体都可看作是一个节 点，相邻智能体之间的信息传递关系都可看作是一条边，因此我们可以很方便的运用有向图或无向图来 模拟多智能体系统的通信关系。 其中 V = {v1 , v2 , , vn } 表示图 G 的顶点集， 顶点 vi 表示第 i 个智能体， 称 G = V , E , A 为一个加权有向图， 如果是无向图则表示智能体 j 和智能体 i 之间能够接收 ( v , v ) 表示智能体 j 能够接收到智能体 i 发来的信息。
{
}
如果一个图中有一个节点到其它任意一个节点都有一条有向路径,则称此图包含有 点 v1 到 vk 的一条有向路径。 向生成树。一个图称作是强连通的，如果任意两个不同的节点之间都有一条有向路径。对于无向图，如果任 意的两个节点之间都有一条路径，那么此图称作是连通的。
n× n = A aij ∈ R 称为图 G 的权重邻接矩阵，其中 aij ≥ 0 。如果 j ∈ N i ，即图 G 中含有有向边 v j , vi ， 则邻接矩阵 A 中 aij > 0 ，否则 aij = 0 。此外，由于不考虑自环，我们假设对于 ∀i ∈ 1, 2, , N 有 aii = 0 。
T
是正定的。
2.2. 代数
定理2.2.1. [3]正定矩阵一定是非奇异的。
Ax + Bu ，引入坐标变换矩阵 P ，且 det P ≠ 0 ，则变换后的系统 定理 2.2.2. [4]设状态空间方程为= x
与原系统有相同的特征多项式和特征值，即通过非退化线性替换后，系统稳定性保持不变。
2.3. 稳定性理论
i j
E ⊆ V × V 表示图 G 的边集， A 表示权重邻接矩阵。记图 G 的一条有向边为一个有向对 ( vi , v j ) ∈ E ，有向边
到彼此的状态信息。智能体 j 是智能体 i 的一个邻居当且仅当智能体 i 能够接收到智能体 j 发送的信息。将第
j ∈ V | ( v j , vi ) ∈ E 。一列有序边 ( v1 , v2 ) , ( v2 , v3 ) , , ( vk −1 , vk ) 叫做顶 i 个智能体的所有邻居集合记为 N i =
李智超
收稿日期：2016年8月30日；录用日期：2016年9月13日；发布日期：2016年9月20日
摘
要
近年来，随着分布式网络和多智能体系统的广泛应用，协调控制问题成为了相关领域的研究热点。本文 研究了带领航者的二阶多智能体系统的有限时间一致性问题。首先，基于包含完整位置和速度信息的状 态反馈，提出了一类非线性有限时间控制协议。其次，在含有生成树的固定无向网络拓扑结构下，利用 Lyapunov稳定性理论和齐次性理论， 证明了该控制协议能够使系统中的各智能体在有限时间内与领航者 的状态达到一致。然后，在上述协议的基础上进行了拓展。基于只包含位置信息的动态输出反馈，给出 了相应的控制协议，并证明了其有限时间一致性。最后，利用Matlab分别对以上两种协议进行了数值仿 真，证明了结论的有效性。
Open Access
Abstract
In recent years, with the wide application of distributed networks and multi-agent systems, coordination and control problems have become a hot spot of research in related fields. In this paper, the finite-time consensus problems for leader-following second-order multi-agent systems are studied. Firstly, a class of nonlinear finite-time tracking control protocol is proposed, based on state feedbacks containing full information of position and velocity. Secondly, under the fixed and undirected network topology containing a spanning tree, with the help of Lyapunov stability theory and homogeneity theory, we prove that the control protocol enables each agent in the system to reach an agreement with the leader in finite time. Then, we expand the current protocol. Based on the dynamic output feedback with only relative position information, we propose the corresponding control protocol and prove its finite-time consistency. Finally, using Matlab to simulate the two kind of protocol, we prove the effectiveness of our results.
n
( x ) 为半负定；3) 除 如果存在一个标量函数 V ( x ) 具有一阶偏导数，并且满足：1) V ( x ) 为正定；2) V ( x ) 不恒为零；那么原点平衡状态是渐近稳定的。如果进一步还有当 x → ∞ 时， 去 x = 0 外，对 x ≠ 0 ，V V ( x ) → ∞ ，则系统是大范围渐近稳定的。
Finite-Time Consensus for Leader-Following Second-Order Multi-Agent Systems
Zhichao Li
Department of Mathematics, School of Science, Beijing Technology and Business University, Beijing Received: Aug. 30th, 2016; accepted: Sep. 13th, 2016; published: Sep. 20th, 2016 Copyright © 2016 by author and Hans Publishers Inc. This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY). /licenses/by/4.0/
关键词
二阶多智能体，有限时间一致，领航者，Lyapunov稳定性，齐次理论
1. 引言
近年来，随着分布式网络和多智能体系统的广泛应用，协调控制问题成为了相关领域的研究热点。 一致性作为协调控制的基础，具有很强的现实意义和理论价值。然而，关于有限时间一致性问题，大多 数文献仅仅局限于一阶多智能系统，对于二阶或更高阶的系统却很少有涉及。文献[1]提出了一类二阶 多智能体有限时间跟踪控制协议， 本文仿照其方法对原文的控制协议进行了推广， 使之具有更强适的用性。
−a , j≠i ij 其它元为零的对角矩阵。即有 L = lij ， lij = N a , j = i 。对于无向图 G ，其的拉普拉斯矩阵 L 为一 ∑ j =1 ij 个对称矩阵。 定理 2.1.1. [2]如果 G = {V , E , A} 是一个无向连通图， 那么图 G 的拉普拉斯矩阵 L ( A ) 是一个对称半正
定矩阵， L ( A ) 有 n 个实特征值，它们以如下的升序排列：= 0 λ1 ( L ) < λ2 ( L ) ≤ ≤ λn ( L = ) λmax 。 定理 2.1.2. [2]若无向图连通，对于向量 b = [b1 , b2 , , bn ] ， bi ≥ 0 ， b ≠ 0 ，那么矩阵 L ( A ) + diag ( b )
N N
(
)
deg in ( i ) = deg out ( i ) ， ∀i ∈ 1, 2, , N 。显然，无向图是一个平衡图。
= D − A ；其中度矩阵 D = diag {d1 , d 2 , , d n } 是对角元为 di = deg in ( i ) , 图 G 的拉普拉斯矩阵定义为 L
x0 < δ ⇒ lim x ( t ) = 0
t →∞
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李智超
( x, t ) < 0 V
且连续，则称系统(2-1)的平衡点 x = 0 是稳定的。 定理 2.3.2. 设系统的状态方程为
= f ( x ) ， f ( 0 ) = 0 ， x ( 0 ) = x0 ， x ∈ R x
Keywords
Second-Order Multi-Agent, Finite-Time Consensus, Leader, Lyapunov Stability, Homogeneity Theory
带领航者的二阶多智能体系统的有限时间 一致性
李智超
北京工商大学理学院数学系，北京
文章引用: 李智超. 带领航者的二阶多智能体系统的有限时间一致性[J]. 统计学与应用, 2016, 5(3): 246-262. /10.12677/sa.2016.53025
Statistics and Application 统计学与应用, 2016, 5(3), 246-262 Published Online September 2016 in Hans. /journal/sa /10.12677/sa.2016.53025