8.1 弹性与广义弹性 8.2 阻尼与阻尼材料
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8.1 弹性与广义弹性
➢ 弹性模量（E）是材料最常用的力学性质之一，它描述 应力与应变之间的比例关系。不同的弹性行为是由其基 本结构决定
➢ 金属、陶瓷——晶体结构、缺陷 高分子材料——分子链构型、交联、缠绕
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➢ OA弹性区：应力-应变满足 虎克定律；其比例系 数定 义为弹性模量，外力释放 后，材料的变形能够恢复 原来的状态
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➢ 应力T用分量形式表示为
Tx
s xxi
s yx
j
s
zx
k
ห้องสมุดไป่ตู้
Ty s xyi s yy j s zyk
Tz
s xzi
s yz
j
s zzk
sxy表示Ty的x分量，sij构成了应力张量s，i=j的是正应力
分量，i≠j是切应力分量
T=s×n
sij=sji
➢ 表明应力张量是对称张量，只有6个独立分量，即3个正 应力3个切应力
体积模量B
E s F l A0 l0
m F A0 tan
B
P V
PV0 V
V0
➢ 对于各向同性材料，存在如下关系
E 2m(1 ) 3B(1 2 ) A l l
A0 l
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➢ 弹性模量是固体原子之间结合强度的标志之一，原子半径和 离子半径越小，原子价越高的物质，弹性模量和硬度就越大
➢ 固体作弹性拉伸时，其原子间距增大，因而外力对抗了原 子间作用力作了功，导致内能U增加，从而使自由能增大。 因此常规弹性来源于内能增加引起的自由能增加
➢ 两个固体原子之间相互作用的Lennard-Jones势为
(r)
pq pq
b
[
1 p
(
a0 r
)
p
1 ( a0 )q ] qr
b是势能极小值，对于惰性元素、固体和金属，p =12，q
➢ 碳化物(400~700 GPa)>硼化物、氮化物>氧化物(150~300GPa) 金属材料：0.1-100GPa 无机材料：1-100GPa 陶瓷材料由于内部存在气孔，其弹性模量随气孔率的增大而 降低
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弹性模量的测定方法
➢ 静态法 测量应力-应变曲线(弹性变形区)，然后根据曲线计算弹 性模量。不足之处：载荷大小、加载速度等都影响测试结 果。在高温测试时，由于金属材料的蠕变现象降低了弹性 模量值．对脆性材料，静态法也遇到极大的困难
z
uz x
uz y
uz z
6
ux x
1 (ux + uy ) 2 y x
1 2
( ux z
uz x
)
eij
1
2
( u y x
+
ux y
)
uy y
1
( u y
uz
)
2 z y
1
( uz
+
ux
)
1 (uz + uy )
uz
2 x z 2 y z z
0
1 (ux - uy ) 2 y x
任意形状的介质内任一点处的应力矢量T 定义为
dF T dS
➢ 应力矢量T和法线矢量n的方向不一定相同，要全面描 述介质中的应力状态，就应该知道通过每一点的任意截 面上的应力，所以一般在该点附近取一个无限小的体积 元，只要求出六个面上的应力，就可以知道通过该点任 意截面上的应力
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➢ AB屈服变形
➢ BC塑性变形区：应力应变
间不一定满足正比关系，
sp—比例极限；ss—屈服强度； sb —抗拉强度；
其特征系数远小于E，外力 释放之后，恢复不到初始 材料的长度
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8.1.1 弹性参量
1. 应力
ˆ dF o nˆ
dS
➢ 应力——作用于物体内单位面积上的弹性力。平衡状态的
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2. 应变 ➢ 应变是用来描述固体在应力作用下内部各点相互位置改变 的参量。介质中任意一点形变前后的位置可以用矢径矢量 r和r’来表示，变化的位移矢量是位置的函数
u=r-r’ ➢ 相邻两点之间的相对位移du为
du (ux dx ux dy ux dz)i (uy dx uy dy uy dz) j (uz dx uz dy uz dz)k
x y z
x
y
z
x y z
➢ 形变张量b是非对称的，分解为对称张量和非对称张量
之和，即bij=eij+wij
ux ux ux
其中
eij
1 ( ui 2 x j
u j ) xi
eji
wij
1 ( ui 2 x j
u j xi
)
w
ji
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x
y
z
bij
uy
x
u y y
uy
量为正应变分量，i≠j的分量为切应变分量
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3. 弹性模量
➢ 只有理想弹性体应力和应变之间才有最简单的线性关系。 对一般物体，在弹性范围内，作为一级近似，特别是在小 形变时，应力与应变满足广义虎克定律
s ij cijklekl
k ,l
➢ cijkl构成一个四阶张量——弹性模量张量，又称弹性刚量 张量。 它表征材料抵抗形变能力（即刚度）的大小。c越
1 (ux 2 z
uz x
)
wij
1
(
u
y
2 x
-
ux y
)
0
1
( uy
uz
)
2 z y
1
( uz
-
ux
)
1 (uz - uy )
0
2 x z 2 y z
➢ 相对位移∑wijdxj使介质内相邻两点间的距离和夹角保持不 变，张量w称为转动张量；相对位移∑eijdxj则使体元的形 状与大小均发生变化，对称张量e称为应变张量，i =j的分
➢ 动态法 加载频率很高，可认为是瞬时加载，试样与周围的热交换 来不及进行，即几乎是在绝热条件下测定的。动态法测弹 性模量较精确，试样承受极小的交变应力，试样的相对变 形甚小，用动态法测定E、G对在高温和交变复杂负荷条 件下工作的金属零件、部件尤其重要
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8.1.2 常规弹性的物理本质
= 6，上式简化
(r)
b[(
a0 r
)12
2(
a0 r
)6
]
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F 60b r 60b
r 91a0 a0 91a0
大，越不容易变形，表示材料的刚度越大
➢ cijkl=cjikl=cijlk=cjilk，弹性模量张量81个分量只有21个独立分 量。晶体对称性不同，独立分量数也不同：三斜18个，单
斜12个，正交9个，四方和菱面体6个，六角5个，立方3个，
各向同性2个 ..........
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➢ 各向同性介质有三种弹性模量：杨氏模量E、切变模量m、