大学物理力学部分习题
R
f
h0
m
r
N
解: (1) 因是纯滚动,A点瞬时速度为
A
h
v
c
v A 0,
f vA 0, 即摩擦力不做功。
x
由机械能守恒: 1 1 2 mgh0 mgh mvc J z 2 , 2 2
mg
1 (1) 式中 J z mR 2 2
由相对速度
vA vc R 0, vc R
vc 4 g ( h0 h) 3
(2)
由(1),(2) 解得
4 vc g ( h0 h) 3 vc 1 4 g ( h0 h) R R 3
(2) 根据质心运动定理 以质心为参考点,根据转动定律 由 A 点瞬时速度为零,有
解得
mg sin f mac
1 Rf J c mR 2 2
25
由机械能守恒
1 1 1 2 2 2 J 0 mg ( 2 R ) J c mv c 球地 2 2 2
vc球地 vc球环 将 vc球地 vc球环 和 c 0
可得 vc球 地 vc球 Nhomakorabea vc环 地 vc球 环
代入,
1 1 1 2 2 2 J 0 mg( 2 R ) J 0 mvc 球环 2 2 2
O A
N3
N1 N2
B
O’ C
由于圆环参考系为 非惯性系。 小球要受科氏力和惯性离心力,还需考虑它们的功。
23
科氏力与速度垂直,不作功; 但惯性离心力要作功, 而且这个功( 和 r 都变) 不易求。 所以,机械能不守恒; 而且用功能原理也不容易算。 R
O A
N3
N1 N2
J mR (1 cos )d (cos )
2 2 0
cos mR cos mR ) 3
3 2 2
0
2 2 mR 3
例2 从一个半径为 R 的均匀薄圆板上挖去一个半径为 R/2 的圆板, 所形成的圆洞的中心在距圆薄板中心 R/2 处,所剩薄板的质量为 m 。求此时薄板对通过原中心与板面垂直的轴的转动惯量。 解:
vc球环 4 gR
结束
环又回到原来的角速度, 球的势能转化为动能。
26
例 6 两个同样重的小孩,各抓着跨过滑轮的轻绳 的一端如图,他们起初都不动,然后右边的小孩 用力向上爬绳,另一个小孩仍抓住绳子不动。忽 略滑轮的质量和轴的摩擦。 问:哪一个小孩先到达滑轮? 解 设滑轮半径为R,两小孩 的质量分别为m1、m2,
方向垂直向下, 对角动量无贡献
此
v 应是 vB球地
O’ C
所以,此 v 即 vB环地
= B R J0 JB mB RR
B
v B环地 v B20 球地
v B球环
J0 JB mB RR ( J mR2 ) B J 0 环转动变慢, B , B 0 因小球有了角动量。 2 J mR
B
O’ C
(2)求小球在C点时,环的角速度 c 及小球相对环的速率vc球环
24
考虑小球从A
C的过程(更简单)
同理,对系统:“小球+环”
条件: M外=0,角动量守恒
Jc 0 J0 0
环又回到原来的角速度。
c 0
vc球环=?
同理,对系统:“小球+环+地球” 条件:只有保守力作功,机械能守恒 取C点为重力势能的零点,
O`
11
例3 如图所示,两物体的质量分别为 m1 和 m2 ,滑轮质量为 m ,半径为r, 已知 m2 与桌面之间的滑动摩擦系数为 μ,不计 轴承摩擦,求 m1 下落的加速度和两段绳中的张力。 解: 对 m1 :
m1 g T1 m1a (1)
对 m2 : T2 m2 g m2 a (2) 1 a 对滑轮: (T1 T2 )r J mr 2 (3) 2 r (m1 m2 ) g a 1 m1 m2 m 2 ( m1 m2 ) g
1 1 1 2 2 2 2 J 0 mgR J B m( v B球 环 v B环 地) 2 2 2 1 1 2 2 2 2 J B m( v B球 环 B R ) 2 2 N1 O 2 2 A J 0 R 得 v B球 环 2 gR N2 2 J mR
16
结果讨论:静摩擦力在能量转换中的作用 把刚体边缘与斜面接触点的位移分解为: 随质心的平动+绕质心的转动
等值,反向
摩擦力对此作负功 摩擦力对此作正功
二者之和为零,摩擦力使减少的势能不是 全部转换为平动动能,而是部分地转换为 转动动能。
17
例5 一个内壁光滑的刚性圆环形细管,开始时绕竖直 的光滑固定轴 o o ’ 自由转动,其转动惯量为J ,角 速度为 0 ,环的(平均)半径为 R. 一个质量为 m 的 小球在管内最高点A 从静止开始向下滑动。(作业4.23) 求: (1)小球滑到环的水平 直径的端点B 时, 环的角速度多大? 小球相对于环的速率多大? (2)小球滑到环的最低点C时, 环的角速度多大? 小球相对于环的速率多大? mO A
2
2、力的空间积累效应
(1) 功 (2) 动能 质点的动能 质点系的动能
dA F dS
1 2 Ek mv 2
1 N Ek mvi2 2 i 1
重力势能
弹性势能 引力势能
(3) 势能
1)保守力
2)保守力的判断
3)势能
E p G
E p mgh 1 2 E p kx 2 Mm
N N 1 N 2 N 3
O’ C
19
如果将系统扩大:小球+环 由于支持力矩是一对内力矩, 它始终为零! 有 M外 0
O A R
N3
N1 N2
所以此系统角动量是守恒的。
J0 0 JB m v R
B
v B球地 v B球环 v B环地
dJ=dm,(Rsin )2 = (m/4 R2)2Rsin dr (Rsin )2 = (m/4 R2)2Rsin Rd (Rsin )2
dr
d R
由薄圆环的转动惯量mr2,可得圆环的转动惯量为:
mR 2 (1 cos 2 )sin d 2
所以:
mR2 (1 cos2 )sin d J 2 0
r
(4) 动能定理 质点的动能定理
质点系的动能定理
1 2 1 2 A Ek 2 Ek 1 Ek mv2 mv1 2 2
A外 A内 Ek
(5) 机械能守恒定律及能量守恒
机械能守恒定律: 只有保守内力做功时,质点系的机械能保持不变.
能量守恒定律: 一个封闭系统经历任何变化时,该系统的所有能量的总和不改变.
讨论: (1)量纲 对 (2)当 0=0时,
R
N3
B
v B球环 2 gR
O’ C
若选“小球+地球”为系统,好不好? 答;不好! 22
对“小球+地球”系统, 机械能 不守恒,
从地面系看, 环对小球的支持力(外力) 是作功的, E机 不守恒。 从环参照系看, 环对小球的支持力是不作功的, 但环不是惯性系。 R
系统所受的对某一固定轴的合外力矩为零时, 系统对此轴的总角动量保持不变
(5) 机械能守恒定律
只有保守力做功时,
Ek E p 常量
6
三、题型以及例题
求特殊形状刚体的转动惯量
刚体转动定律以及牛顿第二运动定律的应用 刚体定轴转动的动能定律、机械能守恒以及角动量 守恒的应用
7
8
例1 求质量为m,半径为R的薄球壳的转动惯量。 解:在球壳上取圆环: 其中环dr=Rd, 质量为dm=2Rsindr,其中 =m/4 R2
大学物理习题课
——力学部分2
1
运动的守恒定律
1、力的时间积累效应
(1) 冲量
Fdt
动量
p mv
0
(2) 动量定理: (3) 动量守恒定律:
t I Fdt p2 p1
F外 0时 pi p j pi pj
(4) 角动量、角动量定理以及角动量守恒定律
半径为 R 的大圆盘对 O 点的转动惯量为
1 R 2 R 2 1 I 2 m2 ( ) m2 ( ) mR 2 2 2 2 8
R O
R/2
1 1 m 2 2 2 I1 MR (m ) R mR 2 2 2 3 3 13 总转动惯量 I I1 I 2 mR 2 24
R
B
O’ C
18
解:
(1)求小球在B点时环的角速度B及
小球相对环的速率vB球环
N1 N2
对小球从 AB的过程: 有人选系统:小球 说:小球的角动量守恒(?) 小球的重力对轴无力矩, 环的支持力对轴有力 矩
O A R
N3
B
其中 N 对轴无力矩, 1, N2 但是 N 3 对轴是有力矩的! 所以小球的角动量不守恒!
i
力矩 力矩的功 A M d
1 2
角动量
1 转动动能 Ek J 2 2
5
二、基本定律
(1) 转动惯量平行轴定理
J z J c Mh 2 (2)刚体定轴转动定理
M J
(3) 定轴转动刚体的动能定理
A内 0
(4) 角动量守恒定律
1 1 2 A外 Ek J 2 J 12 2 2
m 4 m 圆盘质量面密度 2 2 R ( R 2) 3 R 2