m1 m2 m3
11
9l 3 768EI
22
16l 3 768EI
33
9l 3 768EI
1
2 22
9
1
m 22
2l3m 16l
768EI 16l 3m
3m 34l
2 11
1
m 11
3m1 4.752
2 33
768EI 9l 3m
EI
ml 3 1 4.933
EI 精确解 ml 3
12 768EI 768EI 768EI
设质量矩阵 M ，柔度矩阵为
则有 x M x 0
设系统作j阶主振动,则有：
{x} 2j {A}( j) sinjt 2j {x}
代入得特征方程：
([ ][M
有
11m11
1
2 j
12m12
]
1
2 j
[
I
]){ห้องสมุดไป่ตู้} 0
1n m1n
m 21 21
m 22 22
1
2 j
2 n m2 n
0
m n1 n1
n 2 mn 2
nn mnn
1
2 j
假设质量矩阵为对角阵，展开得：
1
2n j
(11m11
22m22
nn
mnn
)
1
2(n j
1)
0
根据多项式的根与系数之间的关系
1
2 j
的n个根
1
12
，122
1 之和为
n2
1
12
1
22
1
n2
11m11 22m22
nnmnn
由于二阶频率往往比基频高得多
sii 1i p,q
[S ] [S ](1)[S ](2) [S ](n)
用雅可比法求n阶对称矩阵[A]的特征值和特征向量的步骤
①设S In 为单位矩阵
②在A中选取非对角线元素中绝对值最大的元素 apq
③ apq
④Vb实现
x apq
x
1 y 2 (app aqq )
x2 y2
tan 2 x
T 1 {x}T [M ]{x} 2
V 1 {x}T [K ]{x} 2
系统作j阶主振动时 {x}( j) {A}( j) sin(jt )
速度及加速度
{x}(
j)
{A}(
j) j
cos(jt
)
{x}( j)
{A}(
j
)
2 j
sin(jt
)
Tmax
1 2
2 j
{
A}(
j
)T
[
M
]{
A}(
j
得 ([K ] 2[M ]){a} 0
问题又归结为矩阵的本征值问题，但与原系统的本征值 比，矩阵的阶数r小于原系统的阶数n.
1
11
忽略 1 22
1得
n2
n2
22 12
1
12
11m11 22m22
n
nnmnn iimii i 1
1
1
n
ii mii
i 1
设
ii
kii mii
1
ii mii
ii表示仅有质量mii单独存在时（原多自由度系统变成单
自由度系统）的固有频率
如例题
1
12
1
2 11
1
2 22
1
2 nn
2.雅可比（Jacobi）法求特征方程 设[A]为对称阵， [A]{x} {x}
[S ]T [ A][S ] [D] diag(d1, d2, dn )
即可断定[D]的n个对角元素就是[A]的n个特征值，而[S]
的第i列就是[D]中第i个对角元素所对应的特征向量，
[S]为坐标变换矩阵。 在[A]中非对角线元素中选取一个绝对值最大的元素，设
综合各方面的因素，比较、权衡，才能判定所应采取的方法；有时为了 互相验证，也可以同时采取两种以上的方法来处理动响应分析
§5.2 求解系统固有频率主振型的近似解法
1.邓克利法：是邓克利首先通过实验方法建立起来的一个计
算公式，后来才得到完整的数学证明。
1894年邓克利：提出一种近似计算多圆盘轴横向振动基频 的实用方法（偏小）
y
sin 2
sin
2(1 1 2 )
cos 1sin2
1
S
第p列
1
cos
1
sin
第q列
sin
1
cos
1
第p行
第q行
1
作业：5-1（2）
3.瑞利（Rayleigh）法和里兹法
已知系统的刚度[K]，质量[M]，并设定系统的j阶主振型为
{A( j)}
对于作简谐运动的多自由度系统，其动能T与势能V
响应数值分析：
1.中心差分法 2.Wilson-θ法 3.Newmark法
响应求解方法的选择取决的因素有：载荷、结构、精度要求、非线性 影响程度、方法的稳定性等。
对结构过于复杂的情况，宜采用直接积分法，结构较简单的情况可采用 模态迭加法。
对精度要求较低的初步设计阶段，可采用取少数模态的模态迭加法。对 精度要求较高的最后设计阶段，宜采用直接积分法
为 apq ，利用平面旋转矩阵[S( p, q, )]
对 A进行正交变换：[ A]i1 [S( p, q, )](i)[ A](i)[S( p, q, )](i)
其中 spp cos sqq cos spq sin
sqp sin sij 0
tg2 2apq
app aqq
i, j p, q
第五章 结构动力学中常用的数值解法
§5.1概述
数值分析技术为结构的动态分析提供了有力的保障，为 工程结构在各种复杂的动力学环境下的模拟和仿真提供 了有效工具。
工程结构的动态分析主要包括两个方面：结构的动态 特性分析和结构动态响应分析
标准特征值问题
1 雅可比方法（Jacobi）、 2.Rayleigh-Ritz 3.子空间迭代法 4. 行列式搜索法
行列式搜索法是求解大型特征值问题的另一种方法。它的特点 是综合运用多项式加速割线迭代，移轴向量逆迭代，Sturm序列的性质 以及Gram－Schmidt正交化过程，直接计算所需要的任意特征对，通 常是计算最小的部分特征值及相应的特征向量。
因此，它是一种计算部分特征对的特殊求解方法。此方法具有
计算速度快，精度高，灵活等优点。
)
Vmax
1 {A}( j)T [K ]{A}( j) 2
2 j
{A}( j)T [K ]{A}( j) {A}( j)T [M ]{A}( j)
2 j
K j T M j T
j j
里兹法：是瑞利法的改进
将瑞利法使用的单个假设模态改进为若干个独立的假设
模态 ( j) ( j 1, 2 r)的线性组合 r {A} aj ( j) [ ]{a}
{a} {a1 a2
a } j1
T
r
R(
a)
{A}T [K]{A} {A}T [M ]{A}
{a}T [K]{a} {a}T [M ]{a}
[K ] [ ]T [K ][ ]
[M ] [ ]T [M ][ ]
瑞利商在真实模态处取驻值 R 0 ( j 1, 2 r)
a j
（参见 刘延柱振动力学 107页和谢官模振动力学244页）