2et e2t
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2et 2e2t et 2e2t
例2-6，利用凯莱-哈密顿定理— -----------------自学！ 例2-3与例2-7也请注意自学！
2.3 线性定常系统非齐次方程的解
现在讨论线性定常系统在控制作用 方程为非齐次矩阵微分方程：
作用下的强制运动。此时状态
当初始时刻
4.性质四
或
(4)
这个性质说明，
矩阵与A矩阵是可以交换的。
注：本性质还表明，由状态转移矩阵
可反推A！
5.性质五
ห้องสมุดไป่ตู้对于
方阵A和B，当且仅当AB=BA时，有
而当AB≠BA是，则
这个性质说明，除非距阵A与B是可交换的，它们各目的矩阵指数函 数之积与其和的矩阵指数函数不等价。这与标量指数函数的性质是不同的。
既然式(4)是式(1)的解，则式(5)对任意时刻 都成立，故 的同次 幂项的系数应相等，有：
在式(4)中，令
，可得：
将以上结果代入式(4)，故得： (6)
等式右边括号内的展开式是 即
于是式(6)可表示为：
矩阵，它是一个矩阵指数函数，记为 ， (7)
再用 的正确性。
代替
即在代替 的情况下，同样可以证明式2)
2.2.2 状态转移矩阵(矩阵指数函数)的基本性质 1．性质一
或
(1)
这就是组合性质，它意味着从 转移到0，再从0转移到 的组合。
2.性质二
或
(2)
注：本性质可用于判断矩阵是否符合状态转移矩阵的条件 3.性质三
或
(3)
大家有疑问的，可以询问和交流 可以互相讨论下，但要小声点 9
EAST CHINA INSTITUTE OF TECHNOLOgy
3）用拉氏变换法求解 e A tL 1 (s I A ) 1
s3
sIA1 2s
11 s3
(s
1)(s 2
2)
(s1)(s2)
1
(s1)s(s2)
(s1)(s2)
s3 eAtL1(s1)2(s2)
(s1)(s2)
((ss11))1s((ss22))L1ss2211ss2122
s111s212 s1 s2
2.2.3 几个特殊的矩阵指数函数 1．若 A 为对角线矩阵，即
(5) 则
(6) 2.若 A 能够通过非奇异变换予以对角线化，即
则 (7)
3.若 A 为约旦矩阵
则 (8)
4.若 (9)
2.2.4 1.根据
的计算 的定义直接计算
编程，用计算机算，最终能得到收敛解。但很难得到解析解。例2-1 2.变换 A 为约旦标准型 （1）A 特征根互异
初始状态
时，其解为：
（1）
式中，
。
（2）
当初始时刻为 ，初始状态为
时，其解为：
（3）
式中，
。
证明 采用类似标量微分方程求解的方法，将式（1）写成：
等式两边同左乘
，得：
即 （4）
对式（4）在
上间积分，有：
整理后可得式（2）：
同理，若对式（4）在
上积分，即可证明式（3）。
式（2）也可从拉氏变换法求得，对式（1）进行拉氏变换，有：
其中 T 是使 A 变换为对角线矩阵的变换阵。由式（7），有：
3.利用拉氏反变换法求 (10)
证明 齐次微分方程
两边取拉氏变换
即 故
对上式两边取拉氏反变换，从而得到齐次微分方程的解：
4.应用凯莱—哈密顿定理求 （1）由凯莱—哈密顿定理，方阵A满足其自身的特征方程，即
所以有
它是 同理
的线性组合。
以此类推，
所谓系统的自由解，是指系统输入为零时，由初始状态引起的自由 运动。此时，状态方程为齐次微分方程：
(1)
若初始时刻 时的状态给定为
则式(1)有唯一确定解：
若初始时刻从
开始，即
(2) 则其解为：
证明： 级数形式
和标量微分方程求解类似，先假设式(1)的解
(3) 为 的矢量幂
(4) 代入式(1)得：
(5)
(13) 证明 同上，有：
上式对 ，求异数，有： 再对 求异数，有：
重复以上步骤，最后有：
由上面的n个方程，对
求解，记得公式（13）。
例2-1，2-2，2-4：求以下矩阵A的状态转移矩阵
[解]： 1）直接算法（略）
2）用标准型法求解
A
0 2
1 3
特征值： 11,22
特征值互异 ，转化成对角标准型，且A为友矩阵
满足初始状态 x(t)|t0x(0) 的解是： x(t)eAtx(0)
满足初始状态 x(t)|tt0x(t0)的解是： x(t)eA(tt0)x(t0)
令： eeAAt(tt0Φ ) (tΦ) (则t 有t0：)
x(t)Φ(t)x(0) x(t) Φ(t t0)x(t0)
线性定常系统的状态转移矩阵
注：状态矩阵一般不是常数，而是时间的函数 起始矢量可以任意取，系统求解区间可任意选定—状态空间法的优点
2.2 矩阵指数函数——状态转移矩阵
2.2.1 状态转移矩阵 齐次微分方程(1)的自由解为：
或
令Φ(t)eAt，反应了由初始状 间t的 态运 到动 时规律
该式反应了状态矢量由初始状态到任意时刻的矢量变换关系，反应了 状态矢量在空间随时间转移的规律，因此称为状态转移矩阵。
2.2 矩阵指数函数——状态转移矩阵
第二章 控制系统状态空间表达式的解
2.1 线性定常齐次状态方程的解(自由解) 2.2 矩阵指数函数——状态转移矩阵 2.3 线性定常系统非齐次方程的解 2.4 * 线性时变系统的解 2.5 * 离散时间系统状态方程的解 2.6* 连续时间状态空间表达式的离散化
2.1 线性定常齐次状态方程的解(自由解)
即
上式左乘
，得：
注意式（5）等式右边第二项，其中：
（5）
两个拉氏变换函数的积是一个卷积的拉氏变换，即 以此代入式（5），并取拉氏反变换，即得 ：
在特定控制作用下，如脉冲函数、阶跃函数和斜坡函数的激励下，则 系统的解式（2）可以简化为以下公式：
11 1 1
P 1
2 1 2
P 1 1 2 1 1 2 1 1 1
eAtPeAtP1Pe1t 0
e0 2tP111
1et 20
02 1 e2t1 1
et e2t 2 1 2et e2t
et e2t
et 2e2t1 12et 2e2t et 2e2t
都可用
线性表示。
(2)在 定义中，用上面的方法可以消去 A 的 n及 n以上的幂次项， 即
（3）
的计算公式
（11）
A的特征值互异时，则
（12）
证明 根据A满足其自身特征方程的定理，可知特征值 和 A 是 可以互换的，因此， 也必须满足式（11），从而有：
上式对 A 的特征值均相同，为 时，则
求解，即得式（12）。