a. x t t t x (t 0 ) 表示系统在 t 0时刻的状态
0
b.
若初值x t 0 给定，t t 0时的u t 给定，则状态变量完全 确定系统在t t 0时的行为.
注：状态变量的选取不唯一。
状态变量不一定在物理上可量测。 尽可能选取易量测的量作为状态变量。


数值型和逻辑型 线性和非线性 时变和定常的 连续时间型和离散时间型 集中参数和分布参数等

这种描述系统动态特性的数学表达式称为系统的动态 方程
建立数学模型的主要方法有
机理分析建模 实验建模（系统辨识）
动态系统数学描述的基本方法
外部描述－输入输出描述 内部描述－状态空间描述
7、输出方程
描述系统输出变量和系统状态变量、输入变量之间关系的 代数方程。 一般形式：
y(t ) g ( x(t ), u(t ), t ) y (tk 1 ) g ( x(tk ), u (tk ), tk )
8、状态空间表达式
状态方程和输出方程合起来构成对一个动态系统完整的描述， 称为动态系统的状态空间表达式。（2）及ຫໍສະໝຸດ RL y ucn RL R0
(3)
在已知输入u的情况下，解方程式（2）、式（3）,不仅可求出输出响应y， 而且能得知系统内部电容上电压随时间变化的动态过程信息。因此,式（2）、 式(3)是图所示电网络系统的一种完全描述。
4、因果性
系统在t时刻的输出取决于t时刻和t时刻之前的输入， 和t时刻之后的输入无关，则称系统具有因果性。
静态系统的输出取决于当前系统的瞬时输入，而动
态系统的输出取决于系统当前及过去的输入信息的 影响的叠加
如，电阻的电流直接等于当前的电压输入与电阻值
之比，而电容两端的电压是通过电容的当前及过去 的电流的积分值与电容值之比
• 在进行动态系统的分析和综合时，首先应建立该 系统的数学模型

在系统和控制科学领域内，数学模型是指能描述动态 系统的动态特性的数学表达式，
本课程的任务是系统分析和系统设计。而不论是系统分析还是系统 设计，都是基于系统的数学模型来进行的。因此，本章首先介绍控 制系统的数学模型。
本章主要内容为：
1、状态和状态空间表达式
2、系统状态空间模型的建立 3、状态空间描述和传递函数矩阵 4、线性变换 5、组合系统的数学描述 6、离散系统的数学模型 线性连续时间 系统为主
(t ) f ( x(t ), u (t ), t ) x y (t ) g ( x(t ), u (t ), t )
或
x(tk 1 ) f ( x(tk ), u (tk ), tk ) y (tk 1 ) g ( x(tk ), u (tk ), tk )
5、线性
当对于任何输入u1和u2及任何实数a，均有 可加性： H(u1+u2)=H(u1)+H(u2) 齐次性: H(au1)=aH(u1) 则称系统是线性的，否则为非线性。
1.2 系统状态空间描述中的基本概念
1、状态 表征系统运动的信息和行为 2、状态变量 完全表征系统运动状态的最小个数的一组变量。 表示符号：x1(t),x2(t),…,xn(t)
• 控制理论主要是研究动态系统的系统分析、 优化和综合等问题

动态系统（动力学系统）指能储存输入信息 （或能量）的系统。
含有电感和电容等储能元件的电网络系统 含有弹簧和质量体等通过位移运动来储存机械能的
刚体力学系统 存在热量和物料信息平衡关系的化工热力学系统等
这类系统与静力学系统的区别在于：
x2
x(t0)
x ( t 1) x ( t 2) x(t) x1
图 二维空间的状态轨线
6、状态方程
描述系统状态变量和输入变量之间关系的一阶微分方程 组（连续时间系统）或一阶差分方程组（离散时间系统）。
一般形式： x (t ) f ( x(t ), u(t ), t )
x(t k 1 ) f ( x(t k ), u (t k ), t k )

系统数学描述的两种基本方法
被控过程 执行器 被控对象 控制器 x 观测y
控制u
传感器
反馈控制
控制输入
典型控制系统方框图
u1 u2 up
被 控 过 程
y1
x1 , x2 ,xn
y2 yq
1.1 系统描述中的基本概念
1、系统 一些相互制约的部分构成的且具有一定功能的整体 2、输入和输出 u1 y1 y2 u2 输入：环境对系统的作用 x1, x2, …,xn yq up 输出：系统对环境的作用 系统的方块图表示 3、系统数学描述的类型 （1）系统的外部描述 传递函数 （2）系统的内部描述 状态空间表达式
1.2 系统状态空间描述中的基本概念
3、状态向量
把系统的n个状态变量构成一个列向量x(t)，称x(t)为n维状 态向量。
x1 (t ) x (t ) x n (t )
4、状态空间
以n个状态变量为坐标轴所构成的n维空间，称为状态空间。
5、状态轨线
状态向量的端点在状态空间中 的位置,代表系统在某一时刻的运 动状态。 随着时间的推移，系统状态 在变化，并在状态空间描绘出 一条轨迹。这种系统状态向量 在状态空间中随时间变化的轨 迹称为状态轨线。
例:考察下图所示的n级RC网络。图中虚线框内 为具有放大器隔离的n级RC电路,设放大器的输入阻 抗为无穷大，输出阻抗为零，放大倍数为1。
图1 n级RC网络
系统以输入u、输出y作为变量的外部描 述为高阶线性常系数微分方程,即
y ( n ) a1 y ( n 1) a n 1 y (1) a n y bu
（1）
重新考察以上电网络，利用电路知识容易得到如下一阶微分方程组
1 1 du c1 u u c1 dt R1C1 R1C1 du c 2 1 1 uc2 u c1 R2 C 2 R2 C 2 dt 1 1 du cn u u c ( n 1) cn dt Rn C n Rn C n