第三章统计案例知识整合与阶段检测[ 对应学生用书P42]一、回归分析1．线性回归分析对于一组具有线性相关关系的数据( x1，y1) ， ( x2，y2) ，， ( x n，y n) ，其线性回归直线方程为y＝ a＋bx，n nx i－ xy i－ y x i y i－ n x · yi ＝ 1 i ＝1其中 b＝＝，n nx i－ x 2 2 2x i－ n xi ＝ 1 i ＝ 1a＝ y － b x .2．相关系数nx i－ x y i－ yi ＝ 1r ＝n nx i－ x 2·y i－ y2i ＝ 1 i ＝1nx i y i－ n x · yi ＝ 1＝，n n2 2 2－ n y 2x i－ n x ·y ii ＝1 i ＝ 1| r | 值越大，相关性越高，| r | 值越接近0，线性相关程度越低．二、独立性检验独立性检验的一般步骤(1)列出 2×2列联表；(2) 代入公式计算2n ad－ bc 2χ ＝a＋c a＋ b b＋d c＋d ；(3)根据χ2的值的大小作出判断．对应阶段质量检测三见 8开试卷( 时间 90 分钟，满分120 分 )一、选择题 ( 本大题共10 小题，每小题 5 分，共50 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1． ( 全国新课标 ) 在一组样本数据 ( x1，y1) ， ( x2，y2) ，， ( x n，y n)( n≥2，x1，x2，，x 不全相等 ) 的散点图中，若所有样本点( x，y )( i＝1,2 ，，n) 都在直线y＝2x＋ 1 上，则n i i 1这组样本数据的样本相关系数为( )A．－ 1 B． 01C. 2 D． 1解析：因为所有的点都在直线上，所以它就是确定的函数关系，所以相关系数为 1.答案： D2．已知x与y之间的一组数据：x 0 1 2 3y 1 3 5 7则 y 与 x 的线性回归方程y＝ a＋ bx 必过点( )A． (2,2) B． (1.5,0)C． (1,2) D． (1.5,4)解析：线性回归方程y＝a＋ bx 必过点－－( x，y ) ．答案： D3．下列现象的相关程度最高的是( )A．某商店的职工人数与商品销售额之间的相关系数为0.87 B．流通费用率与商业利润之间的相关系数为－0.94C．商品销售额与商业利润之间的相关系数为0.51D．商品销售额与流通费用率之间的相关系数为－0.81解析： | r | 越接近 1，相关程度越高． 答案： B4．已知某车间加工零件的个数x 与所花费时间 y (h) 之间的线性回归方程为 y ＝0.01 x＋0.5 ，则加工 600 个零件大约需要 ()A ． 6.5 hB ． 5.5 hC ． 3.5 hD ． 0.5 h解析：当 x ＝ 600， y ＝600×0.01 ＋ 0.5 ＝ 6.5(h) ． 答案： A5．设两个变量 x 和 y 之间具有线性相关关系， 它们的相关系数是 r ，y 关于 x 的回归直 线的斜率是 b ，纵轴上的截距是 a ，那么必有 ()A ． b 与 r 的符号相同B ． a 与 r 的符号相同C ． b 与 r 的符号相反D ． a 与 r 的符号相反解析：因为 >0 时，两变量正相关，此时， r>0； <0 时，两变量负相关，此时 r <0.bb答案： A6．以下关于线性回归的判断，正确的个数是()①若散点图中的所有点都在一条直线附近，则这条直线的方程为回归方程②散点图中的绝大多数点都线性相关，个别特殊点不影响线性回归，如图中的 ， ， C 点A B③已知线性回归方程为 y ＝－ 0.81 ＋0.50 x ，则 x ＝ 25 时， y 的估计值为 11.69 ④线性回归方程的意义是它反映了样本整体的变化趋势 A ． 0 B ． 1 C ． 2D ． 3解析：由最小二乘法得到的方程才是线性回归方程，故①错，将 x ＝ 25 代入 y ＝－ 0.81＋ 0.50 x ，得 y ＝ 11.69 ，故③正确，②④也正确．答案： D7．某考察团对全国 10 大城市的职工人均工资水平 x ( 千元 ) 与居民人均消费水平 y ( 千元 )进行统计调查， y 与 x 具有相关关系， 回归方程为 y ＝ 0.66 x ＋ 1.562. 若某城市居民人均消费 水平为 7.675 千元，估计该城市人均消费额占人均工资收入的百分比为()A ． 83%B ． 72%C ． 67%D ． 66%7.675 － 1.562解析：当 y ＝ 7.675 时， x ＝≈9.262 ，0.667.6759.262 ×100%≈83%.故选A.答案： A8．两个相关变量满足如下关系：x 10 1520 25 30y1 0031 0051 0101 0111 014则两变量的回归方程为 ( )A ． y ＝0.56 x ＋ 997.4B ． y ＝ 0.63 x － 231.2C ． y ＝0.56 x ＋ 501.4D ． y ＝ 60.4 x ＋ 400.7解析：回归直线经过样本中心点 (20,1 008.6)，经检验只有选项 A 符合题意．故选 A.答案： A9．若线性回归方程中的回归系数 b ＝ 0 时，则相关系数为 ()A ． r ＝1B ． r ＝－ 1C ． r ＝0D ．无法确定n － －x i y i －n x yi ＝1n－ －解析：当 b ＝ 0 时，＝ 0，即＝ 0，nx i y i － n x y－ 2i ＝ 12x i － n xi ＝1n－ －x i y i － n x yi ＝1∴ r ＝＝0.n－n－ 2222x i － n xy i － n yi ＝ 1i ＝ 1答案： C10．某工厂为预测某种产品的回收率y ，需要研究它和原料有效成分含量x 之间的相关8888关系，现取了 8 组观察值．计算知x i ＝ 52， y i ＝ 228， x 2x i y i ＝1 849 ，则 yi ＝ 478，i ＝ 1i ＝1i ＝ 1i ＝1对 x 的线性回归方程是 ()A ． y ＝11.47 ＋ 2.62 xB ． y ＝－ 11.47 ＋ 2.62 xC ． y ＝2.62 ＋ 11.47 xD ． y ＝ 11.47 － 2.62 x解析：由已知条件得－－x ＝6.5 ， y ＝28.5.8 －－x i y i－ n x yi ＝ 1 －－由 b＝， a＝ y － b x ，8 －2－ n 2x i xi ＝ 1计算得 b≈2.62， a≈11.47，所以 y＝11.47＋2.62 x.答案： A二、填空题 ( 本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，请把正确的答案填在题中的横线上)11．为了判断高中三年级学生选修文科是否与性别有关，现随机抽取50 名学生，得到如下 2×2列联表：理科文科男13 10女7 20－ 2根据表中数据，得到χ2＝≈4.844. 则有 ________的把握，则23×27×20×30认为选修文科与性别有关系．解析：∵χ2＝ 4.844>3.841 ，∴至少有 95%的把握认为是否选修文科与性别有关．答案： 95%12．已知变量x，y具有线性相关关系，测得( x，y) 的一组数据如下：(0,1) ， (1,2) ，(2,4) ， (3,5) ，其回归方程为y＝1.4 x＋a，则 a 的值是________．解析：0＋ 1＋ 2＋ 3 1＋ 2＋ 4＋ 5x ＝＝ 1.5 ，y ＝4＝ 3 ，∴这组数据的样本中心点是4(1.5,3) ，把样本中心点代入回归直线方程y ＝ 1.4x＋，∴ 3＝1.4 ×1.5 ＋，∴＝ 0.9.a a a答案： 0.913．已知具有相关关系的两个随机变量的一组观测数据的散点图分布在函数y＝3e2x＋1 的图像附近，则可通过转换得到的线性回归方程为________________ ．解析：由 y＝3e2x＋1，得ln y＝ln(3e2x＋1)，即ln y＝ ln 3 ＋ 2x＋ 1.令 u＝ln y， v＝ x，则线性回归方程为u＝1＋ln 3＋2v.答案： y＝1＋ln 3＋2x14．有甲、乙两个班级进行同一门课程的考试，按照学生考试成绩优秀和不优秀统计成绩后，得到如下的列联表．班级与成绩列联表优秀不优秀总计甲班10 35 45乙班7 38 45总计17 73 90由上表提供的数据可知，学生的成绩与班级之间________．( 填“有关系”或“没有关系”)解析：由公式，得－2χ 2＝≈0.653.17×73×45×45因为 0.653<2.706.所以我们没有理由说成绩与班级有关系．答案：没有关系三、解答题 ( 本大题共 4 小题，共 50 分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 )15． ( 本小题满分12 分) 在国家未实施西部开发战略前，一新闻单位在应届大学毕业生中随机抽取 1 000 人问卷，只有 80 人志愿加入西部建设．而国家实施西部开发战略后，随机抽取 1 200 名应届大学毕业生问卷，有 400 人志愿加入国家西部建设．根据以上数据建立一个2×2的列联表．解： 2×2的列联表如下：志愿者非志愿者总计开发战略公布前80 920 1 000开发战略公布后400 800 1 200总计480 1 720 n＝2 20016． ( 本小题满分12 分) 某农科所对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品种发芽多少之间的关系进行分析研究，他们分别记录了 12 月 1 日至 12 月 5 日的每天昼夜温差与实验室每天100 颗种子中的发芽数，得到如下资料：日期12 月 1 日12 月 2 日12 月 3 日12 月 4 日12 月 5 日温差 x(℃)10 11 13 12 8发芽数 y(颗) 23 25 30 26 16该农科所确定的研究方案：先从这 5 组数据中选取 3 组数据求线性回归方程，剩下的 2 组数据用于回归方程检验．(1) 若选取12 月 1 日和 12 月 5 日这两日的数据进行检验，请根据12 月 2 日至 12 月 4 日的数据，求出y 关于 x 的线性回归方程 y＝ bx＋a；(2) 若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过 2 颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问 (1) 中所得到的线性回归方程是否可靠？若可靠，请预测温差为 14℃时的发芽数．3 3解：(1) 由数据，求得x＝ 12，y＝ 27. 故x i y i＝977，3 x · y ＝972， 2x i＝434,3 xi ＝ 1 i ＝ 12＝ 432，由公式，求得＝5 ，＝y －b x＝－ 3.b 2 a5所以 y 关于 x 的线性回归方程为y＝2x－3.5(2)当 x＝10时， y＝×10－3＝22，|22－23|＜2；25当x＝8时， y＝2×8－3＝17，|17－16|＜2.所以得到的线性回归方程是可靠的．5当x＝14时，有 y＝2x－3＝35－3＝32，所以预测温差为 14 ℃时的发芽数约为 32 颗．17． ( 本小题满分12 分) 某些行为在运动员的比赛之间往往被赋予很强的神秘色彩，如有种说法认为，在进入某乒乓球场比赛前先迈入左脚的球员就会赢得比赛的胜利．某记者为此追踪了某著名乒乓球运动员在该球场中的308 场比赛，获得数据如下表：胜负情况胜负总计先迈脚情况先迈入左脚178 27 205先迈入右脚84 19 103总计26246 308 据此资料，你能得出什么结论？解：根据公式可得，2 n ad－ bc 2χ ＝c＋ d a＋ c b＋ da＋ b－ 2＝≈1.502.205×103×262×46因为 1.502<2.706 ，所以我们认为先迈入左脚与否跟比赛的胜负是无关的．18．( 本小题满分14 分 ) 在某次试验中，有两个试验数据x， y，统计的结果如下面的表格1.x 1 2 3 4 5y 2 3 4 4 5表格 1(1)在给出的坐标系中画出数据 ( x，y) 的散点图．(2)补全表格 2，然后根据表格 2 的内容和公式序号x y x2 xy1 12 1 22 234 63 34 9 124 4 4 16 165 5 5 25 25∑表格 2nx i y i－ n x yi＝1b＝，a＝y－b x.n22x i－n xi＝1①求出 y 对 x 的回归直线方程y＝ a＋ bx 中回归系数a，b；②估计当 x 为10时 y 的值是多少．解： (1) 数据 ( x，y) 的散点图如图所示：(2)表格如下：序号x y x2 xy1 12 1 22 234 63 34 9 124 4 4 16 165 5 5 25 25∑15 18 55 61 计算得 x ＝3， y ＝ 3.6 ，5x i y i－5 x yi ＝1 61－5×3×3.6b＝5＝55－5×32＝0.7，2x2x i－5i＝1a＝ y － b x ＝3.6－0.7×3＝1.5，所以 y＝ a＋ bx＝1.5＋0.7 x，当x 为10时， y＝8.5.。