密 封 线 内 不 要 答 题
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《数学文化》试题 第1页（共4页） 《数学文化》试题 第2页（共4页）
《数学文化》试题
题 号 一 二 三 四 总 分 得 分
得 分 评卷人
一、简答题（每小题15分，共30分）
1. 举例说明无限与有限间建立联系的手段。
1. 在“有限”与“无限”间建立联系的手段
高等数学是研究变量的数学；变量及无限较多地进入高等数学。
而无限与有限有本质的区别，因此在有限与无限间建立联系的手段，往往显得很重要、很精采，这样的手段例如有： 1）数学归纳法 通过有限的步骤，证明了命题对无限个自然数均成立。
2）极限 通过有限的方法，描写无限的过程。
如lim n n a →∞
=∞ ：∀ 自然数N ，都∃k ，使n >k 时， a n >N 。
3）无穷级数 通过有限的步骤，求出无限次运算的结果，如
1
1()12i i ∞
==∑ 4）递推公式 1n n a a d -=+
5）因子链条件
2. 希腊文化为人类文明留下的珍贵遗产（四件宝）。
第一，它留给我们一个坚强的信念：自然数是万物之母，即宇宙规律的核心是数学。
这个信念鼓舞人们将宇宙间一切现象的终极原因找出来，并将它数量化。
第二，它孕育了一种理性精神，这种精神现在已经渗透到人类知识的一切领域。
第三，它给出一个样板—欧几里得几何。
这个样板的光辉照亮了人类文化的每个角落。
第四，它研究了圆锥曲线，为日后天文学的研究奠定了基础。
得 分 评卷人
二、叙述题（本题20分）
什么是类比，用鲁班发明木工的锯子来说明。
类比，是根据两个（或两类）对象之间在某些方面的相似或相同，从而推出它们在其
它方面也可能相似或相同的一种推理方法，也是一种观点。
类比的推理是一种“合情推理”，不是证明，它无法保证已知相同的属性与推出的属性之间有必然的联系。
但是，它是获得新思路，新发现的一种观点、一种手段。
关于鲁班发明木工所有的锯子的传说。
一天，鲁班到山上去寻找木料。
突然脚下一滑，他急忙伸手抓住路旁的一丛茅草。
手被茅草划破了，渗出血来。
“这不起眼的茅草怎么会这么锋利呢？”原来小草的叶子边缘上长者许多锋利的齿。
他用这些密密的小齿在自己的手背上轻轻一划，居然又割开了一道口子。
鲁班想到，如果也用带有许多小齿的工具来砍伐树木，不是很好吗？于是，他请铁匠打制了几十根边缘带有锋利小齿的铁片，拿到山上做试验。
果然，很快就把树木锯断了，这种新的砍树工具就是我们今天所有的锯子。
这里，鲁班就采用了“类比”的观点和方法。
得 分 评卷人
三、叙述题（本题20分）
说说希尔伯特问题解决的现状。
经过整整一个世纪，希尔伯特的23个问题中，将近一半已经解决或基本解决。
有些问题虽未解决，但也取得了重要进展。
能够解决一个或基本解决一个希尔伯特问题的数学家，就自然地被公认为世界一流水平的数学家，由此也可见希尔伯特问题的特殊地位。
希尔伯特问题的研究与解决，大大推动了许多数学分支的发展，这些分支包括：数理逻辑、几何基础、李群、数学物理、概率论、数论、函数论、代数几何、常微分方程、偏微分方程、黎曼曲面论、变分法等。
第二问题和第十问题的研究，还促进了现代计算机理论的成长。
重要的“问题”，历来是推动科学前进的杠杆。
但一位科学家，如此自觉、如此集中地提出如此一整批问题，并且如此持久地影响了一门学科的发展，这在科学史上是仅有的。
在20世纪末，人们也想模仿19世纪末的希尔伯特，提出一批有价值的数学问题。
但由于20世纪数学的发展，数学的分支越来越细，已没有一个人能像当年的希尔伯特那样涉足数学的广泛领域。
于是人们想到了组成一个数学家的小组，来做这件事，并且已经付诸行动，但最终并没有做成这件事。
这也反衬出希尔伯特的伟大。
当然，希尔伯特当年也不是尽善尽美的。
一些评论者认为，其局限性是，希尔伯特问题未包括拓扑学和微分几何，而这两者在20世纪也成了数学的前沿和热点，这是希尔伯特没有预见到的。
此外，希尔伯特问题除数学物理外，很少涉及应用数学。
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得 分 评卷人
四、论述题（本题30分）
说明数学的抽象性特点及与其他学科的不同。
第一， 数学的研究对象本身就是抽象的。
从学科研究对象的角度，数学不同于物理、
化学、生物等学科。
物理、化学、生物等学科，都有具体的物质和具体的物质运动形态作为自己的研究对象。
例如，物理中的力学、电学、光学、声学、热学等，都有具体的物质和具体的物质运动形态作为自己的研究对象。
化学、生物等学科也是如此。
数学的研究对象是从众多的物质和物质运动形态中抽象出来的事物，是人脑的产物。
如数学中研究的圆，是人脑的产物。
可以说数学不是自然科学，数学具有超越具体科学和普遍适用的特征，具有公共基础的地位。
第二， 数学抽象的重点在于事物的数量关系和空间形式。
数学的抽象舍弃了事物的其
他一切方面，只保留事物的数量关系和空间。
当然这里的数量关系和空间形式，都是用的其广义的解释。
现代数学的发展越来越广泛、细致，但无论哪个分支，都仍然是在研究事物的数量关系和空间形式。
数学的丰富性，由此得到很好的体现；数学的统一性，也由此得到很好的体现。
第三， 数学的抽象程度大大超过了其他学科。
数学的抽象是一层一层逐步提高的，到
越高的层次，抽象的程度也越高。
例如，数学家从人类生存的现实空间，抽象出三维欧氏空间，又进一步抽象出n 维线性空间以至无穷维线性空间，以及其他更加抽象的空间。
第四， 核心数学主要处理抽象概念以及概念之间的抽象联系。
数学与其他学科一样，
来源于实践；但是数学学科一旦形成，就具有相对的稳定性。
数学学科的发展动力，不仅来源于数学以外的实践，也来源于数学的内部。
特别是基础数学，数学的内部提出问题，往往成为其发展的主要动力。
数学学科的研究对象是抽象的概念，数学学科的研究论断称为定理，定理表述的是抽象概念之间的抽象联系。
其他学科的学者证明自己的论断常常依靠观测和实验，但数学家证明定理只依靠抽象的推理和计算。
也就是说，数学的抽象不是局部的特点，而是全局的特点，不仅数学的概念是抽象的，数学的方法、数学的论断也是抽象的。