* n k
P ( xk ) f ( xk ) 1 f , Pn* ， 1
k
n2
b, s.t.
(充分性)：设[a, b]上至少有n 2个点a x1 x2 x P ( xk ) f ( xk ) 1 f , Pn* ， 1

一致逼近或 均匀逼近 均方逼近或 平方逼近
max a x b f ( x) P( x)
f ( x) P( x) 2

b
a
f ( x) P( x) dx
2
存在性问题： f(x)C[a,b], 是否存在
Pn(x) f(x)(uniformly)?
Th1. (Weierstrass定理)设f(x)C[a,b]， >0, 多项式P(x)， s.t. f ( x) P( x) 在[a,b]上一致成立。 Weierstrass,德，
3个重要推论
推论1
证
最佳逼近多项式唯一
设f ( x)有两个最佳逼近多项式P( x), Q( x), 则x [a, b] - En P( x) f ( x) En , - En - En Q( x) f ( x) En , P( x) Q( x) f ( x) En 2 P( x) Q( x) R( x) 也是f ( x)的最佳逼近多项式， 2 且R ( x) f ( x)的n 2个交错点组x1 x2 x n 2 满足 R ( xk ) f ( xk ) 1 En
k
En R( xk ) f ( xk )
P( xk ) f ( xk ) Q( xk ) f ( xk ) 2 2
(*)
P( xk ) f ( xk ) En Q( xk ) f ( xk ) En 而 ， 2 2 2 2 P( xk ) f ( xk ) Q( xk ) f ( xk ) En 当且仅当 时(*)成立 2 2 2 P( xk ) Q( xk ) P( x) Q( x)有n 2个根，而P( x) Q( x)是不超过n次的多项式。 矛盾
Approximation_introduction
第三章 函数逼近/*Approximation */
§1 引言 问题提出：f(x)C[a,b]
插值法是函数逼近的一种重要方法，在插值节点上准确 逼近。高次插值光滑性好，但不一定收敛，分段低次插值 一致收敛，但光滑性差。 当xx0时，可用Taylor展开逼近， ( n ) f x0 n f ( x) f ( x0 ) f ( x0 ) x x0 x x0 n! 当|x-x0|较大时，逼近误差很大。光滑性好，但需知道导 数值，且收敛范围有限，收敛速度很慢。 寻找一种新的逼近函数，简单、光滑性好，例如多项式， 且能“均匀的”逼近f(x).
如何求最佳逼近多项式?
二、最佳逼近多项式的特性和切比雪夫定理
偏差点

Def 3
Pn ( x ) H n , there must exist x0 [a, b], s.t. f ( x0 ) Pn ( x0 ) max a x b f ( x ) Pn ( x )
正、负偏差 点
* n
Def2
if P ( x) H n , s.t. ( f , P ) En
* n
称为f(x)在[a, b]上的最佳一致逼近多项式或最小偏 差逼近多项式，简称最佳逼近多项式。
最佳逼近多项式的存在性?

Th2
f ( x) C[a, b], there must exist a polynomial Pn* ( x) H n , s.t. ( f , Pn* ) En
max a x b f ( x) Pn ( x)
称为f(x)与 Pn ( x) 在[a,b]上的偏差。
En inf Pn H n ( f , Pn ) inf Pn H n max a x b f ( x) Pn ( x)
称为f(x)在[a, b]上的最小偏差 所有偏差的下确界 En 0 最小偏差有下界0
approximation_introduction
对函数类A中给定的函数f(x)，要求在另一类简单的便于计算 的函数类B中，求函数p(x)BA，使p(x)与f(x)之差（误差） 在某种度量意义下最小。
A:C[a,b]
B:代数多项式，分式有理函数，三角多项式 度量标准： f ( x) P( x)
注: 1.设f(x)C[0,1], P(x)= 则 1885年提出， 时年70岁； 1912年Bernstein (俄)证明
2.
类似地，
§2 最佳一致逼近多项式 一、问题描述：切比雪夫(俄)从另一观点研究一致逼 近问题，不是让多项式次数n,而是固定n. Hn={次数不超过(≤)n的代数多项式}C[a, b], {1, x, …, xn}构成它的一组基，Hn =span{1, x, …, xn}.
* n
切比雪夫 交错点组
n2
b, s.t.
(反证)设Pn*不是最佳逼近多项式，则有Pn* ( x) Q ( x) H n , s.t. max a x b Q ( x) f ( x) max a x b Pn* ( x) f ( x) Pn* ( x) Q ( x) Pn* ( x) f ( x) Q ( x) f ( x) 在点x1 x2 x n 2 上的符号与Pn* ( x) f ( x)一致 Pn* ( x) Q ( x)也在点x1 x2 x n 2 上轮流取, Pn* ( x) Q ( x)有n 1个零点
Pn ( x0 ) f ( x0 )
最佳逼近多项式偏差点的性质
Th3
Pn* ( x) H n , Pn* ( x)是最佳逼近多项式 Pn* ( x)同时存在正负偏差点.
证明：Pn* ( x)是f ( x)的最佳逼近多项式 Pn* ( x)在[a,b]上总存在偏差点，使得 En
Pn ( x) H n , Pn ( x) a0 a1 x an x n , ai R
f ( x) C[a, b], 求Pn* ( x ) H n , s.t . f ( x) P ( x) min Pn H n f ( x ) Pn ( x ) ,
同理可证只有负偏差没有正偏差也是不成立的
几何 解释
曲线y=p(x)在[a,b]上总是位于y=f(x)+En与y=f(x)-En形成 的带形之间，且与这两条曲线至少各接触一次。
Pn* ( x) H n , Pn* ( x)是最佳逼近多项式
Chebyshov,1859
Th4
证
Pn* ( x)在[a, b]上至少有n 2个轮流为 , 的偏差点, 即有n 2个点a x1 x2 x
Pn* ( x) Q ( x) 0是不超过n次的多项式，其零点个数不超过n. 矛盾 必要性证明见北大、吉大、南大合编的“计算方法”P.67
说明： 1. 1的取法： Pn* ( x1 ) f ( x1 ) 0, 1; 否则 1； 若
2. Pn* ( x)在[ a, b]上是f ( x)的最佳逼近多项式， Pn* ( x)在[a, b]的一个子区间上不一定是f ( x)的最佳逼近多项式
P1 (a) f (a) P1 (b) f (b) P1 ( x2 ) f ( x2 ) f (b) f (a) a1 f ( x2 ) a0 a1a f (a) a0 a1b f (b) ba a0 a1a f (a) a0 a1 x2 f ( x2 ) a f (a) f ( x2 ) f (b) f (a) a x2 0 2 ba 2 f (a) f ( x2 ) f (b) f (a) a x2 P1 ( x) x 2 ba 2 x1 a，x3 b满足
(反证法)设只有正偏差点无负偏差点，则
x [a, b], 有 Pn* ( x) f ( x) En , Pn* ( x) f ( x) C[ a, b] min a x b Pn* ( x) f ( x) En , 设 min a x b Pn* ( x) f ( x) En 2h, h>0, 则x [ a, b], 有 En 2h Pn* ( x ) f ( x) En En h Pn* ( x) h f ( x) En h Pn* ( x) h f ( x) En h Pn* ( x) h 与f ( x )的偏差小于En，与En是最小偏差矛盾
推论3
f ( x)在[a, b]上有n 1阶导数，且f ( n 1) ( x)在[a, b]上保号(恒正恒负)， 则区间端点a, b必属于切比雪夫交错点组
证：设a或b不属于交错点组，则R(x)=f(x)-P(x)在开区间(a,b) 内至少有n+1个点
a 1 2 n 1 b, s.t. R(i ) 0, i 1, 2,, n 1. 由Roll定理知， 在(a, b)内至少存在一个，.t. R ( n 1) ( ) 0, s 而 R ( n 1) ( x) f ( n 1) ( x) - P ( n 1) ( x) f ( n 1) ( x), 从而 f ( n 1) ( ) 0, 与f ( n 1) ( x)在[a, b]上保号矛盾。
一次最佳逼近多项式
Th4给出了最佳逼近多项式的特性，但要求出 Pn* ( x) 却相当困难。现讨论n=1的情形。
设f ( x) C 2 [a, b], 且f ( x)在[a, b]上保号，在H1 (线性函数类)中寻求 最佳一次逼近多项式 P ( x) a0 a1 x, 即要确定a0 , a1 1