松江区 2019 学年度第一学期期末质量监控试卷初三数学（满分150 分，完卷时间 100 分钟） 2020.01考生注意：1．本试卷含三个大题，共25 题；2．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效；3．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤 .一、选择题：（本大题共 6 题，每题 4 分，满分 24 分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上 .】1．已知二次函数 y ax 2bx c 的图像如图所示，那么下列判断正确的（▲）y（ A ） a ＞ 0， b ＞ 0， c ＞ 0； （ B ） a ＜ 0， b ＜0， c ＜0；（ C ） a ＜ 0， b ＞0， c ＞0；（D ） a ＜ 0， b ＜ 0， c ＞ 0．Ox2．如果点 A （ 1， 3）、 B （ m ，3）是抛物线 y a( x 2)2（第 1 题图）h 上两个不同的点，那么 m 的值为（▲）（A ）2;（B ）3; （C ）4;（D ）5.3．在以 O 为坐标原点的直角坐标平面内, 有一点 A （ 3，4），射线 OA 与 x 轴正半轴的夹角为，那么 cos α的值为（ ▲ ）3 4 4 3 （A ） ;（B ） ;（C ） ;（D ） .53544．下列两个三角形不一定相似的是（▲）（ A ）两条直角边的比都是 2:3 的两个直角三角形 ;（ B ）腰与底的比都是 2:3 的两个等腰三角形 ;（ C ）有一个内角为 50°的两个直角三角形；（ D ）有一个内角是 50°的两个等腰三角形 .5．如果 ab c ， a b3c ，且，下列结论正确的是 (▲ )A a = b ；（ B ） a+2b；（ ）（ C ）a 与b 方向相同；（ D ） a 与 b 方向相反．初三数学 第1页共10页61 的纸条，交叉重叠放在一起，它们的夹角为锐角，它们重叠部．如图，两条宽度都为分（图中阴影部分）的面积是 1.5, 那么 sin 的值为（▲）（A ）3; （B ）1; （C ）2;（D ）3. 4232二、填空题：（本大题共 12 题，每题 4 分，满分 48 分） (第 6题图)7．已知：x2 ，那么 2x y = ▲．y3 x y8．已知线段 a 是线段 b 、c 的比例中项，如果 a=2， b=3，那么c= ▲ ．9．如果两个相似三角形的面积比为 3∶ 4，那么它们的相似比为▲ ．10．已知点 P 是线段 AB 的黄金分割点（ AP >BP ），若 AP =2，则 BP = ▲． 11．已知 Rt △ ABC 中，若∠ C=90 °， AC=3 ， BC=2 ，则∠ A 的余切值为 ▲．12．已知二次函数f x1 x2 bx c 图像的对称轴为直线 x=4，则 f 1▲ f3 .（填“ >”或“ <”）213．在直角坐标平面中， 将抛物线 y2(x 1)2 先向上平移 1 个单位， 再向右平移 1 个单位，那么平移后的抛物线表达式是▲ .14．如图，已知 D 是△ ABC 的边 AC 上一点，且 AD 2DC .如果 ABa ， ACb ，那么向量 BD 关于 a 、 b 的分解式是▲.15．如图 , 在正方形网格中，点A, B, C 是小正方形的顶点，那么tan ∠ BAC 的值为 ▲.16．如图，某幢楼的楼梯每一级台阶的高度为20 厘米 , 宽度为30 厘米 .那么斜面 AB 的坡度为 ▲ .17．以一个等腰直角三角形的腰为边分别向形外作等边三角形，我们把这两个等边三角形重心之间的距离称作这个等腰直角三角形的“肩心距” .如果一个等腰直角三角形的腰长为 2，那么它的“肩心距”为▲ ．18．如图，矩形 ABCD 中，AD =1, AB=k.将矩形 ABCD 绕着点 B 顺时针旋转90°得到矩形A ′BC ′D ′.联结 A D ′,分别交边 CD, A ′B 于 E 、F. 如果 AE2D ' F , 那么 k= ▲ .ACAA ′ D ′20F30D A DECBBBAB C ′C(第 14题图)(第 15题图)(第 16题图)(第18题图)初三数学 第2页 共10页三、解答题：（本大题共7 题，满分78 分）19．（本题满分10 分）3(2cos 45 )23tan 30计算：2sin2 60 cos 60cot 3020．（本题满分10 分 ,第（ 1）小题 4 分，第（ 2）小题 6 分）已知二次函数y x24x 1.（ 1 ）将函数y x24x 1的解析式化为y a x m 2k 的形式，并指出该函数图像顶点B坐标.（ 2）在平面直角坐标系xOy 中，设抛物线y x24x 1 与y轴交点为C，抛物线的对称轴y与 x 轴交点为 A.求四边形OABC 的面积.O x21．（本题满分 10 分）(第 20题图)如图，在梯形ABCD 中， AD ∥ BC, ∠C=90° , AD=AB= 13,BD= 24.求边 DC 的长 .A DB C(第 21题图) 22．（本题满分10 分）如图，小岛 A 在港口 P 的南偏西 45°方向上，一艘船从港口 P，沿着正南方向，以每小时 12 海里的速度航行， 1 小时 30 分钟后到达 B 处，在 B 处测得小岛 A 在它的南偏西 60°的方向上 .小岛 A 离港口 P 有多少海里 ?北P东45°B60°A(第 22题图)初三数学第3页共10页23．（本题满分 12 分 ,第（ 1）小题 5 分，第（ 2）小题 7 分）已知：如图，点 D 、F 在△ ABC 边 AC 上，点 E 在边 BC 上，且 DE∥ AB，CD2CF CA.（ 1）求证： EF∥ BD；C（ 2）如果AC CF BC CE ，求证： BD 2DE BA.FD EA(第 23题图)B 24．（本题满分12 分 ,第（ 1）小题 3 分，第（ 2）小题 4 分，第（ 3）小题 5 分）如图，已知抛物线y＝﹣ x2+bx+c 经过点 A( 3,0) ，点 B（ 0, 3）. 点 M（ m， 0）在线段 OA 上（与点 A，O 不重合），过点 M 作 x 轴的垂线与线段AB 交于点 P，与抛物线交于点Q，联结 BQ．（1）求抛物线表达式；（2）联结 OP，当∠ BOP =∠ PBQ 时，求 PQ 的长度；（3）当△PBQ 为等腰三角形时，求 m 的值 .y yB QBPA AO M x O x（第 24 题图）（第 24题备用图）25．（本题满分 14 分，第（ 1）小题 4 分，第（ 2）、（ 3）小题各 5 分）已知 tan∠ MON =2，矩形 ABCD 的边 AB 在射线 OM 上， AD =2， AB=m， CF ⊥ON，垂足为点 F.（1）如图（ 1），作 AE⊥ ON，垂足为点 E.当 m=2 时 ,求线段 EF 的长度；（2）如图（ 2），联结 OC，当 m=2,且 CD 平分∠ FCO 时，求∠ COF 的正弦值；（ 3）如图（ 3），当△ AFD 与△ CDF 相似时，求 m 的值 .NN NFF FD C D CCE DO A BM O AB M O A BM第 25 题图（ 1）第 25 题图（ 2）第 25 题图（ 3）初三数学第4页共10页2019 学年第一学期松江区初三数学期末质量监控试卷参考答案一、选择题：1. C;2. B;3.A;4. D ;5.D;6.C.二、填空题：14;9.3;10.51;3;12.>;7. ;8.211.53213. y2x2 +1;14.a 2b ;15.2;16.1:317.2+618. 2 1.;323三、解答题：（本大题共7 题，满分78 分）3（2+3）19.解：原式 =2⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（ 5 分）312（23）2 2=3-2+ 3⋯⋯（ 2 分）3-1- 32 2=1+ 3⋯⋯（1分）1- 3=-2- 3 ⋯⋯（2分）20．解:(1)y x24x1( x2)2 5 ⋯⋯⋯⋯⋯（ 3 分）顶点坐标为B(2,-5)⋯⋯⋯⋯⋯（ 1 分）(2)点 A（2，0）、点 B（2，-5），点 C（0，-1）⋯⋯⋯⋯⋯（2分）1S OABC(1 5) 2 6 ⋯⋯⋯⋯⋯（4分）221.解：作 AE⊥ BD，垂足为E⋯⋯⋯⋯⋯（ 1 分）∵AD =AB∴ BE=DE∵ BD =24A D ∴ DE =12 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（ 1 分）∴ AE=5⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（ 1 分）E初三数学第 5 页B C 共 10页(第 21题图 )5 ∴ sinADB⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（ 2 分）13∵ AD ∥BC∴ADBCBD ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（ 1 分）5 ∴ sinCBD⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（ 1 分）13CD CD 5∴ sinCBDBD2413⋯⋯（ 2 分）∴ CD120⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（ 1 分）1322.解 : 作 AC ⊥ PB ，垂足为 C ⋯⋯⋯⋯⋯（ 1 分）PB 12 1.5 18 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（ 1 分）令 BC=x ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（1 分）北在 Rt △ ABC 中，P东∵∠ ABC =60°∴ AC3x ⋯⋯⋯⋯（ 1 分）45° B60°在 Rt △ APC 中， ∵∠ APC =45° AC∴AC PC3x ⋯⋯⋯⋯（ 1 分）∴ 3x 18 x ⋯⋯⋯⋯（ 1 分）解得 x 9 3 9 ⋯⋯⋯⋯（ 1 分） ∴ PC=9 3 27 ⋯⋯⋯⋯（ 1 分） ∴ AP2PC 9 627 2 ⋯⋯⋯⋯（ 1 分）答 :小岛 A 离港口 P 有 9 6 27 2 海里 .⋯⋯⋯（ 1 分）23．证明：（ 1）∵ DE ∥ AB∴ CDCE⋯⋯⋯（ 1 分）CCACB初三数学第 6 页 共 10页FDEAB(第 23题图)∵CD 2CF CA∴ CDCF ⋯⋯⋯（ 1 分）CACD∴ CECF⋯⋯⋯（ 2 分）CBCD∴ EF ∥ BD ⋯⋯⋯（ 1 分） (2) ∵ AC CFBC CE∴ C A CE CB CF∵∠ C=∠ C∴△ CAB ∽△ CEF ⋯⋯⋯（ 1 分）∴∠ CAB =∠CEF ⋯⋯⋯（ 1 分）∵ EF ∥BDC∴∠ CBD = ∠ CEF ⋯⋯⋯（ 1 分）∴∠ CBD = ∠ CAB ⋯⋯⋯（ 1 分）FD∵DE ∥AB ，∴∠ BDE = ∠ DBA ⋯⋯⋯（ 1 分） A∴△ BDE ∽△ ABD ⋯⋯⋯（ 1 分）(第 23题图)∴ BDABDEBD∴ BD2DE BA ⋯⋯⋯（ 1 分）2+bx+c 经过点 A(3,0) ，点 B （0,3 ）.24.解：（ 1）∵抛物线 y ＝﹣ xc 3 ,1 分）∴9 3b c 0. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（ ∴ b=2， c=3⋯⋯⋯（ 1 分）∴抛物线表达式为y ＝﹣ x 2+2x+3⋯⋯⋯（ 1 分）（ 2）∵ PM ⊥ x 轴∴ PM ∥y 轴∴∠ OBP =∠ BPQEByQBPAOMx（第 24 题图）初三数学 第7页 共10页∵∠ BOP=∠ PBQ∴△ OBP∽△ BPQ⋯⋯⋯⋯⋯⋯（ 1 分）OB BP∴BP PQ∴ BP2OB PQ⋯⋯⋯（ 1 分）∴ ( 2m)23( m22m+3+m 3)即 2m2-3m29m9解得 m( m=0 舍去 ) ⋯⋯⋯（ 1 分）554PQ⋯⋯⋯（ 1分）25(3) 当 QP=QP 时点Q(2,3) 此时 m=2⋯⋯⋯（1分）当BQ=BP 时，点Q（ 1,4 ）此时 m=1⋯⋯⋯（ 2 分）当 PB=PQ 时2m m22m 3 3mm32⋯⋯⋯（2分）25．解：（1）过点 D 作 DP ⊥ CF 于点 P，交 AE 于点 Q 则∠ PDC=∠ DAQ=∠ MON ⋯⋯（ 1 分）∵在 Rt△ CDP 中DC =2,tan∠ PDC=2可得PD 2 5,⋯⋯（1分）5在Rt△ ADQ 中AD =2,tan∠ DAQ=2NFPD CEQO A B M 第 25 题图（ 1）初三数学第8页共10页可得QD 4 5,⋯⋯（1分）5∴ QP65⋯⋯（ 1分）5∴ EF65⋯⋯（ 1分）5(2)∵ CD 平分∠ FCO 时∴∠ FOD =∠ OCD∵CD∥OM∴∠ COM =∠OCD∴ tan COM CB21⋯⋯（1分）OB OB2NFD COA B M第 25 题图（ 2）∴OB=4⋯⋯（ 1 分）∴OC 2 5⋯⋯（1分）延长 CD 交 ON 于 K,过点 K 作 KQ⊥OM，垂足为Q KQ= 2,OQ= 1,CK =3CF 65⋯⋯（ 1 分）5sin COF 3⋯⋯（ 1 分）5(3)由题意可知∠ CDF =∠ ADF= 135°⋯⋯（ 1 分）N 当∠ FCD =∠ FAD 时△ FCD ≌△ FADFCD =AD =2,即 m=2⋯⋯（ 1 分）当∠ FCD =∠ AFD HC D∵△ CDF ∽△ FDAO AB M ∴ DC DF第 25 题图（ 3）DF DA∴DF2DC DA ⋯⋯（1分）初三数学第 9 页共 10页令HF =t,则 DH =ttan FCDt1 t +m2t=mDF2t2m∴( 2m) 2 2m ⋯⋯（1分）∴m=1( m=0 舍去 )⋯⋯（ 1 分）初三数学第 10页共10页。