解答过程 ：
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解题后的思考 ： 画三视图的时候要做到“长对正、宽相等、高平齐” 虚线的区别。
，还要注意实线与
知识点六 三视图中的推测问题
例 9. 根据下列三视图，说出各立体图形的形状。
思路分析 ：三视图是从三个不同的方向看同一物体得到的三个视图。
正视图反映物体的
主要形状特征， 主要体现物体的长和高， 不反映物体的宽。 而俯视图和正视图共同反映物体
一、学习目标：
数学必修 2 第一章讲义与习题
1. 认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中 简单物体的结构。
2. 能画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合）的三视图与直 观图，能识别上述三视图与直观图所表示的立体模型。
二、重点、难点：
重点： 空间几何体中的棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征；空间几
解题后的思考 ：同学们要注意不要只对同侧的情况进行讨论，
的讨论。
而忽略对另一种位置关系
知识点五 画几何体的三视图
例 8. 画出如图所示的三棱柱的三视图。
思路分析 ：在正视图中， 中间的竖线看不到，应画成虚线； 侧视图是从左侧看三棱柱投 射到竖直的正对着的平面上的正投影， 所以不是三棱柱的一个侧面， 而应该是过底面正三角 形的一条高线的矩形。
A. ①②③④⑤⑥⑧
B. ①③④⑦⑧
C. ①②⑤⑧
D. ⑤
思路分析 ：遇到概念判断问题，一定要在理解透彻相关概念的基础上，仔细分析，如果
判断它是正确的，必须能紧扣定义， 而不是模棱两可地去作判断； 如果判断它是错误的，只
需找到一个反例即可。
解答过程 ：如图所示，由图（ 1）可知①是错误的；由图（ 2）可知②③是错误的；由图
知识点三 柱、锥的侧面展开图
例 3. 小明在一个正方体盒子的每个面都写有一个字母，分别是：
A 、B 、C、 D、 E、 F，
其平面展开图如图所示，那么在该正方体盒子中，和“
A ”相对的面所写的字母是哪一个？
思路分析 ：在每个格子中标明你所想象的面的位置，如将
A 格标明“上”，将 B 格标明
“前”等等。
d1 d 2 3,
d1 2,
解得
d1 d2 1,
d2 1.
又 d 2 0, 这种情况不成立。
（ 2）当两截面在球心 O 的异侧时， d1 d 2 3 ，
由上述解法可知 (d1 d2 )( d1 d 2 ) 3，
d1 d2 3,
d1 2,
解得
d1 d 2 1,
d2 1.
R
r12
d
2 1
5 4 3。
综上所述，这个球的半径为 3。
a 的正三角形 ABC 的斜二测水平直观图，那么
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思路分析 ：先根据题意，画出直观图，然后根据△ 解答过程 ：如图甲、乙所示的实际图与直观图。
A′B′直C′观图的边长及夹角求解。
1 A B AB a, O C OC
2
3 a 。 在 图 乙 中 作 C′D′⊥ A ′B′于 D′， 则
4
CD
23
43
23
同理 OB
，则 BE OB O B
。
3
3
在 Rt B EB 中， BB
6 ， BE
23
，
3
42
42
BE
，即棱台高为
cm。
3
3
所
以
三
棱
台
的
体
积
为
V棱台 1 42 3 16 3 4
33 4
4
3 16 3 4
4
4
7 14 （ cm3）。 3
解题后的思考： 将求体积的立体问题转化为平面问题求解，是立体几何中的常用方法。 例 13：一个球内有相距 9cm 的两个平行截面， 它们的面积分别为 49 cm2 和 400 cm2，求 球的表面积和体积。
同理， O1A 2 400 ， O1 A 20 。
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设 OO1 x ，则 OO2
在 Rt OO1A 中， R 2
在 Rt OO2 B 中， R 2
2
2
2
x 20 7 x
x 9。
x 2 20 2 ，
x
2
9
72，
2
9 ，解得 x 15。
解得 r
3
。矩形宽为底面圆的周长时，
2
2 r ，解得 r
1
。故圆柱的底面半径为
3或
2
2
1。 2
解题后的思考 ：本题学生经常会丢解，即主观认为只有图中所示的情况，即以 底面周长，而忽视了它也可作为母线这种情况。
3 作为
知识点四 旋转体中的有关计算 例 6. 一个圆台的母线长 12cm，两底面面积分别为 4 cm2 和 25 cm2 ，求：
的长相等。侧视图和俯视图共同反映物体的宽相等。据此就不难得出该几何体的形状。
解答过程 ：（ 1）圆台；（ 2）正四棱锥； （3）螺帽。
解题后的思考 ：三视图的画法里要注意“长对正” ，“高平齐”，“宽相等”，另外，还要
熟悉基本空间几何体的三视图。
七、直观图的还原与计算问题
例 10. 已知△ A′B′是C′水平放置的边长为 △A′B′的C′面积为 _________。
（3）可知④是错误的；由图（ 4）可知⑥是错误的。
因为通过圆锥侧面上一点和圆锥的顶点只能连一条射线，所以“通过圆锥侧面上一点，
有无数条母线。 ”是错误的，即⑦是不正确的。
以半圆的直径所在直线为旋转轴， 半圆旋转一周形成的应该是球面， 半圆面旋转一周形
成的才是球体。所以⑧是错误的。
所以只有⑤是正确的。故应选 D。
何体的三视图与直观图的画法。
难点： 柱、锥、台、球结构特征的概括；识别三视图所表示的空间几何体
;几何体的侧
面展开图，计算组合体的表面积和体积。
三、考点分析：
三视图是新课程改革中出现的内容， 是新课程高考的热点之一， 几乎每年都考， 同学们 要予以足够的重视。 在高考中经常以选择、填空题的形式出现，属于基础或中档题，但也要 关注三视图以提供信息为目的， 出现在解答题中。 这部分知识主要考查学生的空间想象能力 与计算求解能力。
解答过程： 为字母“ E”
解题后的思考 ：本题突出考查了学生将正方体各面展开图复原为正方体的空间想象能力。
例 4. 如图所示，为一个封闭的立方体，在它的六个面上标出
A ，B ，C，D，E，F 这六个
字母，现放成下面三种不同的位置，所看见的表面上的字母已标明，则字母
A ， B， C 对面
的字母分别是（ ）
解题后的思考 ：本题考查推理能力以及空间想象能力。也可先结合图（
1）（ 3）进行判
断。
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例 5. 用长和宽分别是 3 和 的矩形硬纸卷成圆柱的侧面，求圆柱的底面半径？
思路分析 ：要注意哪条边是圆柱的母线，哪条边是圆柱底面的圆周。
解答过程 ：设圆柱底面圆的半径为 r ，由题意可知矩形长为底面圆的周长时， 3 2 r ，
如图所示，设这两个截面的半径分别为 r1, r2 ，球心 O 到截面的距离分别为 d1, d 2 ，球
的半径为 R。
r12 5 , r22 8 , r12 5, r22 8。
又
R2
r12
d12
r
2 2
d
2 2
，
d
2 1
d
2 2
r
2 2
r12
3，
即 (d1 d 2 )(d1 d2 ) 3 。
又 d1 d2 3 ，
故原图形的周长是 2 (3 1) 8(cm) ，应填 8cm 。
解题后的思考 ：该题考查的是直观图与原图形之间的关系，及逆用斜二测画法的规则。 例 12：已知正三棱台 （上、 下底是正三角形， 上底面的中心在下底面的投影是下面底中心）
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的上、下底面边长分别是 2cm 与 4cm，侧棱长是 6 cm，试求该三棱台的体积。
A. D ，E， F
B. F， D， E
C. E， F， D
D. E ， D， F
思路分析 ：本题处理方法比较灵活，要将几个图结合起来一起分析。
解答过程 ：由（ 1）（2）两个图知， A 与 B， C，D 相邻，结合第（ 3）个图知， B， C
与 F 共顶点，所以 A 的对面为 F，同理 B， C 的对面分别为 D， E，故选择 B。
ch ′
2
棱台
各侧面面积之和
棱
1
台
正棱台
(c+c ′ )h ′
2
全面积（ S 全） S 侧+2S 底 S 侧+S 底
S 侧+S 上底 +S 下底
体 积（ V ） S 底·h=S 直截面 ·h
S 底·h
1
S 底 ·h
3
1
h(S 上底+S 下底 +
3 S上底 S下底 )
表中 S 表示面积， c′、 c 分别表示上、下底面的周长， h 表示高度， h′表示斜高， l 表示 侧棱长。
1. 多面体 棱柱、棱锥、棱台
2. 旋转体 圆柱、圆锥、圆台、球
3. 三视图 （ 1）正视图、侧视图、俯视图 （ 2）三种视图间的关系
4. 直观图 水平放置的平面图形的直观图的斜二测画法
4. 多面体的面积和体积公式
名称
侧面积（ S 侧 ）
棱
棱柱
直截面周长 ×l
柱
直棱柱
ch
棱锥
各侧面面积之和
棱
1
锥
正棱锥
解题后的思考 ：在作判断的时候没有严格的根据定义进行多角度分析，