x →∞
例4
lim
n→ ∞
n sin n! n3 + n
解：原式
1 1 1 = lim 2sin[ ln(1 + )]cos[ ln( x 2 + x)] x →∞ 2 x 2 = 0.
注：有界量×无穷小=无穷小 有界量×无穷小=
解：原式
lim
n n3 + n
=0
n →∞
sin n !
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∞ 方法：用最大项除分子分母） 一、x → ∞时， 型（方法：用最大项除分子分母） ∞
(2 x + 3)２( x − 2)3 例１ lim x →∞ (2 x + 1)5
解：分子、分母除以x5 例2 lim
4 x2 + x − 1 + x + 1 x 2 + sin x
x →−∞
.
解：分子、分母除以-x，得
ln x + 1 1 = − lim =− x →1 ln x + 1 + 1 2
注： ∞ − ∞ 型不定式极限可
0 ∞ 通过通分变为 ， 之一． 0 ∞ 之一．
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六、利用罗比达法则求极限 例14 lim x ln x +
x →0
例15
−1
x ln x 解：原式 = lim e 解：原式 = lim −1 = lim −2 x→0+ + + x →0 − x x →0 x ( ex ln x −1)ln x
x x →0
=e
x→0+
lim x ln x
lim 2ln x −x
−1
2
=e
x→0+
lim
ln 2 x x −1
=e
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x→0+
= e =1
0
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=e
结束
−2 lim x ln x
x→0+
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六、利用罗比达法则求极限 例16
x →0
lim (cot x) +
lim
1 ln x
.
例17 lim( x + e )
x →0
1 x x 1 ln( x + e x ) x
解：原式 =
e
1 ln cot x + ln x x →0
解：原式 = lim e
x →0
1 而 lim ⋅ ln(cot x) x →0+ ln x 1 1 − ⋅ 2 = lim cot x sin x x → 0+ 1 x
=e
=e
1 lim ln( x + e x ) x→0 x
1+ e x
x→0 x + e x
lim
=e
2
−x = lim ＝-1 + x → 0 cos x ⋅ sin x
故， 原式 = e −1.
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六、利用罗比达法则求极限
e x + e 2 x + e3 x 1 例18 lim( )x. x →0 3 x 2x
解：原式=
e
1 e + e + e3 x lim ln( ) +x 3 x →0
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六、利用罗比达法则求极限 例12
tan x − x lim 2 . x →0 x tan x
x →0
解：原式 = lim tan x − x 3 sec 2 x − 1 = lim x →0 3x 2
x
1 x − ). 例13 lim( x →1 ln x x −1 x − 1 − x ln x 解：原式 = lim x →1 ( x − 1) ln x
结束
三、通过代数变形求极限 例5 lim x →0 解− 1 − x2
e x − esin x 例6 lim x →0 x − sin x
解：原式
x ( 1+ x + 1− x ) = lim x →0 2 x2 =1
2 2 2
= lim
x →0
e
sin x
注：如果出现根式差，先通过 如果出现根式差， 有理化化简，再求极限． 有理化化简，再求极限．
x 2x x→0+
+e
3x
= 2
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七、利用Taylor展开式求极限 利用 展开式求极限 例19
cos x − e lim x →0 x4
x2 − 2
x2 x4 x2 x4 1 − + + o( x 4 ) − (1 − + + o( x 4 )) 解：原式 2! 4! 2 4 ⋅ 2! lim x →0 x4
1 1 o( x 4 ) 1 = lim[( − )+ 4 ]= . x → 0 4! 4 ⋅ 2! x 4
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1 2 (2 + )２(1 − )3 x x 原式 = lim x →∞ 1 (2 + )5 x 1 = 8
原式
= lim
x →−∞
1 1 1 4 + − 2 −1− x x x sin x 1+ 2 x
1 = 2
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二、利用无穷小的性质 例3 lim[sin ln( x + 1) − sin ln x ]
x →0
lim x +
x x −1
( x x −1)ln x
= lim (− x) +
x →0
= lim e +
x→0
=0
注(1) 0 ⋅ ∞ 型不定式极限可通 过把一项的倒数放到分母上变
=e
x→0+
lim ( e x ln x −1)ln x
0 ∞ 之一． 为 ， 之一． 0 ∞
(2) lim x = 1. +
esin x ( x − sin x) = lim =1 x →0 x − sin x
注：如果出现指数差，先提出 如果出现指数差， 一个因子， 一个因子，再寻求求极限的 方法． 方法．
(e − 1) x − sin x
x −sin x
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四、利用两个重要极限求极限 例7
lim (1 + 2 x )
1 − ln x − 1 x ln x = lim = − lim x →1 x →1 x ln x + x − 1 x −1 ln x + x
tan 2 x 1 = lim = 2 x →0 3 x 3
0 ∞ 注： ， 型不定式极限可直 0 ∞
接使用罗比达法则． 接使用罗比达法则．
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sin x (1) lim =1 x →0 x
1 x (2) lim(1 + ) = e x →∞ x
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= . 2
x 2sin 2 = lim x →0 2 x 2 x 4sin cos 2 2 1
2
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五、利用无穷小量等价代换求极限 例9 lim 1 − x − 1 2
2 x →0
例11 lim 解：原式
3 −1 x →0 1 − cos x
x2
x 2 ln 3 = lim = 2 ln 3 x →0 1 2 x 2
注：常用等价无穷小量
sin x ~ x
ln(1 + x) ~ x a − 1 ~ x ln a
x
n
tan x ~ x
x2 1 − cos x ~ 2
x 1+ x −1 ~ n
0 ∞ 注： ， 型不定式极限可直 0 ∞
接使用罗比达法则． 接使用罗比达法则．
1 e x + e 2 x + e3 x 而 lim ln( ) 3 + x x→0
ln( e x + e2 x + e3 x ) − ln 3 = lim x x→0+
= lim e x + 2 e 2 x + 3 e3 x e +e
x→ 0
x→ 0
2 sin x
1 2x 4x sin x
解：原式 = lim [(1 + 2 x )
]
= e4
注：两个重要极限
tan x − sin x lim 例8 x →0 sin 3 x sin x − sin x 原式 = lim cos x 3 x →0 sin x 1 − cos x = lim 2 x →0 sin x cos x
sin 2 x 1 (− x 2 ) 1 解：原式 = lim 2 =− 2 x →0 8 (2 x) tan x − sin x 例10 lim x →0 sin 3 x tan x(1 − cos x) = lim x →0 x3 1 2 x⋅ x 2 =1 = lim x →0 x3 2
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