求极限的常用方法（精髓版）
初等数学的研究对象基本上是不变的量，而高等数学的研究对象则是变动的量。

极限方法就是研究变量的一种基本方法。

极限分为数列的极限和函数的极限，下文研究的是函数的极限，这些方法对于数列的极限同样适用。

1．直接代入数值求极限
例1 求极限1lim(21)x x →- 解 1lim(21)2111
x x →-=⋅-=
2．约去不能代入的零因子求极限
例2 求极限11lim 41--→x x x 解 4221111(1)(1)(1)
lim lim lim(1)(1)4
11x x x x x x x x x x x →→→--++==++=--
3．分子分母同除最高次幂求极限
例3 求极限13lim
3
2
3+-∞→x x
x x 解
3131lim 13lim 11323=+-=+-∞→∞→x x
x x x x x
注：一般地，分子分母同除x 的最高次幂有如下规律
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧
=<∞>=++++++----∞→n
m b a n m n m b x b x b a x a x a n
n
m m m m n n n n x 0lim 01101
1
4．分子(母)有理化求极限 例4 求极限)
13(lim 22+-++∞
→x x x
解
1
3)
13)(13(lim
)13(lim 2222222
2
+++++++-+=+-++∞
→+∞
→x x x x x x x x x x
1
32lim
2
2
=+++=+∞
→x x x
例5
求极限
x →解
01)2x x x →→→===
5．应用两个重要极限的公式求极限
两个重要极限是1sin lim
0=→x x
x 和1lim(1)x x e
x →∞+=，下面只介绍第二个公式的例子。

例6 求极限
x
x x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-++∞→11lim
解 22
212
12112111lim 121lim 11lim e x x x x x x x x
x x x =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--+∞→+∞→+∞→
6．用等价无穷小量的代换求极限
这可以称之为求极限最简便的方法。

常见的等价无穷小有： 当0→x 时, sin ~x x ，tan ~x x ，arcsin ~x x ，arctan ~x x ,
211cos ~
2x x -, ln(1)~x x +,1~x
e x -
,
1~
x
n
例7 求极限
ln(1)lim
1cos x x x x →+-
解
02
ln(1)lim
lim 211cos 2x x x x x x
x x →→+⋅==-.
7．用洛必达法则求极限
00或∞∞
型的极限,可通过洛必达法则来求。

例8 求极限220)sin 1ln(2cos ln lim
x x x x +-→
解 22
0)sin 1ln(2cos ln lim x x x x +-→x x x
x x x 2sin 12sin 2cos 2sin 2lim
20+--=→
3sin 112cos 222sin lim
20-=⎪⎭⎫
⎝⎛+--=→x x x x x
8．用换底公式ln b b a
a e =求极限
例9 极限0
lim(sin )x
x x +
→
解
2200
00cos ln sin sin lim lim cos cos 1
1lim
lim
ln sin sin 0
lim(sin )lim 1
x x x x x x x x x
x x x x x x
x
x
x x x x e e e e
e
++→→+
+
→→++
---→→======
以上这些求极限的方法是最基本的方法，而计算中经常会遇到需要两种甚至更多种方法的综合运用（上面的例子中就有不少这种情况），所以掌握这些方法是求极限的关键。