吉林省长春市绿园区2018-2019学年八年级数学下学期期末试卷一、选择题1.下面四个式子中，分式为（）A. 257+xB.13xC.88+xD.145÷x【答案】B【解析】【分析】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．【详解】A．257+x的分母中不含有字母，因此它是整式，而不是分式，故本选项错误；B．13x分母中含有字母，因此它们是分式，故本选项正确；C．88+x是整式，而不是分式，故本选项错误；D．145x+的分母中不含有字母，因此它们是整式，而不是分式．故本选项错误．故选B．【点睛】本题考查了分式的定义，熟知一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子A B叫做分式是解答此题的关键．2.用科学记数法表示0.0000064-，结果为（）A. 60.6410--⨯ B. 66.410--⨯ C. 76.410--⨯ D. 86.410--⨯【答案】B【解析】【分析】小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【详解】﹣0.000 006 4=﹣6.4×10﹣6．故选B．【点睛】本题考查了用科学记数法表示较小的数．一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．3.已知点(),A a b -在第二象限，则点()1,2-B a b 在（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】【分析】依据A （a ，﹣b ）在第二象限，可得a ＜0，b ＜0，进而得到1﹣a ＞0，2b ＜0，即可得出点B （1﹣a ，2b ）在第四象限．【详解】∵A （a ，﹣b ）在第二象限，∴a ＜0，b ＜0，∴1﹣a ＞0，2b ＜0，∴点B （1﹣a ，2b ）在第四象限． 故选D ．【点睛】本题考查了点的坐标，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）．4.如图，在框中解分式方程的4个步骤中，根据等式基本性质的是（ ）A. ①③B. ①②C. ②④D. ③④【答案】A【解析】【分析】 根据等式的性质1，等式的两边都加或减同一个整式，结果不变，根据等式的性质2，等式的两边都乘或除以同一个不为零的整式，结果不变，可得答案．【详解】①根据等式的性质2，等式的两边都乘同一个不为零的整式x ﹣2，结果不变；②根据去括号法则；③根据等式的性质1，等式的两边都加同一个整式3﹣x ，结果不变；④根据合并同类项法则．根据等式基本性质的是①③．故选A ．【点睛】本题考查了等式的性质，利用了等式的性质1，等式的性质2．5. 已知一组数据3，a ，4，5的众数为4，则这组数据的平均数为（ ）A. 3B. 4C. 5D. 6 【答案】B【解析】试题分析：要求平均数只要求出数据之和再除以总的个数即可；众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个．依此先求出a ，再求这组数据的平均数．数据3，a ，4，5的众数为4，即4次数最多；即a=4．则其平均数为（3+4+4+5）÷4=4．故选B ．考点：1.算术平均数；2.众数．6.如图,在ABC ∆中，5AB AC ==，D 是BC 上的点,DE ∥AB 交AC 于点E ，DF ∥AC 交AB 于点F ，那么四边形AFDE 的周长是（ ）A. 5B. 10C. 15D. 20【答案】B【解析】【分析】 由于DE ∥AB ，DF ∥AC ，则可以推出四边形AFDE 是平行四边形，然后利用平行四边形的性质可以证明□AFDE 的周长等于AB ＋A C ．【详解】∵DE ∥AB ，DF ∥AC ，则四边形AFDE 是平行四边形，∠B ＝∠EDC ，∠FDB ＝∠C∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠C ，∴∠B ＝∠FDB ，∠C ＝∠EDF∴BF ＝FD ，DE ＝EC ，所以：□AFDE 的周长等于AB ＋AC ＝10.故答案为：B.【点睛】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的性质、平行四边形的判定，熟练掌握这些知识点是本题解题的关键.7.一次函数y =kx ﹣1的图象经过点P ，且y 的值随x 值的增大而增大，则点P 的坐标可以为（ ）A. ()5,3-B. (2,3)-C. (2,2)D. (3,1)-【答案】C【解析】【分析】 根据函数的性质判断系数k ＞0，然后依次把每个点的坐标代入函数解析式，求出k 的值，由此得到结论．【详解】∵一次函数y =kx ﹣1的图象的y 的值随x 值的增大而增大，∴k ＞0．A ．把点（﹣5，3）代入y =kx ﹣1得到：k 45=-＜0，不符合题意；B ．把点（1，﹣3）代入y =kx ﹣1得到：k =﹣2＜0，不符合题意；C ．把点（2，2）代入y =kx ﹣1得到：k 32=＞0，符合题意； D ．把点（5，﹣1）代入y =kx ﹣1得到：k =0，不符合题意．故选C ．【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的性质，根据题意求得k ＞0是解题的关键．8.如图，点A 在反比例函数，3(0)y x x=>的图像上，点B 在反比例函数()0k y x x =>的图像上，AB x ⊥ 轴于点M ．且2=MB AM ，则k 的值为（ ）A. -3B. -6C. 2D. 6 【答案】B【解析】【分析】先根据反比例函数kx的比例系数k的几何意义，可知S△AOM32=，S△BOM=|2k|，则S△AOM：S△BOM=3：|k|，再根据同底的两个三角形面积之比等于高之比，得出S△AOM：S△BOM=AM：MB=1：2，则3：|k|=1：2，然后根据反比例函数的图象所在的象限，即可确定k的值．【详解】∵点A在反比例函数y3x=（x＞0）的图象上，点B在反比例函数ykx=（x＞0）的图象上，AB⊥x轴于点M，∴S△AOM32=，S△BOM=|2k|，∴S△AOM：S△BOM32=：|2k|=3：|k|．∵S△AOM：S△BOM=AM：MB=1：2，∴3：|k|=1：2，∴|k|=6．∵反比例函数kx的图象在第四象限，∴k＜0，∴k=﹣6．故选B．【点睛】本题考查了反比例函数ykx=的比例系数k的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，难度中等，得到3：|k|=1：2，是解题的关键．二、填空题9.计算：131(2)201923-⎛⎫-+︒+-+=⎪⎝⎭____________．【答案】﹣2 【解析】【分析】首先计算乘方，然后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．【详解】原式=﹣8+1+2+3=﹣2．故答案为：﹣2．【点睛】本题考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．正确化简各数是解题的关键．10.已知关于x的方程113=--ax a x有解2x=，则a的值为____________．【答案】1 【解析】【分析】分式方程去分母转化为整式方程，把x=2代入整式方程计算即可求出a的值．【详解】去分母得：a﹣x=ax﹣3，把x=2代入得：a﹣2=2a﹣3，解得：a=1．故答案为：1．【点睛】本题考查了分式方程的解，始终注意分母不为0这个条件．11.如图，ABCD的顶点B在矩形AEFC的边EF上，点B与点E F、不重合，若ACD∆的面积为4，则图中阴影部分两个三角形的面积和为_________.【答案】4【解析】【分析】根据平行四边形的性质求出AD=BC，DC=AB，证△ADC≌△CBA，推出△ABC的面积是4，求出AC×AE=8，即可求出阴影部分的面积．【详解】∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD=BC，DC=AB ，∵在△ADC 和△CBA 中AD BC DC AB AC AC =⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴△ADC≌△CBA，∵△ACD 的面积为4，∴△ABC 的面积是4， 即12AC×AE=4， AC×AE=8，∴阴影部分的面积是8﹣4=4，故答案为：4．【点睛】本题考查了矩形性质，平行四边形性质，全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生运用面积公式进行计算的能力，题型较好，难度适中．12.如图所示，在菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ．OE ⊥AB ，垂足为E ，若130ADC ∠=︒，则AOE ∠的大小为____________．【答案】65°【解析】【分析】先根据菱形的邻角互补求出∠BAD 的度数，再根据菱形的对角线平分一组对角求出∠BAO 的度数，然后根据直角三角形两锐角互余列式计算即可得解． 【详解】在菱形ABCD 中，∠ADC =130°，∴∠BAD =180°﹣130°=50°，∴∠BAO 12=∠BAD 12=⨯50°=25°．∵OE ⊥AB ，∴∠AOE =90°﹣∠BAO =90°﹣25°=65°．故答案为：65°．【点睛】本题考查了菱形的邻角互补，每一条对角线平分一组对角的性质，直角三角形两锐角互余的性质，熟练掌握性质是解题的关键．13.如图，菱形ABCD 的面积为120cm 2，正方形AECF 的面积为50cm 2，则菱形的边长____cm ．【答案】13【解析】试题解析：因为正方形AECF 的面积为50cm 2， 所以25010AC cm =⨯=， 因为菱形ABCD 的面积为120cm 2，所以21202410BD cm ⨯==， 所以菱形的边长22102413.22cm ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故答案为：13.14.如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD 的边长为2，点A 的坐标为(1,1)．若直线y x b =+与正方形有两个公共点，则b 的取值范围是____________．【答案】﹣2＜b ＜2【解析】【分析】当直线y =x +b 过D 或B 时，求得b ，即可得到结论．【详解】∵正方形ABCD 的边长为2，点A 的坐标为（1，1），∴D （1，3），B （3，1）．当直线y =x +b 经过点D 时，3=1+b ，此时b =2．当直线y =x +b 经过点B 时，1=3+b ，此时b =﹣2．所以，直线y =x +b 与正方形有两个公共点，则b 的取值范围是﹣2＜b ＜2．故答案为：﹣2＜b ＜2．【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，正方形的性质，关键是掌握待定系数法正确求出函数的解析式．三、解答题15.解方程：21124--=--x x x x ． 【答案】x =﹣1【解析】【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解．【详解】去分母得：x 2+2x ﹣1+x =x 2﹣4，解得：x =﹣1．经检验x =﹣1是分式方程的解．【点睛】本题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．16.2019年3月21日，长春市遭遇了一次大量降雪天气，市环保系统出动了多辆清雪车连夜清雪，已知一台大型清雪车比一台小型清雪车每小时多清扫路面6千米，一台大型清雪车清扫路面90千米与一台小型清雪车清扫路面60千米所用的时间相同．求一台小型清雪车每小时清扫路面的长度．【答案】12千米【解析】【分析】设小型清雪车每小时清扫路面的长度为x 千米，则大型清雪车每小时清扫路面的长度为（x +6）千米，根据大型清雪车清扫路面90千米与小型清雪车清扫路面60千米所用的时间相同，即可得出关于x 的分式方程，解之经检验后即可得出结论．【详解】设小型清雪车每小时清扫路面的长度为x 千米，则大型清雪车每小时清扫路面的长度为（x +6）千米，根据题意得： 90606x x=+ 解得：x =12，经检验，x =12是原方程的解，且符合题意．答：小型清雪车每小时清扫路面的长度为12千米．【点睛】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．17.如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，直线1:=-+l y x b 与x 轴的正半轴交于点()6,0A ，与直线2:l y kx =交于点B ，若B 点的横坐标为3，求直线1l 与直线2l 的解析式．【答案】直线l 1的解析式为y =﹣x +6，直线l 2的解析式为y =x ．【解析】【分析】把A （6，0）代入y =﹣x +b 求得直线l 1的解析式，把B 点的横坐标代入y =﹣x +6得到B 点的坐标，再把B 点的坐标代入y =kx ，即可得到结论．【详解】∵直线l 1：y =﹣x +b 与x 轴的正半轴交于点A （6，0），∴0=﹣6+b ，∴b =6，∴直线l 1的解析式为y =﹣x +6；∵B 点的横坐标为3，∴当x =3时，y =3，∴B （3，3），把B （3，3）代入y =kx 得：k =1，∴直线l 2的解析式为y =x ．【点睛】本题考查了两条直线相交或平行问题，待定系数法求函数的解析式，正确的理解题意是解题的关键．18.某学生在化简求值：21211x x ++-其中3x =时出现错误．解答过程如下：原式=12(1)(1)(1)(1)x x x x ++-+-（第一步） =12(1)(1)x x ++-（第二步） =231x -（第三步） 当3x =时，原式=233318=-（第四步） ①该学生解答过程从第__________步开始出错，其错误原因是____________________．②写出此题的正确解答过程．【答案】①一，通分错误；②答案见解析【解析】【分析】①利用分式加减运算法则判断得出答案；②直接利用分式加减运算法则计算得出答案．【详解】①该学生解答过程从第 一步开始出错，其错误原因是 通分错误．故答案为：一，通分错误；②原式()()()()121111x x x x x -=++-+-()()111x x x +=+- 11x =-． 当x =3时，原式12=． 【点睛】本题考查了分式的化简求值，正确掌握分式的加减运算法则是解题的关键．19.某校为提高学生的汉字书写能力，开展了“汉字听写”大赛．七、八年级各有150人参加比赛，为了解这两个年级参加比赛学生的成绩情况，从中各随机抽取10名学生的成绩，数据如下：七年级 88 94 90 94 84 94 99 94 99 100八年级 84 93 88 94 93 98 93 98 97 99整理数据：按如下分段整理样本数据并补全表格：分析数据：补全下列表格中的统计量：得出结论：你认为抽取的学生哪个年级的成绩较为稳定？并说明理由．【答案】1，1，93.5，94；八年级的成绩较为稳定．【解析】【分析】根据中位数，众数和方差的定义即可得到结论．【详解】整理数据：按如下分段整理样本数据并补全表格：分析数据：补全下列表格中的统计量：八年级的成绩较为稳定，理由：∵七年级的方差=24.2，八年级的方差=20.4，24.2＞20.4，∴八年级的成绩较为稳定．故答案为：1，1，93.5，94．【点睛】本题考查了中位数，众数，方差，熟练掌握中位线，众数和方差的定义是解题的关键．20.如图，矩形ABCD 的对角线相交于点O ，//PD AC ，//PC BD ．（1）求证：四边形OCPD 是菱形；（2）若将题设中“矩形ABCD ”这一条件改为“菱形ABCD ”，其余条件不变，则四边形OCPD 是__________形．【答案】（1）证明见解析；（2）矩．【解析】【分析】（1）由PD ∥AC ，PC ∥BD ，易得四边形OCPD 是平行四边形，又由矩形ABCD 的对角线互相平分且相等，即可得OC =OD ，继而证得四边形OCPD 是菱形；（2）由PD ∥AC ，PC ∥BD ，易得四边形OCPD 是平行四边形，又由菱形的对角线互相垂直，即可得AC ⊥BD ，继而证得四边形OCPD 是矩形．【详解】（1）∵PD ∥AC ，PC ∥BD ，∴四边形OCPD 是平行四边形．∵四边形ABCD 是矩形，∴AC =BD ，OD 12=BD ，OC 12=AC ，∴OC =OD ，∴四边形OCPD 是菱形； （2）矩形．证明如下：∵PD ∥AC ，PC ∥BD ，∴四边形OCPD 是平行四边形．∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，∴∠COD =90°，∴四边形OCPD 是矩形．故答案为：矩．【点睛】本题考查了矩形的性质与判定、菱形的判定与性质．注意掌握菱形的对角线互相垂直以及矩形的对角线互相平分且相等．21.如图，直线1y x =-与反比例函数k y x=的图象交于A 、B 两点，与x 轴交于点C ，已知点A 的坐标为(1,)m -．（1）求反比例函数的解析式；（2）若点(),1-P n 是反比例函数图象上一点，过点P 作PE x ⊥轴于点E ，延长EP 交直线AB 于点F ，求CEF ∆的面积．【答案】（1）2y x =；（2）92． 【解析】【分析】（1）将点A 的坐标代入直线解析式求出m 的值，再将点A 的坐标代入反比例函数解析式可求出k 的值，继而得出反比例函数关系式；（2）将点P 的纵坐标代入反比例函数解析式可求出点P 的横坐标，点P 的横坐标和点F 的横坐标相等，将点F 的横坐标代入直线解析式可求出点F 的纵坐标，将点的坐标转换为线段的长度后，即可计算△CEF 的面积．【详解】（1）将点A 的坐标代入y =x ﹣1，可得：m =﹣1﹣1=﹣2，将点A （﹣1，﹣2）代入反比例函数y k x =，可得：k =﹣1×（﹣2）=2，故反比例函数解析式为：y 2x=． （2）将点P 的纵坐标y =﹣1代入反比例函数关系式可得：x =﹣2，将点F 的横坐标x =﹣2代入直线解析式可得：y =﹣3，∴EF =3，CE =OE +OC =2+1=3，∴S △CEF 12=CE ×EF 92=． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，解答本题的关键是确定点A 的坐标，要求同学们能结合图象及直角坐标系，将点的坐标转化为线段的长度．22.感知：如图①，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ．过点O 的直线EF 分别交边AB 、CD 于点E 、F ．易证：BOE DOF ∆∆≌（不需要证明）．探究：若图①中的直线EF 分别交边CB 、AD 的延长线于点E 、F ，其它条件不变，如图②． 求证：BOE DOF ∆∆≌．应用：在图②中，连结AE ．若90ADB ∠=︒，10AB =，6AD =，12BE BC =,则EF 的长是__________，四边形AEBD 的面积是__________．【答案】探究：证明见解析；应用：10，36【解析】【分析】探究：根据平行四边形的性质得到AB ∥CD ，OB =OD ，根据AAS 可证明△BOE ≌△DOF ．应用：根据平行四边形的性质、梯形的面积公式计算即可．【详解】探究：如图②． ∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，OD =OB ，∴∠ODF =∠OBE ，∠E =∠F ．在△BOE 和△DOF 中，∵OBE ODF E F OB OD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BOE ≌△DOF （AAS ）．应用：∵∠ADB =90°，AB =10，AD =6，∴BD 22AB AD =-=8． ∵BE =12BC ，BC =AD =6，∴BE =3． ∵AD ∥BE ，∴BD ⊥CE ．在Rt △OBE 中，OB 12=BD =4，BE =3，∴OE =5，由探究得：△BOE ≌△DOF ，∴OE =OF =5，∴EF =10，四边形AEBD 的面积()()1136822AD BE BD =+⋅=+⨯=36． 故答案为：10，36． 【点睛】本题是四边形的综合题，考查的是平行四边形的性质、勾股定理、梯形的面积计算，掌握平行四边形的性质定理是解题的关键．23.一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，设慢车行驶的时间为x（小时），两车之间的距离为y（千米），图中的折线表示y与x的函数关系．信息读取：（1）甲、乙两地之间的距离为__________千米；（2）请解释图中点B的实际意义；图像理解：（3）求慢车和快车的速度；（4）求线段BC所示的y与x之间函数关系式．【答案】（1）900；（2）当两车出发4小时时相遇；（3）慢车的速度是75千米/时，快车的速度是150千米/时；（4）y=225x﹣900（4≤x≤6）．【解析】【分析】（1）根据已知条件和函数图象可以直接写出甲、乙两地之间的距离；（2）根据题意可以得到点B表示的实际意义；（3）根据图象和题意可以分别求出慢车和快车的速度；（4）根据题意可以求得点C的坐标，由图象可以得到点B的坐标，从而可以得到线段BC所表示的y与x 之间的函数关系式，以及自变量x的取值范围．【详解】（1）由图象可得：甲、乙两地之间的距离为900千米．故答案为：900；（2）图中点B的实际意义时当两车出发4小时时相遇；（3）由题意可得：慢车的速度为：900÷12=75，快车的速度为：（900﹣75×4）÷4=150，即慢车的速度是75千米/时，快车的速度是150千米/时；（4）由题可得：点C 是快车刚到达乙地，∴点C 的横坐标是：900÷150=6，纵坐标是：900﹣75×6=450，即点C 的坐标为（6，450），设线段BC 对应的函数解析式为y =kx +b ．∵点B （4，0），点C （6，450），∴406450k b k b +=⎧⎨+=⎩，得：225900k b =⎧⎨=-⎩，即线段BC 所表示的y 与x 之间的函数关系式是y =225x ﹣900（4≤x ≤6）．【点睛】本题考查了一次函数的应用，解答此类问题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答，注意最后要写出自变量x 的取值范围．24.已知，如图，正方形ABCD 的边长为4厘米，点P 从点A 出发，经A B C →→沿正方形的边以2厘米/秒的速度运动；同时，点Q 从点C 出发以1厘米/秒的速度沿CD 向点D 运动，设运动时间为t 秒，APQ ∆的面积为S 平方厘米．（1）当2t =时，APQ ∆的面积为__________平方厘米；（2）求BP 的长（用含t 的代数式表示）；（3）当点P 在线段BC 上运动，且PCQ ∆为等腰三角形时，求此时t 的值；（4）求s 与t 之间的函数关系式．【答案】（1）8；（2）BP =42?(02)24?(24)t t t t -≤≤⎧⎨-<≤⎩；（3）83；（4）S ()()24?02616?24t t t t t ⎧≤≤⎪=⎨-+≤⎪⎩＜． 【解析】【分析】（1）先确定当t =2时P 和Q 的位置，再利用三角形面积公式可得结论；（2）分两种情况表示BP 的长；（3）如图2，根据CQ =CP 列方程可解答；（4）分两种情况：①当0≤t ≤2时，P 在AB 上，如图3，②当2＜t ≤4时，P 在BC 上，如图4，根据三角形面积公式可得结论．【详解】（1）当t=2时，点P与B重合，Q在CD上，如图1，∴△APQ的面积1144 22AP AD=⋅=⨯⨯=8（平方厘米）．故答案为：8；（2）分两种情况：当0≤t≤2时，P在AB上，BP=AB﹣AP=4﹣2t，当2＜t≤4时，P在BC上，BP=2t﹣4；综上所述：BP=42?(02) 24?(24)t tt t-≤≤⎧⎨-<≤⎩；（3）如图2．∵△PCQ为等腰三角形，∴CQ=CP，即t=8﹣2t，t83=，∴当点P在线段BC上运动，且△PCQ为等腰三角形时，此时t 的值是83秒；（4）分两种情况：①当0≤t≤2时，P在AB上，如图3．S112422AP AD t=⋅=⨯⨯=4t②当2＜t ≤4时，P 在BC 上，如图4．S =S 正方形ABCD ﹣S △ABP ﹣S △CPQ ﹣S △ADQ =4×4()()()1114248244222t t t t -⨯⨯---⋅-⋅⋅-=t 2﹣6t +16； 综上所述：S 与t 之间的函数关系式为：S ()()24?02616?24t t t t t ⎧≤≤⎪=⎨-+≤⎪⎩＜． 【点睛】本题是四边形的综合题，也是几何动点问题，主要考查了正方形的性质、三角形的面积、动点运动的路程，解题的关键是灵活运用所学知识，学会利用数形结合的思想解决问题．。