中点弦问题专题练习•选择题（共8小题）1已知椭圆盏+专二1，以及椭圆内一点 P （4, 2）,则以P 为中点的弦所在直线的斜率为（ A • _12A 为中点的椭圆的弦所在的直线方程为（）C • 2x+y+4=0D . 2x+y - 4=0x 轴不垂直的弦，0是椭圆的中心，e 为椭圆的离心率,2 25•若椭圆 盏亡二L 的弦中点（4, 2），则此弦所在直线的斜率是（二•填空题（共9小题）2 ?9•过椭圆专+才二1内一点M （2, 0）引椭圆的动弦 AB ，则弦AB 的中点N 的轨迹方程是 __2 210 •已知点（1, 1）是椭圆.某条弦的中点，则此弦所在的直线方程为：—_ _2 211.椭圆4x +9y =144内有一点P （3, 2）过点P 的弦恰好以P 为中点，那么这弦所在直线的斜率为_一直线方程为 ___________________ •2 •已知A (1, 2)为椭圆 A • x+2y+4=03 • AB 是椭圆2 2a b2 2孚+$二1内一点，则以4 LbB • x+2y - 4=0（a > b > 0）的任意一条与 AB 的中点，贝U K AB ?K OM 的值为（ ） A • e -1 B • 1-e 4•椭圆4x 2+9y 2=144内有一点P （3, 2）过点P 的弦恰好以P 为中点，那么这弦所在直线的方程为（ A • 3x+2y - 12=0 B • 2x+3y - 12=0C • e 2- 1D • 1 - e 24x+9y - 144=0)D • 9x+4y - 144=02B •.:C •.:;D •：■22 25A • 6. 2 2已知椭圆七+勺二1的一条弦所在直线方程是a bx - y+3=0，弦的中点坐标是（-2, 1）,则椭圆的离心率是（7 •直线y=x+1被椭圆 A • x 2+2y 2=4所截得的弦的中点坐标是（B •(―丄))丄)(-8. M （1, 1）为中点的弦所在的直线方程为（4x - 3y - 3=0B • x - 4y+3=0C • 4x+y - 5=0 x+4y - 5=0以椭圆12 .椭圆4x 2+9y 2=144内有一点P (3,2)过点P 的弦恰好以P 为中点, =1内一定点(1, 0)作弦，则弦中点的轨迹方程为k AB ?k OM 为定值.),直线l 经过点P 并与椭圆C 交于A 、B 两点，求当I 的倾斜角变化时, 弦中点的轨迹方程.26.已知椭圆 卡+¥製二1 .(1) 求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程；(2) 过A (2, 1)的直线I 与椭圆相交，求I 被截得的弦的中点轨迹方程; (3) 过点P ()且被P 点平分的弦所在的直线方程.2 2那么这弦所在直线的方程为13.过椭圆 14•设AB 是椭圆 —.的不垂直于对称轴的弦,M 为AB 的中点, O 为坐标原点，贝U k AB ?k OM =P (- 2, 1 )为中点的弦所在的直线方程为18. 19. 20. 21 . 直线y=x+2解答题(共被椭圆x 2+2y 2=4截得的线段的中点坐标是13小题)求以坐标轴为对称轴，一焦点为(0, 5迈)且截直线y=3x - 2所得弦的中点的横坐标为 -的椭圆方程.2 2已知M (4, 2)是直线I 被椭圆x +4y =36所截的弦AB 的中点，其直线I 的方程. 2 2已知一直线与椭圆 4x +9y =36相交于A 、B 两点，弦AB 的中点坐标为 M(1, 1),求直线AB 的方程.已知椭圆 2⑹厂1,求以点P ( 2，-门为中点的弦AB 所在的直线方程.已知椭圆与双曲线 2x 2 - 2y 2=1共焦点，且过(.：•') 22.(1) 求椭圆的标准方程.(2) 求斜率为2的一组平行弦的中点轨迹方程.2 223.直线I : x - 2y - 4=0与椭圆x +my =16相交于A 、B 两点，弦AB 的中点为 设椭圆的中心为 0,求厶AOB 的面积.P (2, - 1). (1 )求 m 的值；(2)24. AB 是椭圆2 2--''中不平行于对称轴的一条弦,b 2M 是AB 的中点，O 是椭圆的中心，求证:M (1, 1)为中点的弦所在直线方程为17. 25.已知椭圆C :2 229. (2010?永春县一模)过椭圆 *」-内一点M ( 1, 1)的弦AB .16 4(1) 若点M 恰为弦AB 的中点，求直线 AB 的方程； (2) 求过点M 的弦的中点的轨迹方程.30. 已知椭圆C 方程为 -丁 ―直线一-二与椭圆C 交于A 、B 两点， 点 P I--(1) 求弦AB 中点M 的轨迹方程；(2) 设直线PA 、PB 斜率分别为k 1、k 2,求证：k 1+k 2为定值.27.已知椭圆. (1)求过点P ［丄，丄)且被点P 平分的弦所在直线的方程；2 2 求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程；过点A (2，1)引直线与椭圆交于 B 、C 两点，求截得的弦 (2)(3) BC 中点的轨迹方程. 28.已知某椭圆的焦点是 F 1( - 4,0)、F 2(4,0),过点F 2并垂直于x 轴的直线与椭圆的一个交点为 椭圆上不同的两点 A (x i , y i )、C ( x 2, y )满足条件：|F 2A|、|F 2B|、|F 2C|成等差数列. (I )求该椭圆的方程；(n )求弦AC 中点的横坐标. B,且|F 1B|+|F 2B|=10 ,参考答案与试题解析•选择题(共8小题)A • _12考点： 椭圆的简单性质•专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程• 分析： 利用中点坐标公式、斜率计算公式、点差法”即可得出•解答： 解：设以点P 为中点的弦所在直线与椭圆相交于点 A (X 1, y 1) , B (x 2, y 2),斜率为k .代入得 寻碍二Q ，解得k = - * 故选A •考点：直线的一般式方程. 专题：计算题•分析：首先根据题意设出直线的方程，再联立直线与椭圆的方程，然后结合题意与跟与系数的关系得到答案• 解答：解：设直线的方程为 y - 2=k (x - 1),联立直线与椭圆的方程代入可得： (4+k 2) x 2+2k ( 2 - k ) x+k 2- 4k - 12=0因为A 为椭圆的弦的中点，2k (k- 2)所以.•二解得k= - 2,4十所以直线的方程为 2x+y - 4=0 • 故选D •点评：解决此类问题的关键是熟练掌握直线与椭圆的位置关系的判定，以及掌握弦中点与中点弦问题•2014 年 1 月 pa 叩an71104的高中数学组卷-七) (牛+辽)ty j36g2 2二；「两式相减得2 21•已知椭圆「以及椭圆内一点 P (4, 2),则以P 为中点的弦所在直线的斜率为(点评:熟练掌握中点坐标公式、斜率计算公式、 点差法堤解题的关键.2•已知A (1, 2)为椭圆2 2^~-1内一点，则以4 16A 为中点的椭圆的弦所在的直线方程为(A • x+2y+4=0B • x+2y - 4=0C • 2x+y+4=0D • 2x+y - 4=0又 X 1+x 2=8, y 1+y 2=4,，二1 (a > b >0)的任意一条与x 轴不垂直的弦，0是椭圆的中心，e 为椭圆的离心率， M 为所以：X 1+X 2=-3. AB 是椭圆AB 的中点，贝U K AB ?K OM 的值为( A . e -C . e 2- 1D . 1 - e 2考点： 专题： 分析： 解答:椭圆的简单性质. 综合题.设出弦AB 所在的直线方程，与椭圆方程联立消去 y ,根据韦达定理求得 X 1+X 2，的表达式，根据直线方程求得y 1+y 2的表达式，进而根据点 M 为AB 的中点，表示出 M 的横坐标和纵坐标，求得直线 0M 的斜率,进而代入k AB ?k OM 中求得结果.解：设直线为：y=kx+c联立椭圆和直线b 2x 2+a 2 (kx+c )i22斗j l 国b2- a 2b 2=0，即 (b 2+k 2a 2)消去y 得x 2+2a 2kcx+a 2 (c 2 - b 2) =0点评:所以，M 点的横坐标为:M r (x1+x2)=所以:b. 2b 2)=一 2a本题主要考查了椭圆的应用•涉及弦长问题，禾U 用弦长公式及韦达定理求解，涉及弦的中点及中点弦问题, 利用差分法较为简便.2 24.椭圆4x +9y =144内有一点P (3, 2)过点P 的弦恰好以 A . 3x+2y - 12=0B . 2x+3y - 12=0C . P 为中点，那么这弦所在直线的方程为()4x+9y - 144=0D . 9x+4y - 144=0 考点： 专题： 分析： 直线与圆锥曲线的关系；直线的一般式方程. 圆锥曲线的定义、性质与方程.利用平方差法：设弦的端点为A (X 1, y 1)，B ( X 2,y 2),代入椭圆方程，两式作差，利用中点坐标公式及又：y 仁kx i +c所以：Kom=A 2k AB ?k OM =k x (-=e 2- 1斜率公式可求得直线斜率，再用点斜式即可求得直线方程. 解答： 解：设弦的端点为 A (X 1 , y i ) , B ( X 2, y 2), 则 X 1+x 2=6， y 1+y 2=4，把A 、B 坐标代入椭圆方程得，仆］乂+9比2二⑷，旳％¥『二⑷， 2-y 2 ) =0，即 4 (X 1+X 2) (X i - x 2) +9 ( y l +y 2) (y i - y 2) =0 ,所以这弦所在直线方程为： y - 2= -2( x - 3),即2x+3y - 12=0.3故选B .点评：本题考查直线与圆锥曲线的位置关系、直线方程的求解，涉及弦中点问题常运用平方差法，应熟练掌握.2 ?字+三厂二1的弦中点(4, 2)，则此弦所在直线的斜率是(36 9考点： 直线与圆锥曲线的关系；直线的斜率. 专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析： 设此弦所在直线与椭圆相交于点 A (x i , y i ), B ( x 2 , y 2).利用中点坐标公式和点差法”即可得出.解答： 解：设此弦所在直线与椭圆相交于点A (x i , y i ) ,B (x 2, y 2).2 26.已知椭圆 &七二1的一条弦所在直线方程是 x -y+3=0，弦的中点坐标是(-2, 1),则椭圆的离心率是()a b1B..:C ..:;D.：■22 2 5考点：椭圆的简单性质. 专题：计算题.分析：设出以M 为中点的弦的两个端点的坐标，代入椭圆的方程相减，把中点公式代入，可得弦的斜率与a , b的关系式，从而求得椭圆的离心率.解答：解：显然M (- 2, 1 )在椭圆内，设直线与椭圆的交点A (x i , y i ) ,B (x 2, y 2),两式相减得，4+9r=，即 kAB =-=5.若椭圆 A . 2B . - 2C .3D . _丄2点评:代入上式可得 9 4 k hie ；备甘e 解得故选D .本题考查了椭圆的标准方程及其性质、L(厂+巾)*36 1 ' gk AB =中点坐标公式和点差法”等基础知识与基本技能方法，属于中档题.则 ，两式相减得，：厂=0.b 2 (xi + K 7 )整理得：k= ---- ------------------------ =1,s 2(yC又弦的中点坐标是(-2, 1),故选B .点评：本题考查椭圆的标准方程和简单性质，中点公式及斜率公式的应用，以及直线方程，属于基础题.本题解 题中直接利用点差法巧妙用上了中点坐标公式与弦的斜率，方法极为巧妙，此方法即为通常所说的点差法, 研究弦中点问题时经常采用此方法7.直线y=x+1被椭圆x 2+2y 2=4所截得的弦的中点坐标是( )A .弓哼B .(-訂C 飞弋考点：直线与圆锥曲线的关系.专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程.分析： 将直线y=x+1代入椭圆x 2+2y 2=4中，利用韦达定理及中点坐标公式，即可求得结论. 解答：解：将直线y=x+1代入椭圆x 2+2y 2=4中，得x 2+2 (x+1 ) 2=42/• 3x +4x - 2=0弦的中点横坐标是x=gx ( -纟)=-*、,£R-T 1代入直线方程中，得 丫=丄3、2 1•弦的中点是(-1,二 故选B .点评： 本题考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，属于基础题.8以椭圆'咅"点M (1,1)为中点的弦所在的直线方程为(16A . 4x - 3y - 3=0B . x - 4y+3=0C . 4x+y - 5=0D . x+4y - 5=0考点： 专题： 分析：直线与圆锥曲线的关系. 计算题. 设直线方程为 y -仁k ( x - 1),代入椭圆匚+亠二1化简，根据16 4x i +x 2=- g 冷 - /) 4k 2+l=2，求出斜则椭圆的离心率是=1 ,率k 的值，即得所求的直线方程.解答：解：由题意可得直线的斜率存在，设直线方程为y -仁k ( x - 1),代入椭圆 疋牛£二1化简可得£斗(kx-k+1)匕，16 4 116 4丄2 2 2 2 (4k +1) x+8 ( k - k ) x+4k - 8k - 12.亠亦亠r/白_S (k — k?)•••由题意可得 X 1+X 2=■=2, ••• k=-二，4k 2+l ，4，故 直线方程为 y -仁-2 ( x - 1),即x+4y - 5=0,4故选D .点评：本题考查直线和圆锥曲线的位置关系，一元二次方程根与系数的关系，中点公式的应用，求出直线的斜率， 是解题的关键.二.填空题(共9小题)2 29.过椭圆 —亠内一点M( 2,0)引椭圆的动弦 AB ，则弦AB 的中点N 的轨迹方程是.'+—打=：考点： 直线与圆锥曲线的综合问题；轨迹方程.专题：综合题.分析：设出N , A , B 的坐标，将A , B 的坐标代入椭圆方程，结合弦AB 过点M (2, 0),弦AB 的中点N ,求出AB 的斜率，从而可得方程，化简即可. 解答： 解：设 N (x , y ) , A (X 1, y 1) , B (x 2, y 2),贝①-②，可得:故答案为:N 为AB 的中点，求出 AB 的斜率，再利用动5一4KK1 ■动弦 AB 过点M 当M 、N 不重合时，有ky9y当M 、N 重合时，即M 是A 、B 中点，M (2, 0)适合方程(只一 1)①，(2, 0),弦AB 的中点2=',（m 唱）（「I ） 22二 1 ,则N 的轨迹方程为 (£一1〕女23点评：本题考查直线与椭圆的综合，考查点差法的运用，这是解决弦中点问题，常用的一种方法.考点：直线与圆锥曲线的关系. 专题：圆锥曲线的定义、性质与方程.分析：设以A (1,1)为中点椭圆的弦与椭圆交于E (x i , y i ) ,F (X 2, y 2), A (1, 1)为EF 中点，x i +x 2=2, y i +y 2=2, 利用点差法能够求出以 A (1, 1)为中点椭圆的弦所在的直线方程.解答：解：设以A ( 1, 1 )为中点椭圆的弦与椭圆交于E ( X 1, y 1 ),F (x 2, y 2),••• A (1, 1 )为 EF 中点， ••• x 1+x 2=2 , y 1+y 2=2 ,2 2把E (x1 , y 1), F (x 2 , y 2)分别代入椭圆■二1 ,4 2两式相减,可得(X 1+x 2) (x 1 - x 2) +2 (y 1+y 2) (y 1 - y 2) =0 , • 2 (x 1-x 2) +4 (y 1 - y 2) =0 ,•••以A (1, 1)为中点椭圆的弦所在的直线方程为： y - 1=-丄(x - 1),乙整理，得 x+2y - 3=0. 故答案为：x+2y - 3=0.点评：本题考查以A (1,1)为中点椭圆的弦所在的直线方程的求法，考查点差法的运用，考查学生分析解决问 题的能力，属于中档题.2 2311.椭圆4x +9y =144内有一点P (3 , 2)过点P 的弦恰好以P 为中点，那么这弦所在直线的斜率为_,直线方程为 2x+3y -12=0.考点：直线与圆锥曲线的关系；直线的一般式方程. 专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程.分析：平方差法：设弦端点为 A (X 1 , y 1) , B (x 2 , y 2),代入椭圆方程后作差，利用斜率公式及中点坐标公式可 得斜率；根据点斜式可得直线方程.解答： 解：设弦端点为 A ( X 1 , y 1) , B ( x 2 , y 2),贝X 1+x 2=6, y 1+y 2=4,4巧 2+gyJ 二L 嗣①，分2 2-^9y 22=144②，①—②得，疋］'-只 2’ ) +9(旳‘-咒‘)=0 ,即 4 (x 1+x 2) (x 1 - x 2) +9 (y 1+y 2) (y 1 - y 2) =0 ,「1、二4〔巧 + Mg ) 4X6 __ 2Z1 "_ 9(旳+匕)-9心.3)所以,即10.已知点(1，1)是椭圆「某条弦的中点，则此弦所在的直线方程为:x+2y — 3=0所以弦所在直线方程为：y - 2= -2 (x - 3),即2x+3y - 12=0.3故答案为：-二；2x+3y - 12=0 .3点评：本题考查直线与抛物线的位置关系、直线方程的求解，弦中点问题常利用平方差法解决，应熟练掌握.12 .椭圆4x 2+9y 2=144内有一点P( 3,2)过点P 的弦恰好以P 为中点，那么这弦所在直线的方程为2x+3y 二12=0考点： 直线与圆锥曲线的关系.专题： 计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析： 设以P( 3, 2)为中点椭圆的弦与椭圆交于E( X 1,y 1), F (x 2, y 2) , p ( 3, 2)为EF 中点，x 1+x 2=6, y 1+y 2=4,利用点差法能够求出这弦所在直线的方程.解答： 解：设以P ( 3, 2)为中点椭圆的弦与椭圆交于E (X 1, y 1) ,F (x 2 , y 2),••• P (3 , 2)为 EF 中点，X 1 +x 2=6, y 1+y 2=4,2 2把 E (X 1, y 1), F (x 2, y 2)分别代入椭圆 4x +9y =144 ,2+9yi Z =L44良2，4x 2J +9y 2 =1444 (x 1+x 2) ( x 1 - x 2) +9 (y 1+y 2) (y 1 - y 2) =0, ••• 24 (x 1 - x 2) +36 (y 1- y 2) =0,•••以P (3, 2 )为中点椭圆的弦所在的直线方程为： y - 2=-弓(x -3),整理，得 2x+3y - 12=0 . 故答案为：2x+3y - 12=0 .点评：本题考查直线方程的求法，解题时要认真审题，注意椭圆的简单性质、点差法、直线方程等知识点的合理 运用.2 213.过椭圆勺亍1内一定点(1, 0)作弦，则弦中点的轨迹方程为考点： 椭圆的应用；轨迹方程. 专题： 计算题.分析：设弦两端点坐标为(X 1 ,y 1), (x 2. y 2),诸弦中点坐标为(x ,y ).弦所在直线斜率为k ,把两端点坐标代入椭圆方程相减，把斜率看的表达式代入后整理即可得到弦中点的轨迹方程.解答：解：设弦两端点坐标为(X 1 ,y 1)(x 2. y 2),诸弦中点坐标为(X ,y ).弦所在直线斜率为k2 2 竺+31 g 4丄两式相减得； —(X 1+x 2) (x 1 - X 2) + 云(y 1+y 2) ( y 1 - y 2) =02 :,2 24x +9y - 4x=0=0,即仝一一本题考查椭圆的性质和应用，解题时要注意点差法的合理运用.2 2—r I — 亠内的点 M (i , i )为中点的弦所在直线方程为 _x+4y — 5=0lb 4考点： 直线与圆锥曲线的关系；直线的一般式方程.专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程.分析： 设点M ( i , i )为中点的弦所在直线与椭圆相交于点A (x i , y i ),B (x 2, y 2).利用 点差法”即可得出直线的斜率，再利用点斜式即可得出.解答： 解：设点M (i , i )为中点的弦所在直线与椭圆相交于点A ( x i , y i ),B (x 2, y 2).2 2(纠 + yJ G i 一叩1(2+y 2)( x 2 -164相减得22x/9+2y A 2/4 (x — i ) =0 7 一 '2 24x +9y — 4x=0整理得诸弦中点的轨迹方程： 故答案为4x 2+9y 2 — 4x=0点评： 本题主要考查了椭圆的应用及求轨迹方程的问题•考查了学生对圆锥曲线知识综合的把握.二1的不垂直于对称轴的弦，M 为AB 的中点，O 为坐标原点，则k AB ?k OM = -丄_ 2~考点： 专题： 分析：椭圆的应用. 计算题. 设 M (a ,b ), A (x i , y i ), B (x 2, y 2),易知 k OM=—，再由点差法可知k AB =a」，由此可求出 k AB ?k OM =2b解答:—JJ解：设 M (a , b ), A (x i , y i ), B (x 2, y 2), •/ M 为 AB 的中点，• x i +x 2=2a , y i +y 2=2b .把A 、B 代入椭圆①—②得(X 1+X 2)( X 1 - X 2)x 12+2y 12=2 ①x 32+2y 23=2 ② +2 (y i +y 2) (y i — y 2) =0,••• 2a (x i — x 2) +4b (y i — y i )=0, S ■?.答案:_b1 2• k AB ?k OM =-—:点评:15.以椭圆,代入上式得又•/14.设AB 是椭圆-- ------ =二，由此能求出以点 P (- 2, 1 )为中点的弦所在的直线方程.2解答:整理，得 故答案为： 本题主要考查椭圆标准方程， 简单几何性质，直线与椭圆的位置关系. 考查运算求解能力，推理论证能力.解 题时要认真审题，注意点差法的合理运用.2，2—^=0故所求的直线方程为 ，解得 k AB =-「-—：,化为 x+4y - 5=0 •故答案为x+4y - 5=0 •点评：本题考查了直线与椭圆相交的中点弦问题和 点差法”等基础知识与基本方法，属于中档题.P (- 2, 1 )为中点的弦所在的直线方程为 x - 2y+4=0考点： 专题： 分析：直线与圆锥曲线的综合问题. 计算题. 设以点P (- 2, 1)为中点的弦所在的直线与椭圆(X2, y 2),由点 P (- 2,1)是线段AB 的中点，知，把 A (x 1, y 1), B (x 2, y 2)代入椭圆2 2x +4y =16，由点差法得到k= 解：设以点P (- 2, 1 )为中点的弦所在的直线与椭圆+ - 16 4=1 交于 A (X 1, y 1), B (x 2, y 2),•••点P (- 2, 1)是线段AB 的中点,山5二22 2把 A (X 1, y 1) , B (x 2, y 2)代入椭圆 x +4y =16,巧2十4卩/二16 ① 七铃4卩2‘=1&②①—② 得(x 1+x 2) (x 1 - x 2) +4 (y 1+y 2) (y 1 - y 2) • - 4 (x 1 - x 2) +8 (y 1 - y 2) =0,=0,k=•••以点P (-2, 1)为中点的弦所在的直线方程为 点评:x - 2y+4=0 • x - 2y+4=0 •16 •在椭圆 =1 交于 A (X I ，y 1)，B17•直线y=x+2被椭圆x 2+2y 2=4截得的线段的中点坐标是（-皀，2）.—3 3 —考点：直线和圆的方程的应用；直线与圆的位置关系. 专题：计算题.分析：直线方程与椭圆方程联立，可得交点横坐标，从而可得线段的中点坐标. 解答： 解：将直线y=x+2代入椭圆x 2+2y 2=4，消元可得3X 2+8X +4=0/• x= - 2 或 x=-—3 -2 --•••中点横坐标是 ---------- =-一，代入直线方程可得中点纵坐标为-+2=,2 3 33•直线y=x+2被椭圆x 2+2y 2=4截得的线段的中点坐标是 （-彳，—）33故答案为：:二二3 3点评：本题考查中点坐标的求解，解题的关键是直线与椭圆方程联立，求得交点横坐标.三.解答题（共13小题）18.求以坐标轴为对称轴，一焦点为 5逅）且截直线y=3x - 2所得弦的中点的横坐标为g 的椭圆方程.本题给出焦点在 y 轴上的一个椭圆，在已知椭圆被直线截得弦的中点横坐标的情况下，求椭圆的方程，着 重考查了椭圆的标准方程、简单几何性质和直线与椭圆位置关系等知识，属于中档题.2 219. 已知M （4, 2）是直线I 被椭圆x +4y =36所截的弦AB 的中点，其直线I 的方程.考点： 专题： 分析：椭圆的标准方程.计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程；圆锥曲线中的最值与范围问题. 由题意，设椭圆方程为2 2厘一+」二1，与直线y=3x - 2消去y 得关于x 的 a 2 b £元二次方程.利用根与系数的关解答:系结合中点坐标公式， 得X 1+x 2=12泌a 21-9b 2=1,再由椭圆的c=H :,得a 2- b 2=50,两式联解得a 2=75, b 2=25 ,从而得到所求椭圆的方程.解：T 椭圆一个焦点为•椭圆是焦点在y 轴的椭圆，设方程为将椭圆方程与直线 y=3x - 2消去y ,得 设直线y=3x - 2与椭圆交点为 A （X 1,2 2, I (a >b > 0)a b(a 2+9b 2) x 2- 12b 2x+4b 2- a 2b 2=0 y 1), B (x 2, y 2)• X 1+X 2=12以a 2'r ：•打)2=50…②一 2 — . 2=1…①又■/ a 2 - b 2=( •①②联解，得a 2=75 , b 2=25因此，所求椭圆的方程为:2 275+25 = 1点评:1.16 Q考点： 直线与圆相交的性质. 专题： 计算题. 分析：设直线l 的方程为y -2=k (x - 4)，代入椭圆的方程化简，由X 1+X 2=E" 一止*=8解得k 值，即得直线1l+4k 2的方程.解答： 解：由题意得，斜率存在，设为k ,则直线l 的方程为y - 2=k (x - 4),即kx - y+2 - 4k=0, 代入椭圆的方程化简得：(1+4k 2) x 2+ (16k - 32k 2) x+64k 2 - 64k - 20=0,32k 2-L6kR 曰1--x1+x2==8，解得：k=l+4k 22则直线l 的方程为x+2y - 8=0 .点评： 本题考查了直线与圆相交的性质，一兀二次方程根与系数的关系，线段的中点公式，得到(1+4k 2) x 2+ (16k-32k 2) x+64k 2- 64k - 20=0，是解题的关键.20. 已知一直线与椭圆 4x 2+9y 2=36相交于A 、B 两点，弦AB 的中点坐标为 M (1, 1),求直线AB 的方程.考点：直线与圆锥曲线的综合问题. 专题：综合题.分析：设出直线方程代入椭圆方程，利用韦达定理及弦AB 的中点坐标为 M (1 , 1),求出斜率，即可求得直线AB 的方程.解答：解：设通过点 M (1,1)的直线方程为y=k (x - 1) +1，代入椭圆方程，整理得(9k 2+4) x 2+18k (1 - k ) x+9 (1 - k ) 2 - 36=0 设A 、B 的横坐标分别为X 1、x 2，则I'，22 (9以+4) 解之得k=q故AB 方程为：二二:■:| -,即所求的方程为 4x+9y - 13=0.点评：本题考查直线与椭圆的综合，考查弦中点问题，解题的关键是直线方程代入椭圆方程，利用韦达定理求解.，求以点P (2,- 1)为中点的弦AB 所在的直线方程.考点： 直线的一般式方程；中点坐标公式；直线与圆锥曲线的关系. 专题： 计算题.分析： 先设出弦所在的直线方程，然后与椭圆方程联立；设两端点的坐标，根据韦达求出X 1+X 2，进而求得弦所在的直线的斜率，进而利用点斜式求得该直线的方程.解答：解：设弦AB 所在的直线方程为 y - (- 1) =k (x - 2),即y=kx - 2k - 1.、 2,消去 y 得 x +4 ( kx - 2k - 1)整理得(1+4k 2) x 2- 8k (2k+1) x+4 (2k+1) 2 - 16=0 (1)21.已知椭圆 22- 16=0 ,443因为P (2,- 1为弦AB 中点,代入方程(1)，验证△> 0，合题意.所以弦AB 所在直线的方程为吒K-么即x-2y-4=0.点评：本题主要考查了椭圆的性质以及直线与椭圆的关系.在解决弦长的中点问题，联立直线方程和椭圆方程, 利用韦达定理，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化，达到解决问题的目的.22. 已知椭圆与双曲线 2x 2- 2y 2=l 共焦点，且过( 「・')(1) 求椭圆的标准方程.(2) 求斜率为2的一组平行弦的中点轨迹方程.椭圆的标准方程；轨迹方程. 计算题.(1) 求出双曲线的焦点，由此设出椭圆方程，把点( .：，0)代入椭圆方程，求出待定系数即得所求的椭圆方程. (2)设斜率为2的弦所在直线的方程为 y=2x+b ，弦的中点坐标为(x , y ),把y=2x+b 代入椭圆的方程， y= - — x ，求出直线y=2x+b 和椭圆相切时的b 值，即4得轨迹方程中自变量 x 的范围.I-- --------------- 2••• W —F — I"艮卩汇=2, •••椭圆方程为-^"4- y'=1 . / / 一 1 乙的弦所在直线的方程为 y=2x+b ，弦的中点坐标为(x , y ),则1x .4令厶=0, 64b 2- 36 (2b 2- 2) =0,即b=出，所以斜率为2且与椭圆相切的直线方程为 y=2x 出所以平行弦得中点轨迹方程为：y= -- x (-倉本题考查用待定系数法求椭圆的标准方程，以及简单性质的应用；求点的轨迹方程的方法，求轨迹方程中 自变量x 的范围，是解题的易错点.8b2bd •2 29x +8xb+2b - 2=0 , • x i +x 2= 2)，所以有g+辺业倔+1)l+4k 2所以屮贰即强⑵+；) 1£ 1+41〃汕解得哙考点： 专题： 分析：利用一元二次方程根与系数的关系，求出轨迹方程为 解答:解：(1 )依题意得，将双曲线方程标准化为•/椭圆与双曲线共焦点，•设椭圆方程为/ 2y=2x+b 且=1 得， 即x= -两式消掉9 9即当 x= ±时斜率为2的直线与椭圆相切. (2)依题意，设斜率为 2点评:所以：x i +x 2=-2 223. 直线I : x - 2y - 4=0与椭圆x +my =16相交于A 、B 两点，弦AB 的中点为P (2, - 1). (1 )求m 的值；(2) 设椭圆的中心为 0,求厶AOB 的面积.椭圆的应用；中点坐标公式；点到直线的距离公式. 计算题；压轴题. (1)先把直线方程与椭圆方程联立消去 y ,根据韦达定理求得 x i +x 2的表达式，进而根据其中点的坐标求 得m . (2)把(1)中求得椭圆方程与直线方程联立消去 y ,进而根据韦达定理求得X 1x 2的值，进而求得出|AB| 的距离和坐标原点到直线的距离，进而根据三角形面积公式求得答案.2mx 1+x 2= =4，贝y m=4• I X 1X 2=0坐标原点0到直线x - 2y - 4=0的距离为•三角形ABC 的面积为-^|AB| X d=4本题主要考查了椭圆的应用，直线与椭圆的关系，点到直线的距离公式等，考查了学生综合分析问题和推 理的能力.k AB ?k OM 为定值.考点： 专题： 分析：解答:解：(1):-x - 2y - 4=0工^16消去 y ,整理得(卫+1) x 2- 2mx+4m - 16=04(2)由(1)知.K - 2y~ 4=0x，消去点评:24. AB 是椭圆2 2■ - ''中不平行于对称轴的一条弦,,I/M 是AB 的中点，0是椭圆的中心,求证:考点： 专题： 分析： 解答:椭圆的应用. 证明题.设出直线方程，与椭圆方程联立消去y ，根据韦达定理求得 X 1+X 2，的表达式，根据直线方程求得表达式，进而根据点M 为AB 的中点，表示出M 的横坐标和纵坐标，求得直线OM 的斜率，进而代入 中求得结果为定值，原式得证.证明：设直线为：y=kx+c2 2 x 丄F n 飞百1 la b2- a 2b 2=0，即(b 2+k 2a 2) x 2+2a 2kcx+a 2 (c 2 - b 2) =0联立椭圆和直线2 2 2b x +a (kx+c )消去y 得 y i +y 2 的k AB ?k OM ••• |AB■： I I ■=2'=0 .2盖(疋 —乂)(y 2 - y i ) (X - 1) = (X 2- X 1) (y - 2).再由点差法知 ---------------- T 一—1U2 29x +16y - 9x - 32y=0 .解答： 解：设弦中点为 M (x , y ),父点为A(X 1, y 1), B (x 2, y 2).当M 与P 不重合时，A 、B 、M 、P 四点共线.16所以，M 点的横坐标为：M x =— ( X 1+X 2)=-又：y i = kx i +cy 2=kx 2+c点评：本题主要考查了椭圆的应用•涉及弦长问题，禾U 用弦长公式及韦达定理求解，涉及弦的中点及中点弦问题, 利用差分法较为简便.),直线I 经过点P 并与椭圆C 交于A 、B 两点，求当I 的倾斜角变化时,弦中点的轨迹方程.b 2 b.. ?\ = a 2kk AB ?k OM =k >所以 y i +y 2=k (X 1+X 2)+2c=(y"y2)=所以:25.已知椭圆C :，由此可得:(y 2-y 1) (X - 1) = (X 2-X 1) (y -2),①又 X 1+X 2=2X , y 1+y 2=2y ,由①② 可得：9x 2+16y 2- 9x - 32y=0,③考点：轨迹方程.专题：综合题.分析：设弦中点为M ( x, y),父点为A (X1, y1) , B ( x2, y2).当M与P不重合时，A、B、M、P四点共线.故=0 .2 当点M 与点P 重合时，点M 坐标为(1, 2)适合方程③， •••弦中点的轨迹方程为：9x 2+16y 2- 9x - 32y=0 .点评：本题考查轨迹方程的求法，解题时要注意点差法的合理运用.26•已知椭圆专心.(1)求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程;(2)过A (2, 1)的直线I 与椭圆相交，求I 被截得的弦的中点轨迹方程;⑶过点且被P 点平分的弦所在的直线方程•(门设弦的两端点分别为M(X 1, y i ), N (X 2, y 2),中点为R (x , y )，则K /十J 二2，K,十『二2，9- 代入式①，得所求的轨迹方程为 x+4y=0 (椭圆内部分).(2)可设直线方程为 y -仁k (x - 2) (k 用，否则与椭圆相切)， 设两交点分别为(X 3, y 3), (x 4, y 4),考点： 直线与圆锥曲线的综合问题；圆锥曲线的轨迹问题. 专题： 综合题. 解答:2的平行弦的中点轨迹方程.(2)设直线方程为y -( x - 2),设两交点分别为(X 3, y 3), (X 4, y 4),则一 /】交于 E (X 5 , y 5) , F (X 6 , y 6),由 P■w知 X 5+X 6=1 , y 5+y 6=1 ,把 E (X 5, y 5) , F ( X 6 , y 6)代入与:| -丄.二)且被P 点平分的弦所在的直线方程.解：(1 )设弦的两端点分别为 M (X 1 , y 1 ) , N (X 2 , y 2)的中点为R(X, y ),a®一)是EF 的中点,-,由此能求出过分析:者由此能求出斜率为两式相减得=0,由此能求出I 被截(3)设过点P (寺寺的直线与两式相减并整理可得2将显然X 3孜4 （两点不重合），（%+%）5 - ％；1 二口£ I |* 3令中点坐标为（x ，y ），•过点P （£, g ）且被P 点平分的弦所在的直线方程： y 一 £二—£ （蓋_ +）,即 2x+4y - 3=0 .点评：本题考查直线与椭圆的位置关系的应用，是中档题•解题时要认真审题，注意点差法的合理运用.27. 已知椭圆-y+y 2=l .（1）求过点Pg ）且被点P 平分的弦所在直线的方程；（2） 求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程；（3） 过点A （2, 1 ）弓|直线与椭圆交于 B 、C 两点，求截得的弦 BC 中点的轨迹方程.考点：圆锥曲线的轨迹问题；直线与圆锥曲线的综合问题.则2，两式相减得=0, 故 x+2y?k=x+2y 」_=0,即所求轨迹方程为 x 2+2y 2- 2x - 2y=0 （夹在椭圆内的部分）（3）设过点p （g 2 ••• P （&•丄）是EF 的中点,2- 二）的直线与—— .：■].交于 E （X 5，y 5），F （X 6, y 6），• •• x 5+x 6=1 , y 5+y 6=1 ,把 E (X 5, y 5) , F (x 6, y 6)代入与72x5 +2y 5 =2 o 2'z6 +肘呂=2(x 5+x 6) (x 5- x 6) +2 (y 5+y 6) (y 5 - y 6) =0 ,(X5 - x 6) +2 (y 5 - y 6) =0,则 x+2y?4又（x , y ）在直线上，所以显然综合题. (1) 设出两个交点坐标，禾U 用两点在椭圆上，代入椭圆方程，禾U 用点差法，求斜率，再代入直线的点斜式 方程即可.(2) 同(1)类似，设出这一系列的弦与椭圆的交点坐标，代入椭圆方程，禾U 用点差法，求斜率，再让斜 率等于2，化简，即可得斜率为 2的平行弦的中点轨迹方程.点的轨迹方程.解：(1 )设过点P (丄・丄)且被点P 平分的弦与椭圆交与 A (x i , y 1), B (x 2, y 2)点,2 2,y 2_yl-x2 _ x 12亿+卩］)(2)设斜率为2的平行弦的中点坐标为(x , y ),1)引的直线斜率不存在时，方程为 x=2，与椭圆无交点2 2x - 2x+2y - 2y=0 .则根据中点弦的斜率公式，有-亠2(3)当过点A (2, 1)弓I 的直线斜率存在时，设方程为 y -仁k (x - 2),得(2+k 2) /+2 (1 -代入椭圆方程，消22k ) kx+4k - 4k=0Zk (2k- 1)-2H1,y 1+y 2=■.y ,设弦BC 中点坐标为(x ,专题： 分析：(3)设出直线BC 方程，用参数k 表示K ] 4]辺y 】+珂2 ，2，再利用中点坐标公式，消去k ，即可得弦BC 中解答:2-4 Cy 2)J ②即，弦AB 的斜率为「1•方程为y -二=「( x -V - 1. s ：__2 (y-1)J x-2-①，整理得 x 2- 2x+2y 2- 2y=0又•/ k= 当过点A (2,•••所求弦BC 中点的轨迹方程为点评：本题主要考查了点差法求中点弦的斜率，属于圆锥曲线的常规题.28.已知某椭圆的焦点是 □( - 4,0)、F 2(4,0),过点F 2并垂直于x 轴的直线与椭圆的一个交点为B,且|F 1B|+|F 2B|=1O ,椭圆上不同的两点 A (X 1, y i )、c ( x 2, y 2)满足条件：|F 2A|、|F 2B|、|F 2C|成等差数列. (I )求该椭圆的方程； (n )求弦AC 中点的横坐标.考点：椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的关系. 专题： 计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析：(1)根据椭圆定义结合已知条件，得 |F i B|+|F 2B|=10=2a 可得a=5.由c=4算出b=3，即可得出该椭圆的方 程；(2)由点B (4, y B )在椭圆上，禾U 用椭圆方程算出 y B —.再根据圆锥曲线统一定义，算出|F 2A|、|F 2C|15|关于它们的横坐标 X I 、X 2的式子，由|F 2A|、|F 2B|、|F 2C|成等差数列建立关系式算出X 1+X 2=8，最后利用中点坐标公式，即可算出弦AC 中点的横坐标. 解答： 解：(1)由椭圆定义及条件，可得 2a=|F i B|+|F 2B|=10，得 a=5.又••• c=4, • b=|,-=3.因此可得该椭圆方程为2 2fe +V =1。