中点弦问题专题练习一．选择题（共8小题）．已知椭圆，以及椭圆内一点P（4，2），则以P为中点的弦所在直线的斜率为（1）2 C．D．B．A．﹣22．已知A（1，2）为椭圆内一点，则以A为中点的椭圆的弦所在的直线方程为（）2x+y+4=0 x+2y+4=0 C．D．2x+y﹣4=0B．x+2yA．﹣4=0（a＞b＞0）的任意一条与x轴不垂直的弦，O3．AB是椭圆是椭圆的中心，e为椭圆的离心率，M为AB的中点，则K?K的值为（）OMAB22D．﹣1eC．A．e﹣1 B．﹣ee﹣1 122）P的弦恰好以P为中点，那么这弦所在直线的方程为（+9y=144内有一点P（3，2）过点4．椭圆4x 144=0 ﹣．9x+4yD12=0 C．4x+9y﹣144=0 12=0 A．3x+2y﹣B．2x+3y﹣）），则此弦所在直线的斜率是（5．若椭圆的弦中点（4，22．．A．D．B ﹣2C6．已知椭圆的一条弦所在直线方程是x﹣y+3=0，弦的中点坐标是（﹣2，1），则椭圆的离心率是（）B．CA．．D．227．直线y=x+1被椭圆x+2y=4所截得的弦的中点坐标是（）A．B．C．D．（﹣，））（）（﹣，）（，﹣8．以椭圆内一点M（1，1）为中点的弦所在的直线方程为（）A．4x﹣3y﹣3=0x C．4x+y﹣5=0D．+4y﹣5=04y+3=0B．x﹣二．填空题（共9小题）9．过椭圆内一点M（2，0）引椭圆的动弦AB，则弦AB的中点N的轨迹方程是_________．10．已知点（1，1）是椭圆某条弦的中点，则此弦所在的直线方程为：_________．22，_________那么这弦所在直线的斜率为PP），（内有一点+9y椭圆11．4x=144P32过点的弦恰好以为中点，．_________直线方程为22 _________．的弦恰好以P为中点，那么这弦所在直线的方程为（4x+9y=144内有一点P3，2）过点P12．椭圆________．1，0）作弦，则弦中点的轨迹方程为1．过椭圆=1内一定点（是椭圆的不垂直于对称轴的弦，M为AB的中点，O为坐标原点，则ABk?k=_________．14．设OMAB．以椭圆内的点M（1，1）为中点的弦所在直线方程为15_________．+=1内以点P（﹣2，161．在椭圆）为中点的弦所在的直线方程为_________．2217．直线y=x+2被椭圆x+2y=4截得的线段的中点坐标是_________．三．解答题（共13小题）所得弦的中点的横坐标为的椭圆方程．2 且截直线y=3x18﹣．求以坐标轴为对称轴，一焦点为22的方程．的中点，其直线ll19．已知M（4，2）是直线被椭圆x+4y=36所截的弦AB22 B两点，弦AB的中点坐标为M（1，1），求直线AB的方程．+9y20．已知一直线与椭圆4x=36相交于A、，求以点P（2，﹣1．已知椭圆）为中点的弦AB所在的直线方程．2122）共焦点，且过（22．已知椭圆与双曲线2x﹣2y=1 （1）求椭圆的标准方程．（2的一组平行弦的中点轨迹方程．）求斜率为22223．直线l：x﹣2y﹣4=0与椭圆x+my=16相交于A、B两点，弦AB的中点为P（2，﹣1）．（1）求m的值；（2）设椭圆的中心为O，求△AOB的面积．是椭圆中不平行于对称轴的一条弦，M是AB24．AB的中点，O是椭圆的中心，求证：?k为定值．k OMAB的倾斜角变化时，两点，求当l交于A、BCl，25．已知椭圆C：和点+=1P（12），直线经过点P 并与椭圆弦中点的轨迹方程．．已知椭圆．26（1）求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程；（2）过A（2，1）的直线l与椭圆相交，求l被截得的弦的中点轨迹方程；（）且被P点平分的弦所在的直线方程．）过点（3P．已知椭圆．27且被点P平分的弦所在直线的方程；（1）求过点（2）求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程；（3）过点A（2，1）引直线与椭圆交于B、C两点，求截得的弦BC中点的轨迹方程．28．已知某椭圆的焦点是F（﹣4，0）、F（0），过点F并垂直于x轴的直线与椭圆的一个交点为B，且|FB|+|FB|=10，4，22211椭圆上不同的两点A（x，y）、C（x，y）满足条件：|FA|、|FB|、|FC|成等差数列．2221212（Ⅰ）求该椭圆的方程；（Ⅱ）求弦AC中点的横坐标．永春县一模）过椭圆内一点M（1，1）的弦AB．29．（2010?（1）若点M恰为弦AB的中点，求直线AB的方程；（2）求过点M的弦的中点的轨迹方程．两点，点，B C，直线与椭圆交于A30．已知椭圆C方程为、（1）求弦AB中点M的轨迹方程；（2）设直线PA、PB斜率分别为k、k，求证：k+k为定值．21212014年1月panpan781104的高中数学组卷参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）．已知椭圆，以及椭圆内一点P（4，2），则以P为中点的弦所在直线的斜率为（）12 C．D．．B．﹣2A考椭圆的简单性质专圆锥曲线的定义、性质与方程分析利用中点坐标公式、斜率计算公式点差即可得出解答：解：设以点P为中点的弦所在直线与椭圆相交于点A（x，y），B（x，y），斜率为k．2121则，，两式相减得，又x+x=8，y+y=4，，2112k=．代入得，解得故选A．点评：熟练掌握中点坐标公式、斜率计算公式、“点差法”是解题的关键．2．已知A（1，2）为椭圆内一点，则以A为中点的椭圆的弦所在的直线方程为（）x+2y+4=0 2x+y+4=0 A．B．x+2y﹣4=0 C．D．2x+y﹣4=0考点：直线的一般式方程．专题：计算题．分析：首先根据题意设出直线的方程，再联立直线与椭圆的方程，然后结合题意与跟与系数的关系得到答案．解答：解：设直线的方程为y﹣2=k（x﹣1），22212=0﹣k）x+k﹣4k﹣x联立直线与椭圆的方程代入可得：（4+k）+2k（2 因为A为椭圆的弦的中点，﹣2，所以，解得k=所以直线的方程为2x+y﹣4=0．故选D．点评：解决此类问题的关键是熟练掌握直线与椭圆的位置关系的判定，以及掌握弦中点与中点弦问题．是椭圆（a＞b＞0）的任意一条与x轴不垂直的弦，AB3．O是椭圆的中心，e为椭圆的离心率，MA的中点，的值为OAB22A．e﹣1 B．1﹣e C．D．e﹣1 1﹣e考椭圆的简单性质专综合题分析设出A所在的直线方程，与椭圆方程联立消，根据韦达定理求+，的表达式，根据直线方求+的表达式，进而根据A的中点，表示的横坐标和纵坐标，求得直O的斜率进而代中求得结果OA解答解：设直线为y=kx+c联立椭圆和直线消去y得22222222222222bx+a（kx+c）﹣ab=0，即（b+ka）x+2akcx+a（c﹣b）=0所以：x+x=﹣21所以，M点的横坐标为：M=（x+x）=﹣2x1 +c y=kx又：11 +c y=kx22 +2c=+x）y+y=k（x所以2211所以，点M的纵坐标M=（y+y）= 2y1所以：Kom===﹣所以：21=e﹣）=﹣k?k=k×（﹣OMAB点评：本题主要考查了椭圆的应用．涉及弦长问题，利用弦长公式及韦达定理求解，涉及弦的中点及中点弦问题，利用差分法较为简便．22）P的弦恰好以P为中点，那么这弦所在直线的方程为（P4．椭圆4x+9y=144内有一点（3，2）过点144=0 x+4y﹣9x+9y﹣144=0 D．﹣．x+2y A．3﹣12=0 B 2x+3y12=0 C．4直线与圆锥曲线的关系；直线的一般式方程．考点：圆锥曲线的定义、性质与方程．专题：分析：，代入椭圆方程，两式作差，利用中点坐标公式及）y，（，），xA利用平方差法：设弦的端点为（yBx2112斜率公式可求得直线斜率，再用点斜式即可求得直线方程．解答：，，y）y），B（x解：设弦的端点为A（x，211+=+=1，，把A、B坐标代入椭圆方程得，2=0，）+9（y+y（y（）+9﹣y））﹣y）=0，即4（x+x （x﹣x）两式相减得，4（﹣212121212，，即k=﹣=所以=﹣=﹣﹣AB．﹣12=0﹣所以这弦所在直线方程为：y﹣2=﹣（x3），即2x+3y ．故选B 本题考查直线与圆锥曲线的位置关系、直线方程的求解，涉及弦中点问题常运用平方差法，应熟练掌握．点评：）45．若椭圆的弦中点（，2），则此弦所在直线的斜率是（2﹣B． 2CA．．D．考点直线与圆锥曲线的关系；直线的斜率．：圆锥曲线的定义、性质与方程．专题：分析：”即可得出．点差法，y）．利用中点坐标公式和“x，设此弦所在直线与椭圆相交于点A（xy），B（2112解答：x，y）．，（解：设此弦所在直线与椭圆相交于点Ax，y）B（2112，，两式相减得．=0则．，，∵=．代入上式可得，解得k AB．D故选”点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、中点坐标公式和“点差法等基础知识与基本技能方法，属于中档题．）2，1），则椭圆的离心率是（，弦的中点坐标是（﹣的一条弦所在直线方程是x6．已知椭圆﹣y+3=0．C D．BA ．．：椭圆的简单性质．考点计算题．：专题b分析：设出以Ma，为中点的弦的两个端点的坐标，代入椭圆的方程相减，把中点公式代入，可得弦的斜率与的关系式，从而求得椭圆的离心率．解答：）y，（）在椭圆内，设直线与椭圆的交点，（﹣解：显然M21Ax，）y，x（B，2112=0，则+=1，+=1，相减得：，整理得：k=﹣=1 又弦的中点坐标是（﹣2，1），，∴∴，=．e=则椭圆的离心率是= B．故选本题考查椭圆的标准方程和简单性质，中点公式及斜率公式的应用，以及直线方程，属于基础题．本题解点评：题中直接利用点差法巧妙用上了中点坐标公式与弦的斜率，方法极为巧妙，此方法即为通常所说的点差法，研究弦中点问题时经常采用此方法22）=4所截得的弦的中点坐标是（y=x+17．直线被椭圆x+2y．．D A．B．C ，﹣））（﹣，（﹣（），）（：直线与圆锥曲线的关系．考点：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．专题22分析：代入椭圆+2yx中，利用韦达定理及中点坐标公式，即可求得结论．=4将直线y=x+12222解答：（x+1=4 ）x解：将直线y=x+1代入椭圆+2y=4中，得x+222=0﹣3x+4x∴，=∴弦的中点横坐标是x=﹣y=代入直线方程中，得）∴弦的中点是（﹣，．故选B 点评：本题考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，属于基础题．）1M．以椭圆内一点（1，）为中点的弦所在的直线方程为（8 4y+3=03=0 5=0x5=04x+y﹣D．+4y﹣xA ．4﹣3y﹣B．x﹣C．直线与圆锥曲线的关系．：考点：计算题．专题分析：，求出斜1x（﹣设直线方程为y1=k ﹣）=+x=2 化简，根据，代入椭圆x21k的值，即得所求的直线方程．率），x﹣1解答：解：由题意可得直线的斜率存在，设直线方程为y﹣1=k （代入椭化简可得2222 8k﹣12．k﹣k ）x+4k﹣）（4k+1x+8（﹣，x+x==2，∴k=∴由题意可得21），即x+4y ﹣5=0，故直线方程为y﹣1=﹣（x﹣1 故选D．本题考查直线和圆锥曲线的位置关系，一元二次方程根与系数的关系，中点公式的应用，求出直线的斜率，点评：是解题的关键．9小题）二．填空题（共．的轨迹方程是引椭圆的动弦（2，0）AB，则弦AB的中点N内一点9．过椭圆M直线与圆锥曲线的综合问题；轨迹方程考综合题专的斜率，再利用AA的坐标，的坐标代入椭圆方程，结的中点，求分析设，A的中，求A的斜率，从而可得方程，化简即可A过解答，解：1①，②﹣②，可得：①∴的中点2，0），弦ABN，M∵动弦AB过点（当M、N不重合时，有∴∴2）∴m，（≠）适合方程2，0（中点，、是重合时，即、，当MNMABMN则的轨迹方程为，故答案为：本题考查直线与椭圆的综合，考查点差法的运用，这是解决弦中点问题，常用的一种方法．点评：3=1，1）是椭圆某条弦的中点，则此弦所在的直线方程为x+2y10．已知点（直线与圆锥曲线的关系考圆锥曲线的定义、性质与方程专分析=+E中点+=设为中点椭圆的弦与椭圆交）为中点椭圆的弦所在的直线方程利用点差法能够求出解答）为中点椭圆的弦与椭圆交解：设中点）E+=+=2，y）分别代入椭圆F（x，把E（x，y），2211，可得=0，y﹣y）x）+2（y+y）（两式相减，可得（x+x）（x﹣22112211 =0，﹣y）x﹣x）+4（y∴2（2121=﹣∴，﹣1）y﹣1=﹣（x1∴以A（，1）为中点椭圆的弦所在的直线方程为：．x+2y﹣3=0整理，得．x+2y﹣3=0故答案为：）为中点椭圆的弦所在的直线方程的求法，考查点差法的运用，考查学生分析解决问1（1，点评：本题考查以A 题的能力，属于中档题．22，直的弦恰好以P为中点，那么这弦所在直线的斜率为3+9y=144内有一点P（，2）过点P11．椭圆4x．﹣线方程为2x+3y12=0直线与圆锥曲线的关系；直线的一般式方程．考点：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．专题：分析：，代入椭圆方程后作差，利用斜率公式及中点坐标公式可），（xy（x，y），B平方差法：设弦端点为A2112得斜率；根据点斜式可得直线方程．解答：，y），B（x，）解：设弦端点为A（x，y2121 =4，=6，y+y+x则x2112，=144①，②，=0﹣）y（+y（yy）+9）﹣x）+xx得，﹣①②+94=0，即（（x21122121，，即=所以=．2x+3y﹣12=0﹣（x﹣3），即所以弦所在直线方程为：y﹣2=12=故答案为：2x+3y 点评：本题考查直线与抛物线的位置关系、直线方程的求解，弦中点问题常利用平方差法解决，应熟练掌握．222x+3y﹣12=0．3内有一点P（，2）过点P的弦恰好以P为中点，那么这弦所在直线的方程为12．椭圆4x+9y=144考直线与圆锥曲线的关系专计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析=+E中点+=设为中点椭圆的弦与椭圆交利用点差法能够求出这弦所在直线的方程解答解：设）为中点椭圆的弦与椭圆交中点）E+=+=+9=14）分别代入椭41得，=0，）（y﹣y）+yx∴4（+x）（x﹣x）+9（y22211211 =0，（y﹣y）x∴24（﹣x）+362121，∴k==﹣，x﹣3）2=（3，2）为中点椭圆的弦所在的直线方程为：y﹣﹣（P∴以．整理，得2x+3y﹣12=0 2x+3y故答案为：﹣12=0．本题考查直线方程的求法，解题时要认真审题，注意椭圆的简单性质、点差法、直线方程等知识点的合理点评：运用．22．）作弦，则弦中点的轨迹方程为4x+9y﹣4x=0113．过椭圆=1内一定点（，0椭圆的应用；轨迹方程．：考点计算题．专题：分析：，把两端点坐标代k，y）．弦所在直线斜率为））设弦两端点坐标为（x，y，（x．y，诸弦中点坐标为（x2121入椭圆方程相减，把斜率看的表达式代入后整理即可得到弦中点的轨迹方程．解答：k．弦所在直线斜率为yy），诸弦中点坐标为（x，）．），解：设弦两端点坐标为（xy，（x2112=0）﹣y）+yy+）﹣x）+xx两式相减得；（（x（（y22121211即又k，代入上式得（x﹣1）=02x/9+2y^2/4224x=0整理得诸弦中点的轨迹方程：4x+9y﹣224x=0﹣故答案为4x+9y 本题主要考查了椭圆的应用及求轨迹方程的问题．考查了学生对圆锥曲线知识综合的把握．点评：k=．是椭圆的不垂直于对称轴的弦，M为AB的中点，O为坐标原点，则k?AB14．设OMAB考椭圆的应用专计算题．分析：=kk?，易知k=，再由点差法可知k=﹣，由此可求出，，（ab），A（x，y），B（xy）设M OM1AB1OM2AB2．﹣解答：，yx+x=2a，+y=2by，y），B（x，），∵M为AB的中点，∴）解：设M（a，b，A（x21121212，把A、B代入椭圆得﹣y）=0，）x﹣x+2（y+y）（y）①﹣②得（x+x（21112122．=0，∴yx﹣x）+4b（y﹣）∴2a（1112．∵，∴k?k=OMAB答案：﹣．本题考查椭圆的性质和应用，解题时要注意点差法的合理运用．点评：x+4y﹣5=0．）为中点的弦所在直线方程为，15．以椭圆（内的点M11考点：直线与圆锥曲线的关系；直线的一般式方程．圆锥曲线的定义、性质与方程．专题：分析：即可得出直，A1设点M（，1）为中点的弦所在直线与椭圆相交于点（xy）“）y．利用点差法”，（，Bx2112线的斜率，再利用点斜式即可得出．解答：B）y，（）为中点的弦所在直线与椭圆相交于点，（解：设点M11Ax，（）．，xy2121，，则相减得=0，．∵，，．=﹣．∴，解得k AB故所求的直线方程为．，化为x+4y﹣5=0 5=0．故答案为x+4y﹣”等基础知识与基本方法，属于中档题．点评：本题考查了直线与椭圆相交的中点弦问题和“点差法．2，1）为中点的弦所在的直线方程为x﹣2y+4=016．在椭圆+=1内以点P（﹣考直线与圆锥曲线的综合问题专计算题分析：，（﹣2y），由点P，1）为中点的弦所在的直线与椭圆+=1交于A（x，y）B（x，（﹣设以点P2，221122，由点差法得+4y=16，A（x，y），B（xy）代入椭圆xAB1）是线段的中点，知，把2121，1）为中点的弦所在的直线方程．P到k==，由此能求出以点（﹣2 解答：）y），B（x，y，A+=1P 解：设以点（﹣2，1）为中点的弦所在的直线与椭圆交于（x，2121（﹣∵点P2，1的中点，）是线段AB∴，22 =16，y）代入椭圆x+4y，，把A（xy），B（x2121得，，y+yx）+4（y）（y﹣）=0﹣）得（①﹣②x+x（x22122111 =0，y﹣y）（x（∴﹣4x﹣）+82211，k==，）为中点的弦所在的直线方程为（﹣∴以点P2，1 x整理，得﹣2y+4=0．．2y+4=0故答案为：x﹣解考查运算求解能力，简单几何性质，点评：本题主要考查椭圆标准方程，直线与椭圆的位置关系．推理论证能力．题时要认真审题，注意点差法的合理运用．22=4截得的线段的中点坐标是．17．直线y=x+2被椭圆x+2y考直线和圆的方程的应用；直线与圆的位置关系专计算题分析直线方程与椭圆方程联立，可得交点横坐标，从而可得线段的中点坐标解答解：将直y=x+代入椭+2=，消元可3+8x+4=0∴x=﹣2或x=﹣∴中点横坐标是=﹣，代入直线方程可得中点纵坐标为﹣+2=，22∴直线y=x+2被椭圆x+2y=4截得的线段的中点坐标是故答案为：点评：本题考查中点坐标的求解，解题的关键是直线与椭圆方程联立，求得交点横坐标．三．解答题（共13小题）18．求以坐标轴为对称轴，一焦点为且截直线y=3x﹣2所得弦的中点的横坐标为的椭圆方程．考椭圆的标准方程专计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程；圆锥曲线中的最值与范围问题分析由题意，设椭圆方程为，与直线y=3x﹣2消去y得关于x的一元二次方程．利用根与系数的关2222，=75，b=25，得a﹣b=50，两式联解得ac==1得系结合中点坐标公式，x+x=，再由椭圆的21从而得到所求椭圆的方程．解答：解：∵椭圆一个焦点为，∴椭圆是焦点在y轴的椭圆，设方程为（a＞b＞0）2222222将椭圆方程与直线y=3x﹣2消去y，得（a+9b）x﹣12bx+4b﹣ab=0设直线y=3x﹣2与椭圆交点为A（x，y），B（x，y）2112∴x+x==1 (21222)∵a﹣b=（）=50…②22∴①②联解，得a=75，b=25因此，所求椭圆的方程为：点评：本题给出焦点在y轴上的一个椭圆，在已知椭圆被直线截得弦的中点横坐标的情况下，求椭圆的方程，着重考查了椭圆的标准方程、简单几何性质和直线与椭圆位置关系等知识，属于中档题．22的方程．的中点，其直线所截的弦+4y被椭圆）是直线，（．已知19M42lx=36ABl直线与圆相交的性质．考点：计算题专分析：l解得k值，即得直线，代入椭圆的方程化简，由x+x==8设直线l的方程为y﹣2=k（x﹣4）21的方程．4k=0，，即kx﹣y+2﹣l的方程为y﹣2=k（x﹣4）k解答：解：由题意得，斜率存在，设为，则直线2222 20=0，﹣+（16k﹣32k）x+64k64k﹣代入椭圆的方程化简得：（1+4k）x∴x+x==8，解得：k=﹣，21 x+2y﹣8=0．则直线l的方程为22点评：16k（一元二次方程根与系数的关系，线段的中点公式，得到（1+4k+）x本题考查了直线与圆相交的性质，22，是解题的关键．﹣20=0﹣32k）x+64k﹣64k22 1，1），求直线AB的方程．20．已知一直线与椭圆4x+9y=36相交于A、B两点，弦AB的中点坐标为M（考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：综合题．，求出斜率，即可求得直线1）（1，分析：设出直线方程代入椭圆方程，利用韦达定理及弦AB的中点坐标为M AB的方程．+11），代入椭圆方程，解：设通过点M（1，1）的直线方程为y=k（x﹣解答：22236=0 ﹣x+91﹣k）（1﹣k））整理得（9k+4x+18k（x设A、B的横坐标分别为x、，则21解之得方程为，故AB 13=0．4x+9y 即所求的方程为﹣本题考查直线与椭圆的综合，考查弦中点问题，解题的关键是直线方程代入椭圆方程，利用韦达定理求解．点评：所在的直线方程．2P（，﹣1）为中点的弦AB21．已知椭圆，求以点直线的一般式方程；中点坐标公式；直线与圆锥曲线的关系．考点：计算题．专题：分析：，进而求得弦所在先设出弦所在的直线方程，然后与椭圆方程联立；设两端点的坐标，根据韦达求出x+x21的直线的斜率，进而利用点斜式求得该直线的方程．．12），即y=kx﹣2k﹣﹣）所在的直线方程为解答：解：设弦ABy﹣（﹣1=k（x22，16=0﹣（y，消去得x+4kx﹣2k1）﹣222）16=0）（）（﹣）整理得（1+4kx8k2k+1x+42k+1﹣（1中点，）为A因2．＞0，合题意．，验证代入方程（1）△．本题主要考查了椭圆的性质以及直线与椭圆的关系．在解决弦长的中点问题，联立直线方程和椭圆方程，点评：利用韦达定理，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化，达到解决问题的目的．22 2x﹣2y=1共焦点，且过（）．已知椭圆与双曲线22 （1）求椭圆的标准方程．（2）求斜率为2的一组平行弦的中点轨迹方程．椭圆的标准方程；轨迹方程考计算题专分析：）代入椭圆方程，求出待定系数即得所求的椭）求出双曲线的焦点，由此设出椭圆方程，把点（1，0（圆方程．代入椭圆的方程，，把y=2x+b ）（2）设斜率为2的弦所在直线的方程为y=2x+b，弦的中点坐标为（x，y值，即，求出直线y=2x+b 和椭圆相切时的b利用一元二次方程根与系数的关系，求出轨迹方程为y=﹣xx 得轨迹方程中自变量的范围．解答：．，则c=1解：（1）依题意得，将双曲线方程标准化为=1），，∵椭圆过（∵椭圆与双曲线共焦点，∴设椭圆方程为=1，0=1．∴=2，∴椭圆方程为，则y=2x+b，弦的中点坐标为（x，y）的弦所在直线的方程为（2）依题意，设斜率为222﹣．+x=1y=2x+b 且得，9x+8xb+2b﹣2=0，∴x=21两式消掉b得．﹣﹣x y=即x=223 2且与椭圆相切的直线方程为y=2x±，所以斜率为，即﹣﹣△令=0，64b36（2b2）=0b=±32的直线与椭圆相切．±即当x=时斜率为x所以平行弦得中点轨迹方程为：y=﹣（﹣）．本题考查用待定系数法求椭圆的标准方程，以及简单性质的应用；求点的轨迹方程的方法，求轨迹方程中点评：的范围，是解题的易错点．自变量x22）（21）求m的值；的中点为P（2，﹣1）．（x23．直线l：x﹣2y﹣4=0与椭圆+my=16相交于A、B两点，弦AB AOB的面积．设椭圆的中心为O，求△椭圆的应用；中点坐标公式；点到直线的距离公式考计算题；压轴题专分析的表达式，进而根据其中点的坐标+）先把直线方程与椭圆方程联立消，根据韦达定理求|AB 的值，进而求得，进而根据韦达定理求）把）中求得椭圆方程与直线方程联立消的距离和坐标原点到直线的距离，进而根据三角形面积公式求得答案解答：216=0﹣2mx+4m﹣+1：消去y，整理得（）x解：（1）∴x+x==4，则m=421（2）由（1）知，消去y，=0 x∴x21=2|AB|=∴= 坐标原点O到直线x﹣2y﹣4=0的距离为d=∴三角形ABC的面积为×|AB|×d=4点评：本题主要考查了椭圆的应用，直线与椭圆的关系，点到直线的距离公式等，考查了学生综合分析问题和推理的能力．24．AB是椭圆中不平行于对称轴的一条弦，M是AB的中点，O是椭圆的中心，求证：k?k为定值．OMAB考点：椭圆的应用．专题：证明题．分析：设出直线方程，与椭圆方程联立消去y，根据韦达定理求得x+x，的表达式，根据直线方程求得y+y的2112表达式，进而根据点M为AB的中点，表示出M的横坐标和纵坐标，求得直线OM的斜率，进而代入k?k OMAB中求得结果为定值，原式得证．解答：证明：设直线为：y=kx+c联立椭圆和直线消去y得22222222222222bx+a（kx+c）﹣ab=0，即（b+ka）x+2akcx+a（c﹣b）=0所以：x+x=﹣21=﹣=（x+x）所以，M点的横坐标为：M21x +c 又：y=kx11 y=kx+c 22+2c=x+x）所以y+y=k（2211）=+y所以，点M的纵坐标M=（y2y1﹣==所以：Kom= 所以：=k?k=k×OMAB本题主要考查了椭圆的应用．涉及弦长问题，利用弦长公式及韦达定理求解，涉及弦的中点及中点弦问题，点评：利用差分法较为简便．的倾斜角变化时，lB两点，求当P=1和点P（1，2），直线l经过点并与椭圆C交于A、C25．已知椭圆：+ 弦中点的轨迹方程．轨迹方程．考点：综合题．专题：分析：四点共线．故M与P不重合时，P、M、A、By））设弦中点为M（x，y，交点为A（x，y，B（x，）．当2121由此可得：，）2．再由点差法知=﹣﹣x（y﹣y）（﹣1）=（xx）（y﹣121222．﹣9x﹣32y=09x+16y 解答：四点共不重合时，y）．当M与PA、B、M、P，By（yM解：设弦中点为（x，），交点为Ax，），（x2112线．2）①，yx（﹣）y∴（﹣y（x1）=x﹣）（﹣1122两式相减得+=1=1由，．+=0 =2y，=2x+x又xy+y，2112=，﹣∴②22①②由可得：，﹣9x ﹣9x+16y32y=0③，2）适合方程③重合时，点M坐标为（1，当点M与点P22．9x﹣32y=0∴弦中点的轨迹方程为：9x+16y本题考查轨迹方程的求法，解题时要注意点差法的合理运用点评．26．已知椭圆的平行弦的中点轨迹方程；）求斜率为2（1 被截得的弦的中点轨迹方程；与椭圆相交，求l2，1）的直线l（2）过A（P点平分的弦所在的直线方程．）且被（3）过点P（直线与圆锥曲线的综合问题；圆锥曲线的轨迹问题考综合题专分析：，，），则（x，y））设弦的两端点分别为（1M（x，y），N（x，y，中点为R22112的平行弦的中点轨迹方程．=﹣，由此能求出斜率为两式相减得，，），则），（x，yyy﹣1=k（x﹣2），设两交点分别为（x，）（2设直线方程为4334两式相减得，故被截l=0，由此能求出，则，y）x+2y?+，令中点坐标为（x 得的弦的中点轨迹方程．的中点，EF（）是y），由PP（3）设过点（）的直线与，（x，y）F（x，E交于6556，由此能求出过﹣=，y）代入与，y），F（x，得k=xy知x+x=1，+y=1，把E（66555665点平分的弦所在的直线方程．P点（）且被P 解答：），（x，y N），（x，y）的中点为Ry（（解：1）设弦的两端点分别为Mx，2211，，则，①两式相减并整理可得．，得所求的轨迹方程为x+4y=0（椭圆内部分）将代入式①，0k≠，否则与椭圆相切））（）可设直线方程为（2y﹣1=kx﹣2（，）y，（）y，设两交点分别为（x，x4334，两式相减得则，，，x（两点不重合）≠显然x43，故+ ，令中点坐标为（x，y）则x+2y?=0，）在直线上，所以，又（x，y，显然22（夹在椭圆内的部分）．=0故x+2y?k=x+2y，即所求轨迹方程为x+2y﹣2x﹣2y=0，，y（3）设过点P（）（，y），Fxx）的直线与交于E（6655∵P（EF的中点，）是，=1x+x=1，y+y∴6565y）代入与，，，把E（xy），F（x6565得，x﹣x）+2，﹣yy）=0（y+y）（（+x∴（x）65566655，y（）+2y﹣）=0x∴（x﹣6655=k=﹣，∴∴过点P（）且被，P点平分的弦所在的直线方程：3=0．即2x+4y﹣本题考查直线与椭圆的位置关系的应用，是中档题．解题时要认真审题，注意点差法的合理运用．点评：．已知椭圆．27（1且被点P）求过点平分的弦所在直线的方程；22（）求斜率为的平行弦的中点轨迹方程；A3（）过点（C、BC两点，求截得的弦中点的轨迹方程．B）引直线与椭圆交于12，圆锥曲线的轨迹问题；直线与圆锥曲线的综合问题．考点：综合题．专题：）设出两个交点坐标，利用两点在椭圆上，代入椭圆方程，利用点差法，求斜率，再代入直线的点斜式（1分析：方程即可）类似，设出这一系列的弦与椭圆的交点坐标，代入椭圆方程，利用点差法，求斜率，再让）同的平行弦的中点轨迹方程率等，化简，即可得斜率为中，即可得弦BC，方程，用参数3）设出直线BCk表示，再利用中点坐标公式，消去k（点的轨迹方程．解答：y）点，x且被点P平分的弦与椭圆交与A（，y），B（x，（解：1）设过点2112=，=则①∵A，B在椭圆上，∴②得，②﹣①=﹣的斜率为﹣即，弦AB﹣）y∴方程为﹣=﹣（x即（2）设斜率为2的平行弦的中点坐标为（，y）x，=2则根据中点弦的斜率公式，有﹣）（）引的直线斜率存在时，设方程为1y﹣1=kx﹣2，（（3）当过点A2，2224k=0 ﹣﹣xy代入椭圆方程，消，得（+k）+2（12k）kx+4k=+y，+x∴x=y，2211x=），设弦BC中点坐标为（xy，则=，y=，=2k =∴﹣222y=0又∵﹣，整理得，∴k=x2x+2y﹣，（当过点A21，与椭圆无交点x=2）引的直线斜率不存在时，方程为22∴所求弦BC﹣2x+2y﹣x中点的轨迹方程为．2y=0本题主要考查了点差法求中点弦的斜率，属于圆锥曲线的常规题．点评：，4B|=10，B，且|FB|+|FF（0），过点F并垂直于x轴的直线与椭圆的一个交点为028．已知某椭圆的焦点是F（﹣4，）、21212成等差数列．|FC|、|FB|、、C（x，y）满足条件：|FA|，椭圆上不同的两点A（xy）2212122（Ⅰ）求该椭圆的方程；中点的横坐标．（Ⅱ）求弦AC椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的关系考计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程专分析，即可得出该椭圆的算b=a=．c=）根据椭圆定义结合已知条件，|B|+|B|=10=2可程；C||F|FA|、=4，y）在椭圆上，利用椭圆方程算出y．再根据圆锥曲线统一定义，算出（2）由点B（2B2B，最后利用中=8成等差数列建立关系式算出x+x|FB|、|FC|的式子，由关于它们的横坐标x、x|FA|、2222211中点的横坐标．点坐标公式，即可算出弦AC ）由椭圆定义及条件，可得（1解答：解：．，得a=52a=|FB|+|FB|=1021．b==3又∵c=4，∴．因此可得该椭圆方程为y）在椭圆上，B（4，（2）∵点B|=．，可得|FB|=|y=∴将x=4，代入椭圆方程求得y B2B ．=x=，离心率e=∵椭圆右准线方程为x=，即根据圆锥曲线统一定义，得．x）C|=），|F（﹣（|FA|=﹣x2221C| B|=|FA|+|F|FC|成等差数列，得2|F、由|FA|、|FB|222222．+x=8=2x）×，由此解得x﹣）即（﹣x+（2211，，xy）的中点为设弦ACP（00=4．）+xx=x可得中点横坐标为则（210的中点横坐标，着重考查了椭圆的定义与标准方程、本题给出椭圆满足的条件，求椭圆的方程并依此求AC点评：圆锥曲线的统一定义和等差数列的性质等知识，属于中档题AB．，1）的弦2010?永春县一模）过椭圆内一点M（129．（的方程；AB的中点，求直线ABM （1）若点恰为弦的弦的中点的轨迹方程．2）求过点M（直线的一般式方程；轨迹方程考转化思想专，故我们A过分析本题考查的知识点是直线的一般式方程及动点轨迹方程的求法）由于的点斜式方程，联立直线与圆的方程后，根据韦达定理（根与系数的关系，我们结合设出直AA值后代入整理即可得到直的方程为A的中点可得到一个关于斜的方程解方程求由此可构造一个关四点共线易得他们确定直线的斜率相等则A弦的中点的弦的中点的轨迹方程的关系式，整理后即可得到过的方程可设1=解答解）设直A的斜率，AB22=16）+4（kx+1﹣k得x22216=0k）﹣（1﹣k）x+8k（1﹣）x+4得（1+4k，．．．∴，（xy）的中点为（2）设弦ABP P四点共线，，∵A，BM，=k∴k MPAB．∴在求直线方程时，应先选择适当的直线方程的形式，并注意各种形式的适用条件，用斜截式及点斜式时，点评：直线的斜率必须存在，而两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的直线，故在解题时，若采用截距式，应注意分类讨论，判断截距是否为零；若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况两点，点，交于A、B方程为30．已知椭圆C，直线与椭圆C M的轨迹方程；1）求弦AB中点（+k为定值．、k，求证：k2）设直线PA、PB斜率分别为k（2121直线与圆锥曲线的综合问题考计算题；证明题专分析：22．再由＜2＞0，知﹣2＜m1）将代入消去y并整理得4x+4mx+4m﹣12=0，由△（2的轨迹方程是MAB 中点x=m﹣3在椭圆内部部分．，知弦﹣x+x=m，x2211，根据斜率公式），y）B（x2（）先设A（x，y2211即可。