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中考数学压轴题 易错题难题专项训练检测试题

一、中考数学压轴题1.如图,一张半径为3cm 的圆形纸片,点O 为圆心,将该圆形纸片沿直线l 折叠,直线l 交O 于A B 、两点.(1)若折叠后的圆弧恰好经过点O ,利用直尺和圆规在图中作出满足条件的一条直线l (不写作法,保留作图痕迹),并求此时线段AB 的长度.(2)已知M 是O 一点,1cm OM =.①若折叠后的圆弧经过点M ,则线段AB 长度的取值范围是________.②若折叠后的圆弧与直线OM 相切于点M ,则线段AB 的长度为_________cm .2.如图1,在O 中,弦AB ⊥弦CD ,垂足为点E ,连接AD 、BC 、AO ,AD AB =.(1)求证:2CAO CDB ∠=∠(2)如图2,过点O 作OH AD ⊥,垂足为点H ,求证:2OH CE DE +=(3)如图3,在(2)的条件下,延长DB 、AC 交于点F ,过点D 作DM AC ⊥,垂足为M ,交AB 于N ,若12BC =,3AF BF =,求MN 的长.3.已知抛物线217222y x mx m 的顶点为点C . (1)求证:不论m 为何实数,该抛物线与x 轴总有两个不同的交点;(2)若抛物线的对称轴为直线3x =,求m 的值和C 点坐标;(3)如图,直线1y x =-与(2)中的抛物线并于A B 、两点,并与它的对称轴交于点D ,直线x k =交直线AB 于点M ,交抛物线于点N .求当k 为何值时,以C D M N 、、、为顶点的四边形为平行四边形.4.已知,在Rt △ABC 和Rt △DEF 中,∠ACB=∠EDF=90°,∠A=30°,∠E=45°,AB =EF =6,如图1,D 是斜边AB 的中点,将等腰Rt △DEF 绕点D 顺时针方向旋转角α(0°<α<90°),在旋转过程中,直线DE ,AC 相交于点M ,直线DF ,BC 相交于点N .(1)如图1,当α=60°时,求证:DM =BN ;(2)在上述旋转过程中,DN DM 的值是一个定值吗?请在图2中画出图形并加以证明; (3)如图3,在上述旋转过程中,当点C 落在斜边EF 上时,求两个三角形重合部分四边形CMDN 的面积.5.如图,在等边ABC ∆中,延长AB 至点D ,延长AC 交BD 的中垂线于点E ,连接BE ,DE .(1)如图1,若310DE =,23BC =,求CE 的长;(2)如图2,连接CD 交BE 于点M ,在CE 上取一点F ,连接DF 交BE 于点N ,且DF CD =,求证:12AB EF =;(3)在(2)的条件下,若45AED ∠=︒直接写出线段BD ,EF ,ED 的等量关系6.如图,90EOF ∠=︒,矩形ABCD 的边BA 、BC 分别在OF 、OE 上,4AB =,3BC =,矩形ABCD 沿射线OD 方向,以每秒1个单位长度的速度运动.同时点P 从点A 出发沿折线AD DC -以每秒1个单位长度的速度向终点C 运动,当点P 到达点C 时,矩形ABCD 也停止运动,设点P 的运动时间为()t s ,PDO △的面积为S .(1)分别写出点B 到OF 、OE 的距离(用含t 的代数式表示);(2)当点P 不与矩形ABCD 的顶点重合时,求S 与t 之间的函数关系式;(3)设点P 到BD 的距离为h ,当15h OD =时,求t 的值; (4)若在点P 出发的同时,点Q 从点B 以每秒43个单位长度的速度向终点A 运动,当点Q 停止运动时,点P 与矩形ABCD 也停止运动,设点A 关于PQ 的对称点为E ,当PQE 的一边与CDB △的一边平行时,直接写出线段OD 的长.7.在平面直角坐标系xOy 中,对于点A 和图形M ,若图形M 上存在两点P ,Q ,使得3AP AQ =,则称点A 是图形M 的“倍增点”.(1)若图形M 为线段BC ,其中点()2,0B -,点()2,0C ,则下列三个点()1,2D -,()1,1E -,()0,2F 是线段BC 的倍增点的是_____________;(2)若O 的半径为4,直线l :2y x =-+,求直线l 上O 倍增点的横坐标的取值范围;(3)设直线1y x =-+与两坐标轴分别交于G ,H ,OT 的半径为4,圆心T 是x 轴上的动点,若线段GH 上存在T 的倍增点,直接写出圆心T 的横坐标的取值范围. 8.对于平面直角坐标系xOy 中的任意点()P x y ,,如果满足x y a += (x ≥0,a 为常数),那么我们称这样的点叫做“特征点”.(1)当2≤a ≤3时,①在点(1,2),(1,3),(2.5,0)A B C 中,满足此条件的特征点为__________________;②⊙W 的圆心为(,0)W m ,半径为1,如果⊙W 上始终存在满足条件的特征点,请画出示意图,并直接写出m 的取值范围;(2)已知函数()10Z x x x=+>,请利用特征点求出该函数的最小值.9.如图,直角三角形ABC ∆中,90460ACB AC A ∠︒=∠︒=,,=,O 为BC 中点,将ABC ∆绕O 点旋转180︒得到DCB ∆.一动点P 从A 出发,以每秒1的速度沿A B D →→的路线匀速运动,过点P 作直线PM ,使PM AC ⊥.(1)当点P 运动2秒时,另一动点Q 也从A 出发沿A B D →→的路线运动,且在AB 上以每秒1的速度匀速运动,在BD 上以每秒2的速度匀速运动,过Q 作直线QN 使//QN PM ,设点Q 的运动时间为t 秒,(0<t<10)直线PM 与QN 截四边形ABDC 所得图形的面积为S ,求S 关于t 的函数关系式,并求出S 的最大值.(2)当点P 开始运动的同时,另一动点R 从B 处出发沿B C D →→的路线运动,且在BC 上以每秒32的速度匀速运动,在CD 上以每秒2的速度匀度运动,是否存在这样的P R 、,使BPR ∆为等腰三角形?若存在,直接写出点P 运动的时间m 的值,若不存在请说明理由. 10.平面直角坐标系中,点A 、B 分别在x 轴正半轴、y 轴正半轴上,AO =BO ,△ABO 的面积为8.(1)求点A 的坐标;(2)点C 、D 分别在x 轴负半轴、y 轴正半轴上(D 在B 点上方),AB ⊥CD 于E ,设点D 纵坐标为t ,△BCE 的面积为S ,求S 与t 的函数关系;(3)在(2)的条件下,点F 为BE 中点,连接OF 交BC 于G ,当∠FOB +∠DAE =45°时,求点E 坐标.11.如图,在ABC 中,90ABC ∠=︒,AB BC <,O 为AC 中点,点D 在BO 延长线上,CD BC =,AE BC ∥,CE CA =,AE 交BD 于点G .(1)若28DCE ∠=︒,求AOB ∠的度数;(2)求证:AG GE =;(3)设DC 交GE 于点M .①若3AB =,4BC =,求::AG GM ME 的值;②连结DE ,分别记ABG ,DGM ,DME 的面积为1S ,2S ,3S ,当AC DE 时,123::S S S = .(直接写出答案)12.如图1,已知抛物线21833y x x c =--+与x 轴相交于A 、B 两点(B 点在A 点的左侧),与y 轴相交于C 点,且10AB =.(1)求这条抛物线的解析式;(2)如图2,D 点在x 轴上,且在A 点的右侧,E 点为抛物线上第二象限内的点,连接ED 交抛物线于第二象限内的另外一点F ,点E 到y 轴的距离与点F 到y 轴的距离之比为3:1,已知4tan 3BDE ∠=,求点E 的坐标; (3)如图3,在(2)的条件下,点G 由B 出发,沿x 轴负方向运动,连接EG ,点H 在线段EG 上,连接DH ,EDH EGB ∠=∠,过点E 作EK DH ⊥,与抛物线相交于点K ,若EK EG =,求点K 的坐标.13.附加题:在平面直角坐标系中,抛物线21y ax a =-与y 轴交于点A ,点A 关于x 轴的对称点为点B ,(1)求抛物线的对称轴;(2)求点B 坐标(用含a 的式子表示);(3)已知点11,P a ⎛⎫ ⎪⎝⎭,(3,0)Q ,若抛物线与线段PQ 恰有一个公共点,结合函数图像,求a 的取值范围.14.在ABC ∆中,若存在一个内角角度,是另外一个内角角度的n 倍(n 为大于1的正整数),则称ABC ∆为n 倍角三角形.例如,在ABC ∆中,80A ∠=︒,75B ∠=︒,25C ∠=︒,可知3∠=∠B C ,所以ABC ∆为3倍角三角形.(1)在ABC ∆中,55A ∠=︒,25B ∠=︒,则ABC ∆为________倍角三角形;(2)若DEF ∆是3倍角三角形,且其中一个内角的度数是另外一个内角的余角的度数的13,求DEF ∆的最小内角. (3)若MNP ∆是2倍角三角形,且90M N P ∠<∠<∠<︒,请直接写出MNP ∆的最小内角的取值范围.15.已知:菱形 ABCD ,点 E 在线段 BC 上,连接 DE ,点 F 在线段 AB 上,连接 CF 、DF , CF 与 DE 交于点 G ,将菱形 ABCD 沿 DF 翻折,点 A 恰好落在点 G 上.(1)求证:CD=CF ;(2)设∠CED = x ,∠DCF = y ,求 y 与 x 的函数关系式;(不要求写出自变量的取值范围) (3)在(2)的条件下,当 x =45°时,以 CD 为底边作等腰△CDK ,顶角顶点 K 在菱形 ABCD 的内部,连接 GK ,若 GK ∥CD ,CD =4 时,求线段 KG 的长.16.在平面直角坐标系中,直线4(0)3y x b b =-+>交x 轴于点A ,交y 轴于点B ,10AB =.(1)如图1,求b 的值;(2)如图2,经过点B 的直线(4)(40)y n x b n =++-<<与直线y nx =交于点C ,与x 轴交于点R ,//CD OA ,交AB 于点D ,设线段CD 长为d ,求d 与n 的函数关系式; (3)如图3,在(2)的条件下,点F 在第四象限,CF 交OA 于点E ,45AEF ∠=︒,点P 在第一象限,PH OA ⊥,点N 在x 轴上,点M 在PH 上,MN 交PE 于点G ,PH EN =,过点E 作EQ CF ⊥,交PH 于点Q , 32==EQ EF PM ,∠=∠OBR HNM ,BC CR =,点G 的坐标为1927,55⎛⎫⎪⎝⎭,连接FN ,求EFN 的面积.17.AB 是O 直径,,C D 分别是上下半圆上一点,且弧BC =弧BD ,连接,AC BC ,连接CD 交AB 于E ,(1)如图(1)求证:90AEC ∠=︒;(2)如图(2)F 是弧AD 一点,点,M N 分别是弧AC 和弧FD 的中点,连接FD ,连接MN 分别交AC ,FD 于,P Q 两点,求证:MPC NQD ∠=∠(3)如图(3)在(2)问条件下,MN 交AB 于G ,交BF 于L ,过点G 作GH MN ⊥交AF 于H ,连接BH ,若,6,BG HF AG ABH ==∆的面积等于8,求线段MN 的长度18.如图,在平面直角坐标系中,Rt ABC △的斜边在AB 在x 轴上,点C 在y 轴上90ACB ∠=︒,OC 、OB 的长分别是一元二次方程2680x x -+=的两个根,且OC OB <.(1)求点A 的坐标;(2)D 是线段AB 上的一个动点(点D 不与点A ,B 重合),过点D 的直线l 与y 轴平行,直线l 交边AC 或边BC 于点P ,设点D 的横坐标为t ,线段DP 的长为d ,求d 关于t 的函数解析式;(3)在(2)的条件下,当12d =时,请你直接写出点P 的坐标.19.定义:将函数l 的图象绕点P (m ,0)旋转180°,得到新的函数l '的图象,我们称函数l '是函数关于点P 的相关函数.例如:当m =1时,函数y =(x +1)2+5关于点P (1,0)的相关函数为y =﹣(x ﹣3)2﹣5.(1)当m =0时①一次函数y =x ﹣1关于点P 的相关函数为 ;②点(12,﹣98)在二次函数y =﹣ax 2﹣ax +1(a ≠0)关于点P 的相关函数的图象上,求a 的值.(2)函数y =(x ﹣1)2+2关于点P 的相关函数y =﹣(x +3)2﹣2,则m = ; (3)当m ﹣1≤x ≤m +2时,函数y =x 2﹣mx ﹣12m 2关于点P (m ,0)的相关函数的最大值为6,求m 的值.20.如图,在平面直角坐标系xOy 中,已知Rt ABC 的直角顶点()0,12C ,斜边AB 在x 轴上,且点A 的坐标为()9,0-,点D 是AC 的中点,点E 是BC 边上的一个动点,抛物线212y ax bx =++过D ,C ,E 三点.(1)当//DE AB 时,①求抛物线的解析式;②平行于对称轴的直线x m =与x 轴,DE ,BC 分别交于点F ,H ,G ,若以点D ,H ,F 为顶点的三角形与GHE △相似,求点m 的值.(2)以E 为等腰三角形顶角顶点,ED 为腰构造等腰EDG △,且G 点落在x 轴上.若在x 轴上满足条件的G 点有且只有一个时,请直接写出....点E 的坐标. 21.问题提出(1)如图1,已知三角形ABC ,请在BC 边上确定一点D ,使得AD 的值最小. 问题探究(2)如图2,在等腰ABC 中,AB AC =,点P 是AC 边上一动点,分别过点A ,点C 作线段BP 所在直线的垂线,垂足为点,D E ,若5,6AB BC ==,求线段BP 的取值范围,并求AD CE +的最大值.问题解决(3)如图3,正方形ABCD 是一块蔬菜种植基地,边长为3千米,四个顶点处都建有一个蔬菜采购点,根据运输需要,经过顶点A 处和BC 边的两个三等分点E F 、之间的某点P 建设一条向外运输的快速通道,其余三个采购点都修建垂直于快速通道的蔬菜输送轨道,分别为BB '、CC '、DD '.若你是此次项目设计的负责人,要使三条运输轨道的距离之和()BB CC DD '''++最小,你能不能按照要求进行规划,请通过计算说明.22.如图,平行四边形ABCD 中,AB ⊥AC ,AB =2,AC =4.对角线AC 、BD 相交于点O ,将直线AC 绕点O 顺时针旋转α°(0°<α<180°),分别交直线BC 、AD 于点E 、F .(1)当α=_____°时,四边形ABEF 是平行四边形;(2)在旋转的过程中,从A 、B 、C 、D 、E 、F 中任意4个点为顶点构造四边形, ①当α=_______°时,构造的四边形是菱形;②若构造的四边形是矩形,求该矩形的两边长.23.综合与探究:如图1,抛物线24832999y x x =-++与x 轴交于,A B 两点(点A 在点B 的左侧),顶点为D ,P 为对称轴右侧抛物线的一个动点,直线AD 与y 轴于点C ,过点P 作//PF AD ,交x 轴于点F .(1)求直线AD 的函数表达式及点C 的坐标;(2)如图2,当//PC x 轴时,将AOC ∆以每秒1个单位长度的速度沿x 轴的正方向平移,当点C 与点P 重合时停止平移.设平移t 秒时,在平移过程中AOC ∆与四边形AFPC 重叠部分的面积为S ,求S 关于t 的函数关系式,并写出自变量t 的取值范围; (3)如图3,过点P 作x 轴的平行线,交直线AD 于点E ,直线DF 与PE 交于点M ,设点P 的横坐标为m .①当3DM MF =时,求m 的值;②试探究点P 在运动过程中,是否存在值m ,使四边形AFPE 是菱形?若存在,请直接写出点P 的坐标;若不存在,请说明理由.24.已知,在四边形ABCD 中,AD ∥BC ,AB ∥DC ,点E 在BC 延长线上,连接DE ,∠A +∠E =180°.(1)如图1,求证:CD=DE ;(2)如图2,过点C 作BE 的垂线,交AD 于点F ,请直接写出BE 、AF 、DF 之间的数量关系_______________________;(3)如图3,在(2)的条件下,∠ABC 的平分线,交CD 于G ,交CF 于H ,连接FG ,若∠FGH=45°,DF=8,CH=9,求BE 的长.25.如图,在平面直角坐标系中,点(1,2)A ,(5,0)B ,抛物线22(0)y ax ax a =->交x轴正半轴于点C ,连结AO ,AB . (1)求点C 的坐标; (2)求直线AB 的表达式;(3)设抛物线22(0)y ax ax a =->分别交边BA ,BA 延长线于点D ,E .①若2AE AO =,求抛物线表达式;②若CDB △与BOA △相似,则a 的值为 .(直接写出答案)【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、中考数学压轴题 1.A解析:(1)图见解析,33cm ;(2)①25cm 42cm AB ≤≤26 【解析】 【分析】(1)连接AO ,直线l 垂直平分PO .13cm 22OH PO ==,在Rt △AHO 中即可求解; (2)①分两种情况求解;②过O 作弦AB 的垂直与圆交于点D ,与弧AB 交于点C ,与AB 交于点E ,过M 作OM 的垂线,两条垂线的交点为O',连接AO ,得到OO'垂直平分AB ,O'为弧ABM 所在圆的圆心,10cm OO '=,在Rt △ADO 中即可求解; 【详解】(1)如图,直线l 为所求,连接AO .∵点P 与点O 关于直线l 对称, ∴直线l 垂直平分PO . ∴13cm 22OH PO ==. 在Rt AHO ∆中, ∵222AH HO AO +=, ∴2233cm AH AO HO =-=. 在O 中,∵PO AB ⊥,PO 为半径, ∴233cm AB AH ==. (2)如图1:∵弧AB 翻折与M 重合,OM=1, ∴DM=1,在Rt△ADO 中,AO=3,DO=2, ∴5AD = 如图2:∵弧AB 翻折与M 重合,OM=1, ∴MD=2,DO=1, 在Rt△ADO 中,AO=3, ∴22AD =, ∴2542AB ≤≤, 故答案为2542AB ≤≤;(3)如图3:过O 作弦AB 的垂线与圆O 交于点C ,与AB 交于点D ,连接OM ,过点M 作OM 的垂线,两条垂线的交点为O',连接AO ,∴OO'垂直平分AB ,O'为弧ABM 所在圆的圆心, ∵折叠后的圆弧与直线OM 相切于点M , ∴MO'=3,CO=EO',在Rt△OO'M 中,OM=1, ∴'10OO =, 在Rt△ADO 中,10DO =AO=3, ∴26AD =, ∴26AB =26 【点睛】本题考查圆的翻折,垂径定理,圆的切线,解直角三角形;熟练用垂径定理,在直角三角形中求边,分类讨论折叠的情况是解题的关键.2.B解析:(1)见解析;(2)见解析;(3)541025MN = 【解析】 【分析】(1)连接OB ,OD ,利用圆周角定理结合三角形内角和定理可得结果;(2)过O 作OT ⊥BC 于T ,连接OB ,OC ,在ED 上找点G ,使得CE=EG ,连接BG ,证明AOH OBT ∆∆≌,得到OH=BT ,设∠BDC=α,利用垂直平分线的性质得到BC=BG ,结合三角形外角的性质得到BC=BG=GD ,从而可得结果;(3)在AF 上作点Q ,使得AQ=BQ ,连接BQ ,OQ ,过B 作BW ⊥AF 于点W ,设BF=x ,则AF=3x ,推出△QBF 为直角三角形,利用勾股定理得出AQ 、BQ 、BW 、FW 、AW 的表达式,从而得到4tan 3BW F FW ∠==,1tan 3BW CAB AW ∠==,设BE=n ,则DE=3n ,EG=3n-12,在△BEG 中,利用勾股定理求出n 的值,得到BE 、DE 、EG 、EC 的值,利用三角函数算出NE 的长,再证明△CBE ∽△ADE ,得到13CE BC BF AE AD AF ===,算出AE ,从而得到AN ,最后在△AMN 利用勾股定理求出MN 的长. 【详解】解:(1)连接OB ,OD , ∵AD=AB ,∴弧AC=弧AD , ∴∠AOB=∠AOD ,∴∠OAB=∠OBA ,∠OAD=∠ODA , ∴BAO DAO ∠=∠, ∵CAB CDB ∠=∠,∴2CAO CDB ∠=∠;(2)过O 作OT ⊥BC 于T ,连接OB ,OC ,在ED 上找点G ,使得CE=EG ,连接BG , ∵∠COB=2∠CAB ,∠CAB=∠CDB ,∠AOB=∠AOD ,2CAO CDB ∠=∠, ∴2∠OAH=2∠BAO=∠COB , ∵OC=OB ,OT ⊥BC , ∴∠OAH=∠BOT ,又∵∠OTB=∠OHA=90°,OB=OA ,∴AOH OBT ∆∆≌, ∴OH=BT , ∵BC=2BT , ∴2OH=BC , 设∠BDC=α, ∴∠BCD=∠BAD=2α, ∵CE=GE ,AB ⊥CD ,∴BC=BG ,则∠BGC=∠BCG=2α, ∵∠BDC=α, ∴∠GBD=α, ∴BC=BG=GD ,∴DE=EG+GD=CE+BC=CE+2OH , 即2OH CE DE +=;(3)在AF 上作点Q ,使得AQ=BQ ,连接BQ ,OQ ,过B 作BW ⊥AF 于点W , ∵AQ=BQ ,OA=OB , ∴OQ 垂直平分AB , ∴∠QAB=∠QBA ,∵AF=3BF ,设BF=x ,则AF=3x , ∵AB ⊥CD , ∴∠ACD+∠CAB=90°, ∵∠ACD=∠ABD , ∴∠ABD+∠ABQ=90°, ∴△QBF 为直角三角形,设AQ=QB=a ,则FQ=3x-a ,在△QBF 中,()2223x a a x -=+,解得:43a x =, 即AQ=BQ=43x ,QF=53x ,∴BW=BF×BQ÷QF=45x , ∴2235BF BW x -=,∴AW=AF-FW=125x , ∴4tan 3BW F FW ∠==,1tan 3BW CAB AW ∠==, 由(2)知:BC=BG=DG=12,CE=EG ,∴BE=ED·tan ∠BDC , 设BE=n ,则DE=3n ,EG=3n-12,在△BEG 中,()22231212n n +-=, 解得:n=365或0(舍), ∴BE=365,DE=1085,EG=EC=485, 在△DMC 和△BDE 中, ∠MCD=∠EBD ,∠DMC=∠DEB , ∴∠MDC=∠EDB ,∴tan ∠MDC=tan ∠EDB=tan ∠CAB=13, ∴NE=DE×13=365, ∵∠BCE=∠BAD ,∠CBE=∠ADE , ∴△CBE ∽△ADE ,∴13CE BC BF AE AD AF ===, ∴AE=3CE=1445,∴AN=AE-NE=1085, ∴设MN=m ,则AM=3m ,在△AMN 中,()22210835m m ⎛⎫+= ⎪⎝⎭,解得:或∴MN =.【点睛】本题属于圆的综合题,考查了相似三角形的判定和性质,勾股定理,圆周角定理,难度较大,要会综合题中的条件作出适当辅助线帮助解决问题.3.(1)详见解析;(2)3m =,点C 坐标为(3,2)-;(3)5k =或417k 或417k时,可使得C D M N 、、、为顶点的四边形是平行四边形.【解析】 【分析】 (1)从2172022x mxm的判别式出发,判别式总大于等于3,而证得;(2)根据抛物线的对称轴32b xa来求m 的值;然后利用配方法把抛物线解析式转化为顶点式,由此可以写出点C 的坐标;(3)根据平行四边形的性质得到:215|1(3)|422MN k k kCD . 需要分类讨论:①当四边形CDMN 是平行四边形,2151(3)422MN k k k,通过解该方程可以求得k 的值;②当四边形CDNM 是平行四边形,2153(1)422NM k kk ,通过解该方程可以求得k 的值. 【详解】 解:(1)2217()4(2)(2)322m m m, ∵不论m 为何实数,总有2(2)0m -≥,2(2)30m ,∴无论m 为何实数,关于x 的一元二次方程2172022x mxm总有两个不相等的实数根,∴无论m 为何实数,抛物线217222yx mxm与x 轴总有两个不同的交点.(2)抛物线的对称轴为直线3x =,3122m ,即3m =,此时,抛物线的解析式为221513(3)2222y x xx ,∴顶点C 坐标为(3,2)-;(3)//,CD MN C D MN 、、、为顶点的四边形是平行四边形,∴四边形CDMN 是平行四边形(直线在抛物线的上方)或四边形CDMN (直线在抛物线的下方),如图所示,由已知215(3,2),(,1),(3)22D M k k N k k k,, (3,2)C ,4CD ∴=,2151(3)422MNk k kCD,①当四边形CDMN 是平行四边形,2151(3)422MNk k k,整理得,28150k k -+=,解得13k =(不合题意,舍去),25k =; ②当四边形CDNM 是平行四边形,2153(1)422NMk kk ,整理得2810k k , 解得,12417417k k ,,综上,5k =或417k或417k时,可使得C D M N 、、、为顶点的四边形是平行四边形. 【点睛】本题是二次函数的综合题型,其中涉及到的知识点有待定系数法求二次函数解析式,抛物线的顶点公式和平行四边形的判定与性质.在求有关动点问题时要注意分析题意分情况讨论结果.4.A解析:(1)详见解析;(2)3DNDM =,是一个定值;(3)92【解析】 【分析】(1)利用ASA 证ADM DBN △≌△,从而得出DM BN =; (2)如下图,先证NDQ MDP △∽△,得出DN DQDM DP=,然后在Rt BDQ △,利用tan ∠B 得出DQ BQ 的值,最后得出DNDM的值; (3)如下图,先证点C 是EF 的中点,然后利用CD 平分EDF ∠可推导出四边形CGDH 为正方形,从而得出CHN CGM △≌△,进而得出面积. 【详解】解:(1)由题意,∵60α=︒,90EDF ∠=︒,∴30BDN ∠=︒,∴BDN A ∠=∠,B EDA ∠=∠, ∵点D 是斜边AB 的中点,∴AD BD =, ∴ADM DBN △≌△,∴DM BN =. (2)3DNDM=,是一个定值. 证明:如图1,作DP AC ⊥于点P ,DQ BC ⊥于点Q ,∴90NQD MPD ∠=∠=︒,又∵90MDN PDQ ∠=∠=︒,∴NDQ MDP ∠=∠, ∴NDQ MDP △∽△,∴DN DQDM DP=, 在Rt BDQ △中,60B ∠=︒,∴tan ∠B 3DQBQ==又由(1)可知:DP BQ =,∴3DQDP =, ∴3DNDM= (3)连接CD ,作CG DE ⊥于点G ,CH DF ⊥于点H ,在Rt ABC 中,点D 是AB 的中点,∴132CD AB ==, ∵AB EF =,∴12CD EF =,∵90EDF ∠=︒,∴C 是EF 中点, ∴CD 平分EDF ∠,45CDE ∠=︒, ∵CG DE ⊥,CH DF ⊥,∴CG CH =, ∵90CGD CHD EDF ∠=∠=∠=︒, ∴四边形CGDH 为正方形,90GCH ∠=︒, ∴GCM HCN ∠=∠,∴CHN CGM △≌△, ∴S 四边形CMDN S =正方形21922CGDH CD ==. 【点睛】本题综合考查了全等三角形和相似三角形的证明和性质,解题关键是找出两个全等(相似)三角形,根据三角形全等(相似)的性质推出结论.5.B解析:(1)93CE =-2)详见解析;(3)6132BD DE EF =- 【解析】 【分析】(1)过点B 作BH AC ⊥于点H ,分别求出BH ,BE ,根据勾股定理问题得解; (2)如图在FE 上取一点G ,使FG AC =,连接DG ,先证明()ACD GFD SAS ∆∆≌,再证明()ECB DGE AAS ∆∆≌,问题得证;(3)过点D 作AE 的垂线,构造出一个30,60︒,90︒的三角形和一个等腰直角三角形,借助(2)的结论,设222EF AB AC x ===,2ED =,通过解两个直角三角形,代换x 和y 的关系,得出结论. 【详解】解:(1)如图,过点B 作BH AC ⊥于点H , 在等边ABC ∆中∵23BC =∴3AH HC ==223BH BC CH =-=,∵点E 在BD 的垂直平分线上,∴310BE DE ==, 在Rt BHE ∆中229EH BE BH =-=∴93CE EH HC =-=-(2)如图在FE 上取一点G ,使FG AC =,连接DG∵DF CD =∴FCD CFD ∠=∠∴ACD EFD ∠=∠在ACD ∆和GFD ∆中,DF CD ACD EFD FG AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()ACD GFD SAS ∆∆≌∴AD DG =∴60A DGA ∠=∠=︒∴60A DGA ADG ∠=∠=∠=︒设EBD EDB α∠=∠=∴120CBE α∠=︒-在ADE ∆中∴18060120AED αα∠=︒-︒-=︒-∴120AED CBE α∠=∠=︒-在ECB ∆和DGE ∆中120AED CBE ECB ECD EB DE ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩∴()ECB DGE AAS ∆∆≌∴BC GE =∴AB AC BC GE FG ====12AB EF =(3)如图,设222EF AB AC x ===,DP=y ,过点DP ⊥AE ,垂足为P ,∵∠AED=45°, ∠A=60°, ∴2sin sin 45DP y ED y AED ===∠︒,23sin sin 60DP y y AD A ===∠︒, ∴2=2y DE , ∴BD=AD-AB =23232161222y x DE EF DE EF -=-=-, 故答案为:612BD DE EF =-. 【点睛】本题涉及知识点较多,设计新颖,综合性强,难度较大,根据题意添加适当辅助线,构造直角三角形或构造全等是解题关键.6.B解析:(1)35t ,45t ;(2)当0<t <3时,224655S t t =--+;当3<t <7时,23391052S t t =+-;(3)75;(4)132,7713,477 【解析】【分析】(1)过点B 作x 轴垂线,利用相似三角形可求得;(2)分2种情况,一种是点P 在AD 上,另一种是点P 在CD 上,然后利用三角形面积公式可求得;(3)直接令15h OD =即可求出; (4)存在3种情况,第一种是:QP ∥BD ,第二种是EP ∥CD 或EQ ∥CB ,第三种是QE ∥BD ,分别按照几何性质分析求解.【详解】 (1)如下图,过点B 作x 轴垂线,垂足为点M根据平移的特点,可得∠BOM=∠DBA∵∠BMO=∠DAB=90°,∴△BMO ∽△DAB ∵AB=4,AD=BC=3∴BD=5∵BM OM BO DA BA BD==,OB=t ∴BM=35t ,OM=45t (2)情况一:当0<t <3时,图形如下,过点P 作OD 的垂线,交OD 于点N∵∠NDP=∠BDA ,∠PND=∠BAD ,∴△PND ∽△BAD∵AP=t ,∴PD=3-t∵PN BA PD BD =,∴PN=()435t - 图中,OD=5+t∴()()243124562555OBD t S t t t -=+=--+情况二:当3<t <7时,图形如下,过点P 作OD 的垂线,交OD 于点N图中,PD=t -3,OD=5+t同理,△PND ∽△BCD ,可得PN=()335t - ∴()()23313395251052OBD t S t t t -=+=-+- (3)情况一:当0<t <3时则h=PN=()435t - ∵15h OD =∴()43555t t -+= 解得:t=75情况二:当3<t <7时则h=PN=()335t - ∵15h OD =∴()33555t t -+= 解得:t=7(舍)(4)情况一:QP ∥BD ,图形如下由题意可得:BQ=43t ,AP=t ,则QA=4-43t ,DP=3-t ∵BD ∥QP ∴QA PA QB PD= 代入得:4()2243t t =-解得:t=32∴OD=5+t=132 情况二:如下图,EP ∥CD(或EQ ∥CB)∵点E 是点A 关于QP 对称的点∴EP=PA ,EQ=QA ,QP=QP∴△APQ ≌△EPQ∵EP ∥CD ,CD ⊥AD∴EP ⊥AD∴∠APQ=∠EPQ=45°∴△AQP 是等腰直角三角形,AQ=PA∴4-43t t = 解得:t=127∴OD=5+t=477 情况三:如下图,QE ∥BD ,延长QE 交DA 于点N∵△APQ ≌△EPQ ,∴∠QEP=∠QAP=90°∴△ENP 是等腰直角三角形∵QN ∥BD ,∴∠NQA=∠DBA ,∠A=∠A∴△QNA ∽△BDA∵BQ=43t ,AP=t ,QA=4-43t ,DP=3-t ∴QN QA AN BD BA AD== ∴QN=5-43t ,NA=3-t ∴EN=QN -QE=QN -QA=1-3t ,NP=NA -AP=3-2t ,EP=PA=t ∴在Rt △ENP 中,()2223213t t t ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭ 解得:t=1213或t=3(舍) ∴OD=5+t=7713 【点睛】本题考查动点问题,解题关键是利用相似将图形中各边用t 表示出来.7.A解析:(1)()1,1E -;(2)12m -≤≤-或01m ≤≤3)9t ≤≤.【解析】【分析】(1)首先要理解点A 是图形M 的“倍增点”的定义,将三个点逐一代入验证即可; (2)分两种情况:①点"倍增点”在O 的外部,分别求得“倍增点”横坐标的最大值和最小值,②点"倍增点"在O 的内部,依次求得“倍增点"横坐标的最大值和最小值,即可确定“倍增点”横坐标的范围;(3)分别求得线段GH 两端点为T "倍增点”时横坐标的最大值和最小值即可.【详解】(1)()1,2D -到线段BC 的距离为2,32DC ==⨯∴()1,2D -不是线段BC 的倍增点;()1,1E -到线段BC 的距离为1,3EC ==>,∴在线段BC 上必存在一点P 使EP=3,∴()1,1E -是线段BC 的倍增点;()0,2F 到线段BC 的距离为2, 22(02)(20)2232FC =-+-=<⨯∴()0,2F 不是线段BC 的倍增点;综上,()1,1E -是线段BC 的倍增点; (2)设直线l 上“倍增点”的横坐标为m ,当点在O 外时,222(2)8,m m +-+≤解方程222(2)8m m +-+=,得1131m =+,2131m =-当点在O 内部时,22224(2)3(44(2))m m m m ++-+≥--+-+解得:m≥0或m≤-2∴直线l 上“倍增点”的橫坐标的取值范围为1312m -≤≤-或0131m ≤≤+;(3)如图所示,当点G(1,0)为T "倍增点"时,T(9,0),此时T 的横坐标为最大值,当点H(0,1)为T “倍增点”时,则T(63,此时T 的横坐标为最小值;∴圆心T(t, 0)的横坐标的取值范围为:639t -≤≤.【点睛】在正确理解点A 是图形M 的“倍增点”定义的基础上,利用(1)判断是否是倍增点的不等关系式,即可列不等式组求解范围.8.A解析:(1)①(1,2),(2.5,0)A C ;②2232m ≤;(2)最小值为2.【解析】【分析】(1)①根据“特征点”的定义判断即可;②如图2中,当⊙W 1与直线y =−x +2相切时,1(22,0)W -,当⊙W 2与直线y =−x +3相切时,2(32,0)W +,结合图象,⊙W 与图中阴影部分有交点时,⊙W 上存在满足条件的特征点.(2)特征点的图象是由原点向外扩大,当与反比例函数的图象第一次有交点时,1x x+的值最小(如图3中).【详解】解:(1)①∵1+2=3,1+3=4,2.5+0=2.5,又∵2≤a ≤3,∴A ,C 是特征点,故答案为:(1,2),(2.5,0)A C ;②如图1,∵2≤a ≤3,∴直线y =−x +2和直线y =−x +3之间的区域(包括两直线)上的点都为“特征点”, 直线y =−x +2和直线y =−x +3分别与x 轴的交点为(2,0)P ,(3,0)Q ,当⊙W 1与直线y =−x +2相切时,设切点为M ,此时2OP =,1MW MP ⊥,145MPW ∠=︒,则1MPW 为等腰直角三角形,∵⊙W 1半径为1,即11MW =, ∴12PW =1122OW OP PW =-=-∴1(22,0)W ,当⊙W 2与直线y =−x +3相切时,设切点为N ,此时3OQ =,2NW NQ ⊥,245NQW ∠=︒,则2NQW 为等腰直角三角形,同理得:22QW =,则2232OW OQ QW =+=+,∴2(32,0)W +,观察图象可知满足条件的m 取值范围为:2232m ≤(2)根据0x >,在第一象限画出1y x=的图象,∴在此坐标系中图象上的点就是1 xx ⎛⎫ ⎪⎝⎭,,∵特征点满足x y a+=(x≥0,a为常数),∴在此图象上对应的就是1x ax+=,∴将特征点的图象由原点向外扩大,当与反比例函数1yx=的图象第一次有交点时,1xx+出现最小值,如图2,由x>0可将1x ax+=整理得:210x ax-+=,∴2()40a∆=--=,解得:12a=,22a=-(舍去),∴2a=,∴12Z xx=+=,即()1Z x xx=+>的最小值为2.【点睛】本题属于反比例函数综合题,考查了直线与圆的位置关系,反比例函数的性质等知识,解题的关键是理解题意,学会利用图象法解决问题,属于中考压轴题.9.C解析:(1)2233(06)53103343(68)333031503(810)2tS t tt t t+⎪⎪⎪=+-<⎨⎪⎪-+<⎪⎪⎩,S的最大值为632)存在,m的值为165或32163-163或1423-.【解析】【分析】(1)分06t、68t和810t三种情况分别表示出有关线段求得两个变量之间的函数关系即可.(2)分两种情形:①如图31-中,由题意点P 在AB 上运动的时间与点R 在BC 上运动的时间相等,即8m =.当RP BR =时,当PB BR =时,当PR PB =时,分别构建方程求解即可.②如图32-中,作RH BC ⊥于H .首先证明90BPR ∠=︒,根据BP PR =构建方程即可解决问题.【详解】解:(1)如图21-中,当06t 时,点P 与点Q 都在AB 上运动,PM AC ⊥,//NQ PM ,90ANQ AMP ∴∠=∠=︒,AQ t =,2AP t =+,60A ∠=︒, 1122AN AQ t ∴==,33QN AN t ==,112AM t =+,33PM t =+. ∴此时两平行线截平行四边形ABCD 的面积为33S t =+. 如图22-中,当68t 时,点P 在BD 上运动,点Q 仍在AB 上运动.则AQ t =,12AN t =,142CN t =-,3QN =,6BP t =-,10DP t =-,3(10)PM t =-, 而43BC = 故此时两平行线截平行四边形ABCD 的面积为: BCNQ BCMP S S S =+四边形四边形)()3111434433106222t t t ⎛⎫⎡⎤=+⋅-+-⋅- ⎪⎣⎦⎝⎭⎝ 253103343t =+-如图23-中,当810t 时,点P 和点Q 都在BD 上运动.则202DQ t =-,(202)3QN t =-,10DP t =-,(10)3PM t =-.∴此时两平行线截平行四边形ABCD 的面积为2333031503S t t =-+. 故S 关于t 的函数关系式为2233(06)53103343(68)333031503(810)t t S t t t t t t ⎧+⎪⎪⎪⎪=-+-<⎨⎪⎪-+<⎪⎪⎩, 当06t 时,S 随t 增大而增大,当68t <时,S 随t 增大而增大,当810t <时,S 随t 增大而减小,∴当t=8时,S 最大,代入可得S=63;(2)如图31-中,由题意点P 在AB 上运动的时间与点R 在BC 上运动的时间相等,8m =.当RP BR =时,3PB BR =,则有383m -=,解得165m =, 当PB BR =时,则有38m -=,解得32163m =- 当PR PB =时,3BR PB =33(8)m -,解得163m =. 如图32-中,作RH BC ⊥于H .在Rt △CHR 中,2(8)CR m =-,30RCH ∠=︒,182RH CR m ∴==-, 8BP m =-,RH BP ∴=,HR BP ∥,∴四边形RHBP 是平行四边形,90RHB ∠=︒,∴四边形RHBP 是矩形,90BPR ∴∠=︒,当BP PR =时,则有83(12)m m -=-,解得1423m =-综上所述,满足条件的m 的值为165或32163-163或1423-. 【点睛】本题属于四边形综合题,考查了平行四边形的性质,多边形的面积,等腰三角形的判定和性质等知识,解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题,学会利用参数构建方程解决问题,属于中考压轴题. 10.A解析:(1)A (4,0);(2)2144S t =-;(3)(4,8)E - 【解析】【分析】(1)利用三角形的面积公式构建方程即可解决问题.(2)证明△CEA 和△COD 是等腰直角三角形,由EN ⊥AC ,推出42t CN NE NA +===,AC=4+t ,根据S=S △AEC -S △ABC 计算即可.(3)过点F 作FM ⊥AC 于点M ,由(2)求出点F 的坐标为(1,3)44t t -+,从而得到 1144t t OM =-=-,34t FM =+,由∠ABO=∠BDA+∠BAD=45°,∠FOB +∠DAE =45°,得出∠FOB=∠BDA ,进而得出∠MFO=∠ODA ,tan ∠MFO =tan ∠ODA ,故而OA OM OD MF =,即1 4434ttt-=+,解出t的值,再求点E的坐标即可.【详解】(1)由题意可得:211•••822AOBS OA OB OA===,∴OA2=16,∵OA>0,∴OA=OB=4,∴A(4,0),B(0,4).(2)如图,过点E作EN⊥AC于点N.∵∠AOB=90°,OA=OB,∴∠OAB=45°,∵AB⊥CD,∴∠CEA=90°,∴∠ECA=45°,∴△CEA是等腰直角三角形,∵∠ECA=45°,∠COD=90°,∴∠CDO=45°,∴△CDO是等腰直角三角形.∵点D纵坐标为t,∴CO=DO=t.∵OA=OB=4,∴AC=t+4.∴42tCN NE NA+===,∴()()2141144442224AEC ABCtS S S t t t+⎛⎫=-=⨯+⨯-⨯+⨯=-⎪⎝⎭;∴S与t的函数关系是:2144S t=-.(3)如图,过点F作FM⊥AC于点M,由(2)可知,42t CN NE +==, ∴22t ON OC CN =-=-, ∴点E 的坐标为(2,2)22t t -+, ∵点B (0,4),点F 为BE 中点,∴点F 的坐标为(1,3)44t t -+, ∴1144t t OM =-=-,34t FM =+, ∵∠ABO=∠BDA+∠BAD=45°,∠FOB +∠DAE =45°,∴∠FOB=∠BDA ,∴OF ∥AD ,∵FM ⊥AC ,∴FM ∥DO ,∴∠MFO=∠ODA ,∴tan ∠MFO =tan ∠ODA , ∴OA OM OD MF=, 即14434t t t -=+, 解得t=12或4=-4(不合题意,舍去)∴点E 的坐标为(4,8)-.【点睛】本题考查三角形综合题,解题的关键是正确作出辅助线,灵活运用所学知识,利用参数构建方程解决问题.11.A解析:(1)详见解析;(2)详见解析;(3)①::32:7:25AG GM ME =;②6:1:2.【解析】【分析】(1)根据∠AOB=∠OBC+∠OCB ,只要求出∠OBC ,∠OCB 即可.(2)想办法证明CG ⊥AE 即可解决问题.(3)①如图2中,作MH ⊥CE 于H ,解直角三角形求出AG ,GM ,ME 即可解决问题. ②如图3所示:连接DE .首先证明四边形OCED 是平行四边形,再证明EC=2DG ,利用平行线分线段成比例定理即可解决问题.【详解】解:(1)∵CE CA =,CD BC =,∴CAE CEA ∠=∠,CBD CDB ∠=∠.∵AE BC ∥,∴CAE OCB ∠=∠.∵90ABC ∠=︒,O 为AC 中点,∴OB OC =.∴CBD OCB CAE ∠=∠=∠.∴ACE BCD ∠=∠.即28ACB DCE ∠=∠=︒.∴56AOB OBC OCB ∠=∠+∠=︒.(2)连结CG (如图1).∵AE BC ∥,AO CO =,∴BO OG =.∵90ABC ∠=︒,∴四边形ABCG 为矩形.∴CG AE ⊥.∵CE CA =,∴AG GE =.(3)①作MH CE ⊥于H (如图2).由AG BC ,AG GE BC ==,则四边形GBCE 是平行四边形,∴E OBC OCB DCE ∠=∠=∠=∠.∴MC ME =,2222345CE BG AC AB BC ===+=+=. ∵MH CE ⊥,∴522CE HE ==. ∵4cos cos 5E OCB =∠=, ∴25cos 8HE ME E ==. ∵4GE AG BC ===, ∴257488GM GE ME =-=-=. ∴725::4::32:7:2588AG GM ME ==. ②如图3所示:连接DE .∵OA=OC ,∠ABC=90°,∴BO=OA=OC ,∴∠OBC=∠OCB ,∵AE ∥BC ,∴∠CAE=∠ACB ,∠AGO=∠OBC ,∵CA=CE ,∴∠CAE=∠CAE ,∴∠AGB=∠AEC ,∴AD ∥CE ,∵DE ∥AC ,∴四边形OCED 是平行四边形,∴OD=CE=CA ,∵∠OAG=∠OGA ,∴OA=OG ,。

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