(2)a、b共同决定对称轴:抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是直线x=-b/2a
a、b同号(即ab>0,则-b/2a<0) 对称轴在y轴左侧
a、b异号(即ab<0,则-b/2a>0) 对称轴在y轴右侧
b=0 对称轴是y轴
(3)c决定抛物线与y轴的交点(与y轴交点的横坐标为0,即x=0,此时纵坐标y=c):
补充:|a|还可以决定开口大小,|a|越大开口就越小,|a|越小开口就越大
①当a>0时,开口向上,对称轴左侧(即x<-b/2a时),y随x增大而减小；对称轴右侧(x≥-b/2a),y随x增大而增大。当x=-b/2a时,有最小值y=4ac-b2/4a；
②当a<0时,开口向下,对称轴左侧(即x<-b/2a时),y随x增大而增大；对称轴右侧((x≥-b/2a)),y随x增大而减小。当x=-b/2a时,有最大值y=4ac-b2/4a。
鲁教版初四知识点
第一章 反比例函数
一、反比例函数
1.定义:一般地,形如 y＝k／x (k为常数,k≠0)的函数叫做反比例函数,其中x是自变量，y是x的函数,k是比例系数。若y=k/nx 此时比例系数为:k/n,如y=2/3x的比例系数为2/3
反比例函数的定义中需要注意什么？
(1)常数 k 称为比例系数,k是非零常数；
3.确定函数的解析式
一般地,在所给条件中已知顶点坐标时,可设顶点式y=a(x-h)2+k,在所给条件中已知抛物线与x轴两交点坐标或已知抛物线与x轴一交点坐标与对称轴，可设交点式y=(x-x1)(x-x2)；在所给的三个条件是任意三点时,可设一般式y=ax2+bx+c,然后组成三元一次方程组来求解。
三、二次函数的图像与性质
c>0 与y轴正半轴相交
c<0 与y轴负半轴相交
c=0 经过坐标原点(即x=0时,纵坐标y=c=0)
(4)Δ=b2-4ac确定抛物线与x轴交点的个数(联系一元二次方程):
b2-4ac>0 与x轴有两个交点
b2-4ac=0 与x轴有一个交点
b2-4ac<0 与x轴无交点
(5)抛物线y=ax2+bx+c在x轴上方,即函数y=ax2+bx+c(a≠0)的值永远是正值的条件是
（1）平行投影：
由平行光线（太阳的光线是平行光线）形成的投影。
（2）中心投影：
由同一点（点光源发出的光线）形成的投影。
（3）两者区别与联系：
区别：平行投影 平行的投射线物体与原物体全等
中心投光线的照射下，在某个平面内形成的影子。(即都是投影)
3.投影知识点：
(2)圆心角和圆周角:顶点在圆心上的角叫做圆心角。圆心角的度数与它所对的弧的度数相等。顶点在圆周上,且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角。
(3)弦心距:过圆心作弦的垂线,圆心与垂足之间的距离
(4)等弧:在同圆中能够重合的弧叫等弧
二、圆的对称性
1.圆是周对称图形,圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线,它有无数条对称轴。
(3)两锐角之间的关系:∠A＋∠B＝90°
(4)边角之间的关系:sinA=a/c,cosA=b/c,tanA=a/ b,cot=b/a
3.解直角三角形的原则
(1)有角先求角,无角先求边
(2)有斜用弦,无斜用切；宁乘毋除,取原避中。
这两句话的意思是:当已知或求解中有斜边时,就用正弦或余弦,无斜边时,就用正切或余切；当所求的元素既可用乘法又可用除法时,则用乘法,不用除法；既可以由已知数据又可由中间数据求解时,则用已知数据,尽量避免用中间数据。
(2)自变量x次数不是1,x 与 y 的积是非零常数；
(3)除 k、x 、y三项以外,不含其他项。
反比例函数自变量x的取值范围是不等于0的一切实数。
2.反比例函数的三种表现形式:(k为常数,k≠0)
(1)y＝k／x
(2)xy=k
(3)y=kx-1(即:y等于x的负一次方,此处x必须为一次方)
2.K的几何含义:
⑷把k的值代入反比例函数y＝k／x中
四、反比例函数的应用：
1.建立反比例函数模型 2.求出反比例函数解析式 3.结合函数解析式图像性质做出解答，特别要注意自变量的取值范围。
第二章 解直角三角形
一、锐角三角函数
在直角三角形ABC中,a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边,∠C为直角。则定义以下运算方式:
测量同一时刻物体的高度和影长时：
1两物体的高度之比等于影长之比时，则这两个物体的影子是平行投影。
②若两物体的高度之比不等于影长之比时，则这两个物体的影子是中心投影
4.投影的性质：
①将两个等高物体垂直于与地面放置时，离点光源较近的物体的影子较短，反之则越长。
②将两个等高物体平行于与地面放置时，离点光源较近的物体的影子较长，反之则越短。
4.解直角三角形的应用
(1)把实际问题转化成数学问题,这个转化包括两个方面:一是将实际问题的图形转化为几何图形,画出正确的示意图；二是将已知条件转化为示意图中的边、角或它们之间的关系；
(2)把数学问题转化成解直角三角形问题,如果示意图不是直角三角形,可添加适当的辅助线,画出直角三角形；
(3)仰角和俯角
二次函数的图象是抛物线,可用描点法画出二次函数的图象,是一个轴对称图形,对称轴是直线x=-b/2a
对于一般式y=ax2+bx+c(其中a,b,c是常数,a≠0),当x=-b/2a时,y最大或最小。即抛物线顶点坐标为(-b/2a,4ac-b2/4a)
(1)a决定开口方向:a>0 开口向上；a<0 开口向下
2.圆也是中心对称图形,它的对称中心就是圆心。一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度,都能与原来的图形重合。这是圆特有的一个性质:圆的旋转不变性
3.垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧
特别注意:平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧
垂径定理的逆定理:平分弦所对的两条弧的直线经过圆心,并且垂直平分弦
ax2叫做二次项,a为二次项系数,bx叫做一次项,b为一次项系数,c为常数项。
注意:二次函数的二次项系数不能为零。因为如果a为0,就没有二次项,也就谈不上什么二次函数!
2.三种表达式:
(1)一般式:y=ax2+bx+c(2)顶点式:y=a(x-h)2+k,对称轴x=h,顶点坐标是(h,k)
(3)交点式:y=(x-x1)(x-x2),与x轴两交点坐标为(x1,0)、(x2,0)
2.性质:
当k>0时,两支曲线分别位于第一、三象限内,在每一象限内,y的值随x值的增大而减小；
当k<0时,两支曲线分别位于第二、四象限内,在每一象限内,y的值随x值的增大而增大。
三、用待定系数法求反比例函数关系式的一般步骤：
1设所求的反比例函数y＝k／x⑵将已知条件代入得到关于k的方程⑶解方程求出k的值
垂径定理的推论:圆的两条平行弦所夹的弧相等
4.在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等所对的弦相等,所对的弦的弦心距相等
推论:在同圆或等圆中,如果①两个圆心角,②两条弧,③两条弦,④两条弦心距中,有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等
三、圆周角
1.顶点在圆周上,且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角
余弦cosα
正切tanα
30°
45°
60°
三.解直角三角形及其应用
1.解直角三角形的概念:
在直角三角形的六个元素中,除直角外,如果知道两个元素(其中至少有一个是边),就可以求出其余三个元素。
在直角三角形中,由已知元素求未知元素的过程,叫解直角三角形。
2.解直角三角形的依据:
(2)三边之间的关系:a2+b2=c2(勾股定理)
a>0且b2-4ac<0(开口向上且与x轴无交点)
(6)抛物线y=ax2+bx+c在x轴下方,即函数y=ax2+bx+c(a≠0)的值永远是负值的条件是
a<0且b2-4ac<0(开口向下且与x轴无交点)
同样自己可确定不论x取何值时,函数y=ax2+bx+c(a≠0)的值永远是非负数或非正数的条件
四、二次函数与一元二次方程
二次函数的图像与x轴的交点的横坐标就是一元二次方程的根,反之也成立。
第四章 投影与视图
一、投影：
1.光源
点光源：像手电筒、路灯、台灯都可以看成一个点光源。
平行光源：太阳光可以看成是一个平行光源
2.概念
定义：一般地，用光线照射物体，在某个平面（地面、墙壁等）上得到的影子叫做物体的投影，照射光线叫做投影线，投影所在的平面叫做投影面。
sin ∠A=∠A的对边长/斜边长，sin A记为∠A的正弦；sinA=a/c
cos∠ A=∠A的邻边长/斜边长，cos A记为∠A的余弦；cosA=b/c
tan∠ A=∠A的对边长/∠A的邻边长,tanA=sinA/cosA=a/ btan A记为∠A的正切
1.sin=对/斜 cos=邻/斜 tan=对/邻 2.sinA=cos(90°-A)
2.点与圆的位置关系有三种：点在圆外、点在圆上、点在圆内
(1)点在圆外，即这个点到圆心的距离大于半径；
(2)点在圆上，即这个点到圆心的距离等于半径；
(3)点在圆内，即这个点到圆心的距离小于半径。
3.圆的有关概念
(1)弧和弦:圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧。大于半圆的弧称为优弧,小于半圆的弧称为劣弧。连接圆上任意两点的线段叫做弦。圆中最长的弦为直径。
1）1-4-1型：6种①--⑥
2）2-3-1型：3种⑦--⑨
3）2-2-2型：1种⑩
4）3-3型：1种⑪