比例线段；黄金分割；平行线分三角形两边成比例
【本讲教育信息】
一. 教学内容：
第十九章相似形
第一节比例线段
第二节黄金分割
第三节平行线分三角形两边成比例
二. 教学目标：
1. 了解成比例线段的概念，会判断已知线段是否成比例。

2. 了解比例的性质，会运用比例的性质进行简单的比例变形。

3. 了解黄金分割。

4. 掌握平行线截三角形两边成比例定理。

三. 教学重点、难点：
平行线截三角形两边成比例定理
四. 教学过程：
（一）知识要点：
1. 线段的比：
一般地，用同一长度单位（如米或厘米或毫米）去度量线段a,b所得的量数分别为m,n，
那么这两条线段的比为a：b=m：n，或a
b
m
n
=，其中a叫比的前项，b叫比的后项。

注：①用同一长度单位去度量。

②两条线段的比和所选用的长度单位无关。

③两条线段的比总是正数。

2. 成比例线段：
在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。

如a
b
c
d
=（或a：b=c：d）中，a、b、c、d叫四条线段成比例线段。

a、b、c、d叫做
组成比例的项，线段a、d叫比例外项，线段b、c叫做比例内项，线段d叫做a、b、c的第四比例项。

3. 比例的性质：
（1）比例的基本性质：
如果a：b=c：d，那么ad=bc，反之，若ad=bc且bd≠0，那么a：b=c：d。

（2）合比性质：
如果a
b
c
d
=，那么
a b
b
c d
d
+
=
+。

（3）分比性质：
如果a
b
c
d
=，那么
a b
b
c d
d
-
=
-。

补充：等比性质： 若a b c d e f b d f ===+++≠…，且…，则0a c e b d f a b
++++++=……。

4. 黄金分割： 若点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，如果AC AB BC AC
=，那么称线段AB 被点C 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫黄金比，
A C A
B =-+152≈0.618。

注：黄金分割重在实际问题中的应用。

5. 平行线截三角形两边成比例定理：
平行于三角形一边的直线截其他两边，所得的对应线段成比例。

如图：△ABC 中，EF//BC ∴A E B E A F F C A E A B A F A C
==，，… A
B C E
F
【典型例题】
例1. 已知：A 、B 两地的实际距离AB=5000m ，而画在地图上A 、B 两点距离A ＇B ＇=5cm ，求该地图的比例尺（即图上距离与实际距离的比）。

解：A B mc m A B c m
===50005000005''
∴==A B A B ''55000001100000
∴该地图的比例尺为1：100000
例2. 已知：a ：：235
=，求a 。

解：∵a ：2=3：5
∴5a=6（比例的基本性质）
∴a =65 例3. 若a b b c
a c m c c m ===，且，43，求
b 。

解：∵a b b c
a c m c c m ===，且，43 ∴=∴=∴=±43
1223
2b b b b ∵b>0 ∴b c m
=23
例4. 证明分比性质。

证明：∵a b c d =
∴-=-a b c d 11 ∴-=-a b b c d d
例5. 证明等比性质。

证明：设a b c d e f k ====… ∴===a b k c d k e f k
，，…， ∴++++++=++++++=++++++=a c e b d f b k d k f k b d f b d f k b d f
k ………………()
∴++++++=a c e b d f a b ……
例6. 已知：
a b b -=57，求a b 。

解：∵a b b -=57
∴-+=+a b b b 577
∴=a b 127
例7. 已知：
a b c d a bc d =≠≠（其中，），求证：a b a b c d c d +-=+-。

证法一：∵a b c d = ∴+=+-=-ab b cd d ab b cd d
，
a b c d -≠-≠00，
∴+÷-=+÷-a b b a b b cd d cd d 即a b a b c d c d +-=+-
证法二：设a b c d k ==
∴a=bk ，c=dk
∵a ≠b ，c ≠d
∴k ≠1 ∴+-=+-=+-=+-ab ab b kb b kb b k b k k k ()()1111
cd cd d kd d kd d k d k k k +-=+-=+-=+-()()1111
∴+-=+-a b a b c d c d
例8. 已知：a b c d e f
bdf ===+-=57，且。

求：ace +-。

解： a b c d e f
===5 ∴==--=a b c d e f
5 ∴+-+-=a c e b d f
5 b d f +-=7
∴+-=a c e 7
5
∴+-=⨯=a c e 5735
例9. 已知：
x y z xyz x 234==++=，求?
解：∵x y z 234==
∴++++=x y z x 2342
∴++=x y z x 92
例10. 已知：如图，△ABC 中，DE//BC ，EF//AB ，求证：
AD DB BF FC =。

证明：在△ABC 中，
∵DE//BC ∴A D D B A E A C =
∵EF//AB ∴AE EC BF FC = ∴AD DB BF FC
= 小结：本周研究了成比例线段、黄金分割、平行线截三角形两边成比例定理，这些内容都是很好地研究后续课的基础。

【模拟试题】（答题时间：30分钟）
1. 求下列各式中的x ：
（1）x ：6=2：5
（2）1：x=2：7 （3）3：5=x ：4
（4）2：5=3：x 2. 已知：a b =53，则（1）a b b +=_________，（2）a b b
-=_________，（3）a b a b
+-=_________。

3. 已知：a b c d e f
===2，且ac e ++=5，则b d f ++=_________。

4. 已知：
=+-+-===f 3d b e 3c a 32f e d c b a ，则_________。

5. 已知：a b c a bc b
1232==+-=，则_________。

6. 已知：如图，△ABC 中，DE//BC ，AD=4，DB=3，AC=10。

求AE 、EC 。

A
B C D E
7. 已知：如图，△ABC 中，DE//AC ，DF//AB ，AE=2，BE=3，FC=3。

求AF 。

A
B C D
E F
【试题答案】
1. （1）x =125 （2）x =72 （3）x =125
（4）x =152 2. （1）83 （2）23
（3）4 3. 52
4. 23
5. 1
6. A E E C ==407307
，（提示：利用平行线截三角形两边成比例定理，有比例式AD DB AE EC
=，设AE=x ） 7. AF =92。