海浪谱分析—相关函数法一、 基本概念已经提出的海浪频谱很多，其中大部分是由观测到的波要素连同某些假定推导出来的，大部分则利用定点波面记录通过特殊的谱分析方法得到。

后一方法是目前得到海浪谱的主要手段。

在固定点连续记录到波面()t η，通常认为它是弱平稳的过程，其相关函数为：()()()[]τηητ+=t t E R （1.1）由已有理论可知此过程的单侧谱为()()dt e R S ti ωτπω-∞⎰=2（1.2）假定海浪为具有各态历经性的平稳随机过程，可利用过程中的现实（一次波面记录）的离散值n x x x ,...,,21计算相关函数()()()t R t Rm x x N t R N n n n ∆-=∆=-=∆∑-=+νννννννˆˆ,...,2,1,0,1ˆ1（1.3） 式中，N 为样本容量；ν-N 为乘积n n x x ν+的个数。

由此相关函数并参照式（1.2）可得谱的估计值为()()t t e t R S t i m ∆<∆∆=-=∑πωνπωων,ˆ2ˆ0（1.4）另一方面，我们定义谱密度函数()()221lim ˆωπωX TST ∞→=（1.5） 对于离散值，()t e x X t n i Nn n ∆=∆-=∑ωω1（1.6）代入式（1.5），t N T ∆=，可得()2121221ˆ∑∑=∆=∆∆=∆∆=Nn tn i n Nn tn i ne x N t t e x tN Sωωππω（1.7）当1=∆t 时，上式变为()πωπωω<=∑=，21121ˆNn ni n e x NS （1.8）而()()t S t S ∆∆=ωω1ˆˆ（1.9） 式（1.8）右侧称为周期图，它可通过对样本实行离散傅里叶变化得到。

因此估计谱通常有两种途径，其一通过相关函数，其二通过周期图。

在每一途径中又可采用不同的方法。

不管用何法，都要对实测记录取离散值，并进行中心化处理。

采样间隔的选取，非常重要。

在图（1.1）中，细线代表谱中圆频率为1ω的组成波，今按时间间隔t ∆读取波面值，连接这些离散值得粗线所示的圆频率为()12ωω<的波动。

容易推想，许多高频率的波动可表现为同一低频的波动。

设定义圆频率t N ∆=πω（1.10）则可证明频率,...4,2N N ωωωω±±的波动，由于离散化的结果均变现为频率()N ωωω<的波动。

设k r ,都是整数，t k t ∆=，则()t i r i ae ae Nωωωη==+2（1.11）图1.1折叠频率说明图这意味着利用波面记录离散值进行谱估计时，将使谱于频率间隔()()()(),...5,3,3,,,3,3,5...,N N N N N N N N ωωωωωωωω----内的能量都全部叠加到间隔()N N ωω,-内，这不仅使谱值的分布范围缩窄至频率范围()N N ωω,-内，而且得到的谱值不是真实的。

N ω称为Nyquist 圆频率或折叠圆频率，而()t f N N ∆==212πω（1.12）叫做Nyquist 频率或折叠频率（Folding frequency ）。

因此，估计谱的分布范围取决于t ∆的值。

事实上，海浪谱通常集中在较窄的频域内，通常可从记录中选择最短波的频率c f 作为谱估计的频率上界，把大于c f 的高频部分切去不计，故c f 叫做切割频率（Cut-off frequency ）。

选取t ∆时应使)c f t 21≤∆（1.13）海浪可视为随机过程，但可供使用的定点波形记录具有下列局限性：<1>记录次数是有限的；<2>记录长度是有限的；<3>计算时使用以一定间隔读取的波面数值。

理论上可证明，即使计算本身无误差，由此记录得到的结果并非谱的真值，而是对真值的某种估计，故为了说明估计值接近真值的程度，尚需利用一些统计上的特征量（偏度、方差、置信度等）加以描述。

二、 由相关函数估计频谱 2.1 计算相关函数设采样时距为t ∆，则式（1.3）的相关函数可改写成()()()mt t x t t x N t R N n n n ,...,2,1,0,11=∆=∆+-=∆∑-=νντνννν（2.1） 这样便得到()τR 的m +1个值，它们等间隔地分布着，并分别位于t m t t ∆∆∆=,...,2,,0τ。

2.2 估算谱粗值将式（2.1）代入前文公式以数值积分计算谱值。

由于折叠的影响，谱值系在N f f ~0=范围内进行计算。

等间隔地取m +1个频率N m f f f f f ==,...,,021。

我们的目的就是计算谱于这些频率所具有的值，令n L 代表频率n f 对应的粗谱值，得()()()t t f t R d R L nmntm n ∆∆∆==∑∑=∆=νπνπττωτπντ2cos 2cos 2（2.2） 如数值积分中采用梯形公式，谱值为()()()()()()m n tt m f t m R t f t R R L n m n n ,...,2,1,02cos 212cos 021211=∆⎥⎦⎤⎢⎣⎡∆∆+∆∆+=∑-=πνπνπν（2.3）此处采用的频率间隔为tm n f n f tm m f f N N ∆=∆=∆==∆2121（2.4） 代入式（2.3），得()()()()m n n t m R m n t R R t L m n ,...,2,1,0cos 21cos 021211=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∆+∆+∆=∑-=ππννπν（2.5） 2.3 谱的平滑以上估计出的谱值n L 是不精确的，由它们给出的谱曲线参差不齐。

因为样本容量N 是有限的，故式（2.1）计算相关函数时，对于小的ν，乘积的个数越多，从而()t R ∆ν的值较可靠；而对于大的ν，()t R ∆ν的可靠性较差。

为了改进精确度，可令不同的()t R ∆ν具有不同的权。

这种权函数的形式很多，其中一种常用的为()()⎪⎩⎪⎨⎧∆=>≤+=t m D m m m mττττττπττ,,0,cos 46.054.0（2.6）此权函数乘以式（2.2）中的()t R ∆ν，最后可得谱值()1123.054.023.0+-++=n n n n L L L S ω（2.7）对于两个端点频率，可取()()mm n L L S L L S 54.046.046.054.01100+=+=-ωω（2.8）另一种常用的权函数为()()⎪⎩⎪⎨⎧∆=>≤⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=t m D m m m m ττττττπττ,,0,cos 121（2.9） 同上，由此权函数可得谱值：()1125.050.025.0+-++=n n n n L L L S ω（2.10）对于两个端点频率，系数均为0.5.由上可见，此处所谓改进谱的质量，实际上是采用特定的系数，对谱的粗值进行平滑，而权函数()τD 称为延时窗，前者叫做哈明（Hamming ）窗，后者叫做哈宁（Hanning ）窗。

此权函数的傅里叶变换()()()ττπτd f D f Q 2cos ⎰∞∞-=（2.11）称为谱窗。

图2.1为由数值模拟方法得到的相关函数和谱的示例，估计谱时采用了哈明窗。

图2.1 由数值模拟得到的相关函数和谱2.4 确定置信度设,...,21X X 都是符合标准正态分布的随机变量，且0=ix m ，则22221...k X X X Y +++=的分布成2χ分布（具有k 个自由度）：()()()()212222221χχχ--⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡Γ⎪⎭⎫ ⎝⎛=ek f k k （2.12）又设平滑后的谱值为()f Sˆ，谱的真值为()f S ，已证明随机量()()f S f Sk ˆ遵从自由度为k 的2χ分布。

根据估计谱值的概率分布，可利用置信界限来表示估计值的可靠性。

设给定置信水平为β（以%表示），则可由2χ分布确定上界和下界，使估计值落入此界限内的概率为β。

设以()k 2χ代表()()f S f Sk ˆ，为了确定置信界限，我们依2χ分布求出两个正数a 和b ，使()()()()212122βχβχ-=≥-=≤b k P a k P （2.13） 从而()()βχ=≤≤b k a P 2式（2.13）中的a 和b 可利用已编制的2χ分布概率表查得。

上式可写为()()β=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛≤≤b f S f S k a P ˆ 或()()()β=⎪⎭⎫ ⎝⎛≤≤f S a k f S f S b k P ˆˆ（2.14）上式表明，对于给定的置信水平β，置信上上下界分别为()()()()f S ak f S f S bk f S ˆˆˆˆ21==（2.15）以上为频率f 对应的置信界限，各频率的置信界限构成置信带。

式（2.14）中的自由度k ，因使用的延时窗而异。

在海浪谱估计中，常使用Tukey 导出的结果，即⎪⎭⎫⎝⎛-=412m N k （2.16）采用与上式最接近的整数。

2.5 参量的选取谱估计涉及到一系列参量的选取，如样本长度t N t r ∆=，最大推移乘积个数m 等，它们的选取直接影响到谱的质量。

<1>理论上，样本越长，统计特征值越稳定，但其计算工作量较大。

另外，海浪并不是严格平稳的，记录时间太长可能会使平稳性受到影响。

一般对小的波浪，样本可短些；周期大的波浪，样本宜长些，通常可取10~20min ，波数不宜于100个。

Arhan 在北海北部连续测波22h45min ，把记录分成80段，每段长17min ，分析得各段的有效波高随时间的变化曲线，发现在波浪迅速成长时，如时段大于17min ，波浪不平稳。

Haver 在挪威沿海收集了384组波浪资料，每段长约17min ，发现有15~30%的时段不平稳。

故认为时段长于17min 是不可取的。

<2>如上文所述，t ∆的选取必须充分小，以避免折叠影响，同时t ∆过大时失去信息过多，会使估计得谱变形。

但如t ∆过小，增加样本容量，且所得序列数据相关性增大。

通常t ∆值应满足式（1.13）即)c f t 21≤∆（2.12） c f 为切割频率。

合田良实建议取()31201~101H T t =∆，即在一个有效波周期内采用10~20个样。

也有人建议取T t 12.0≤∆。

如由此估计所得谱在N f 附近的谱值明显地大于零，应缩小t ∆。

反之，如N f 远小于处的谱值已接近于零，可适当地加大t ∆。

<3>最大推移乘积个数m 对谱估计结果有相当影响。

估计谱的质量要用估计值()f Sˆ相对于真值()f S 的均方误差来度量，容易证明： ()()()()()[]f S D f b f S f S E ˆˆ22+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-（2.17） 此处偏差()()[]()f S f SE f b -=ˆ（2.18） 方差()[]()()[]()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=2ˆˆˆf S E f S E f S D （2.19） ()f b 表示估计值偏离真值得程度；()[]f SD ˆ表示估计值的离散程度，两者的值越小，表明谱估计结果的质量越高。