A2
1
A12
A22
A1n A2n
Am1 Am2 Amn
A a a 1 1 aa 22 a a n n
定义列阵
A 11
def
a1
A 21
A m1
A 11
a2
d ef
A 21
A m 1
A 1 n
a
n
def
A 2n
A mn
ajA 1j A 2j A m j T (j=1, ,n)
矩阵/定义与运算/定义
• 矩阵A的转置矩阵，记为AT
A11
def
A Aij
mn
def
A21
A12
A22
A1n A2n
Am1 Am2 Amn
例
1 3 2 4 5 A 2 4 3 6 3
4
1
4
2
6
35
2020/8/10 理论力学CAI 数学基础
A11
AT
d ef
Aji
a5
4 1 4 2 6
1 3 2 4 5
a12 a24 a33 a46 a53
4
1
4
2
6
2020/8/10 15
理论力学CAI 数学基础
矩阵/列阵
• 矩阵的行阵分块表达
分块阵转置运算关系
A11
A
A21
A12 A22
A1n A2n
Am1 Am2 Amn
b
T 1
A
b
T 2
b
T m
b1 b2 bm T
定义列阵的转置
b iT A i1 A i2 A in(i=1, ,m)
Ai1
bi
2020/8/10
Ai2
Ain
Ai1
Ai2
Ain T
(i=1, ,m)
16
理论力学CAI 数学基础
矩阵/列阵/行阵分块表达
A11
A
A21
A12 A22
A1n A2n
Am1 Am2 Amn
A b 1 b 2 b m T
bi A i1 A i2 A inT(i=1, ,m)
例
1 A2
3 4
2 3
4 6
53b b12T Tb1
b2
b3 T
4 1 4 2 6 b3T
定义列阵
1
3
b1
2
4
2
4
b2
3
6
4
1
b3
4
2
1 4
理论力学CAI 数学基础
矩阵/列阵/列阵分块表达
A11
A
A21
A12 A22
A1n A2n
Am1 Am2 Amn
A a 1 a 2 a n
ajA 1j A 2j A m j T(j=1, ,n)
例
定义列阵
1 A2
3 4
2 3
4 6
5 3a1
a2
a3
a4
9
矩阵/方阵
• 单位阵
1 0 0
In
I
d ef
0 0
1 0
0
1
例
A10
0 1
32
C AB
mn ms sn
I AI10
0 1
32
1 0 0
？
0 1 0
0 0 1
10
0 1
32 A
I IA
1 0
0 ？1
1 0
0 1
2 3
10
0 1
32 A
2020/8/10 理论力学CAI 数学基础
• 将 m×n 个标量 Aij 排列成 m 行， n 列的表，定义为 m×n 阶(维)矩阵
A11
def
A Aij
mn
def
A21
A12 A22
A1n A2n
Am1 Am2 Amn
• 用一黑斜体的大写字母来表示
– 无法区分黑白时可加下横线
A
2020/8/10 6
理论力学CAI 数学基础
例
0 3 2 A3 0 6
1 3 2 B 3 1 6
2
6
0
2
6
1
反对称阵
？反对称阵
0 3 2 0 3 2 AT 3 0 6 3 0 6 A
2 6
0
2 6 0
AAT
2020/8/10 12
理论力学CAI 数学基础
矩阵/列阵
列阵
• 列阵：只有一列（m个元素）的矩阵为 m × 1阶矩阵称为 m 阶 列阵
• 方阵的迹
• 对角阵
2020/8/10 理论力学CAI 数学基础
A11
def
A
Aij
n
def
A21
A12
A22
A1n A2n
An1 An2 Ann
n
trA AiiA11A22 Ann i1
A11
A
0 0
0 A22
0
0
A0nndedf iagA1(1,
A22,, Ann)
nm
def
A1 2
A1n
A2 1 A2 2
A2n
Am1 Am2
Am
n
1 2 4
3 4 1
A
T
2
3
4
4 6 2
5
3
6
53
7
矩阵/方阵
零矩阵
0 0 0
0
def
0
0
0
0 0 0
0 0
2020/8/10 8
理论力学CAI 数学基础
矩阵/方阵
方阵
• 方阵：m=n
2020/8/10 3
理论力学CAI 数学基础
矩阵
矩阵
• 矩阵的定义与运算 • 矩阵的导数
2020/8/10 4
理论力学CAI 数学基础
矩阵/定义与运算
矩阵的定义与运算
• 矩阵的定义 • 方阵 • 列阵 • 常见的矩阵运算
2020/8/10 5
理论力学CAI 数学基础
矩阵/定义与运算/定义
矩阵的定义
A
2
3
4
4 6 2
2020/8/10
5
3
6
5
3
6
17
理论力学CAI 数学基础
矩阵/定义与运算/常见的运算
常见的矩阵运算
同阶矩阵相等 矩阵与标量乘 同阶矩阵求和 矩阵乘
AB
CA
CAB CAB
2020/8/10 18
理论力学CAI 数学基础
矩阵/定义与运算/常见的运算
• 同阶矩阵相等
元素间的关系 Aij=Bij
理论力学 CAI 数学基础
• 前言
• 矩阵 • 矢量
矩阵
• 方向余弦阵
理论力学CAI 版权所有, 2000 (c)
第一部分
整体概述
THE FIRST PART OF THE OVERALL OVERVIEW, PLEASE SUMMARIZE THE CONTENT
矩阵
矩阵
• 矩阵的定义与运算 • 矩阵的导数
A IIA A ABBA
10
矩阵/方阵
• 对称阵：Aij=Aji (i, j=1,,n)
例
1 3 2
A 3 4 6
2
6
4
1 3 2
AT 3 4 6
2
6
4
A AT
2020/8/10 11
理论力学CAI 数学基础
矩阵/方阵
• 反对称阵： Aij= -Aji (i, j=1,,n) Aii= 0 (i=1,,n)
• 用一黑斜体的小写字母来表示
– 无法区分黑白时可加下横线
a
a 1
a
def
a2
am
a1
a2
am T
• m 阶列阵 a 的转置aT 为 1×m 阶矩阵称为 m 阶行阵
2020/8/10 理论力学CAI 数学基础
def
aTa1 a2 am
13
矩阵/列阵
• 矩阵的列阵分块表达
A11
A