01-02学年第二学期几何与代数期终考试试卷一（30%）填空题：1． 设(1,2)α=，(1,1)β=-，则Tαβ= ；Tαβ== ； 100()Tαβ= ；2． 设矩阵120031130A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，234056007B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则行列式1AB -= ；3． 若向量组123,,ααα线性无关，则当参数k 时，122331,,k αααααα---也线性无关；4． 矩阵1111011100110001A ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭的伴随矩阵*A =⎛⎫⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭； 5． 设矩阵A 及A E +均可逆，则1()G E A E -=-+，且1G-= ；6． 与向量(1,0,1)α=，(1,1,1)β=均正交的单位向量为 ；7． 四点(1,1,1),(1,1,),(2,1,1),(2,,3)A B x C D y 共面的充要条件为 ；8． 设实二次型22212312323(,,)2f x x x x kx x x x =+++，则当k 满足条件 时，123(,,)1f x x x =是椭球面；当k 满足条件 时，123(,,)1f x x x =是柱面。

二（8%）记1π为由曲线23z y x ⎧=-⎨=⎩绕z -轴旋转所产生的旋转曲面,2π为以1π与平面3:1x y z π++=的交线为准线，母线平行于z -轴的柱面。

试给出曲面12ππ及的方程，并画出13ππ被所截有界部分在x y -平面上的投影区域的草图（应标明区域边界与坐标轴的交点）。

三（8%）求经过直线2221x y z x y z +-=⎧⎨-+-=⎩且与x y -平面垂直的平面方程.四（12%）求矩阵方程2XA X B =+的解，其中，311101010,321003A B ⎛⎫-⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪-⎝⎭ ⎪⎝⎭.五（12%）设线性方程组12341234234123403552232(3)1x x x x x x x x x px x q x x x p x +++=⎧⎪+++=⎪⎨-+-=⎪⎪++++=-⎩1． 问：当参数,p q 满足什么条件时，方程组无解、有唯一解、有无穷多解？ 2． 当方程组有无穷多解时，求出其通解。

六（12%）设矩阵11113120132A k ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭，已知()2A =秩。

1． 求参数k 的值；2． 求一42,,()2;B AB O B ⨯==矩阵使得且秩3． 问：是否存在秩大于2的矩阵M 使得O AM =？为什么？ 七（12%）设实对称矩阵001100.1001A k B l ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭与相似1． 求参数,k l 的值；2． 求一正交阵,.TQ Q AQ B =使得八（6%）已知n 阶方阵A 相似于对角阵，并且，A 的特征向量均是矩阵B 的特征向量。

证明：AB BA =。

02-03学年第二学期几何与代数期终考试试卷一． 填空题、单选题（每小题３分，共３６分）1．[]2002105132⎧⎫⎡⎤⎪⎪⎢⎥-=⎨⎬⎢⎥⎪⎪⎢⎥⎣⎦⎩⎭⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭； 2．1230110002-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭； 3．若A 是正交矩阵，则行列式3T A A = ；4．空间四点(1,1,1)A ，(2,3,4)B ，(1,2,)C k ，(1,4,9)D -共面的充要条件是k = ； 5．点(2,1,1)P -到直线11:221x y z l -+==- 的距离为 ；6．若４阶方阵A 的秩为２，则伴随矩阵A *的秩为 ；7．若可逆矩阵P 使AP PB =，1203B -⎛⎫=⎪⎝⎭，则方阵A 的特征多项式为 ；8．若３阶方阵A 使,2,3I A I A A I --+都不可逆，则A 与对角阵 相似（其中，I 是３阶单位阵）；9．若0111120A x y ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭与对角阵相合，则(,)x y = ； 10．设()1234,,,A A A A A =，其中列向量124,,AA A 线性无关，31242A A A A =-+，则齐次线性方程组0Ax =的一个基础解系是 ；11．设,A B 都是３阶方阵，AB O =，()()2r A r B -=，则()()r A r B +=（ ） （Ａ）5； （Ｂ）4； （Ｃ）3； （Ｄ）212．设n 阶矩阵A 满足22A A =，则以下结论中未必成立的是（ ）（Ａ）A I -可逆，且1()A I A I --=-；（Ｂ）A O =或2A I =；（Ｃ）若2不是A 的特征值，则A O =；（Ｄ）0A =或2A I =。

二． 计算题（每小题8分，共24分）13．2015110112313012-14．求直线211:212x y z l --+==在平面:210x y z π+-+= 上的垂直投影直线方程． 15．设XA AB X =+，其中102020101A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，101B -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，求99X ．三． 计算题、解答题（三小题共３２分） 16．设向量组12311222115,,,101302a b αααβ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭123(,,)V L ααα=是123,,ααα生成的空间．已知()2V =维，V β∈．（１） 求,a b ；（２） 求V 的一个基，并求β在此基下的坐标； （３） 求V 的一个标准正交基． 17．用正交变换化简二次曲面方程22121213234221x x x x x x x x +---=求出正交变换和标准形）并指出曲面类型．18．设D 为由yoz 平面中的直线0z =，直线,(0)z y y =≥及抛物线22y z +=围成的平面区域．将D绕y 轴旋转一周得旋转体Ω．（１）画出平面区域D 的图形；（２）分别写出围成Ω的两块曲面12,S S 的方程；（３）求12,S S 的交线l 在zox 平面上的投影曲线C 的方程；（４）画出12,S S 和l ，C 的图形．四． 证明题、解答题（每小题４分，共８分）19．设η是线性方程组Ax b =的一个解，0b ≠，12,ξξ是导出组0Ax =的基础解系．证明：12,,ηξηξη++线性无关．20．设α是３维非零实列向量，α=T=．（１）求A的秩；（２）求A的全部特征值；Aαα（３）问A是否与对角阵相似？（４）求3-．I A0３-0４学年第二学期几何与代数期终考试试卷一． （24%）填空题1．若向量i a j k α=+-u rr r r ，bi j k β=++u r r r r，k =γ共面，则参数b a ,满足 .2．过点)1,2,1(P 且包含x 轴的平面方程为 .3．已知矩阵A 满足O I A A =-+322，则A 的逆矩阵1-A = .4．设矩阵120031130A ⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭，234056007B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则行列式=-12B A .5．设向量组1231312,2,311k ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则当k 时，123,,ααα线性相关.6．向量空间2R 中向量)3,2(=η在2R 的基)1,1(=α，)1,0(=β下的坐标为 .7．满足下述三个条件的一个向量组为 ，这三个条件是：①它是线性无关的；②其中的每个向量均与向量()121=α正交；③凡与α正交的向量均可由它们线性表示.8．已知22⨯矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=d b c a A ，若对任意2维列向量η有0=ηηA T ，则d c b a ,,,满足条件 . 二．（12%）假设矩阵B A ,满足AB B A =-，其中⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=021021020A .求B .三．（15%）设向量()Ta1021=α，()T 5122-=α，()T 4213-=α，()T c b 1=β. 问：当参数c b a ,,满足什么条件时1．β能用321,,ααα唯一线性表示？ 2．β不能用321,,ααα线性表示？3．β能用321,,ααα线性表示，但表示法不唯一？求这时β用321,,ααα线性表示的一般表达式. 四．（8%）设实二次型ayz axy z y x z y x f 22),,(222++++=问：实数a 满足什么条件时，方程1),,(=z y x f 表示直角坐标系中的椭球面？五．（12%）设3阶方阵A 的特征值为2，2-，1，矩阵I aA aA B +-=43。

1． 求参数a 的值，使得矩阵B 不可逆；2． 问：矩阵B 是否相似于对角阵？请说明你的理由. 六．（12%）已知二次曲面1S 的方程为：223y x z +=，2S 的方程为：21x z -=。

1． 问：1S ，2S 分别是哪种类型的二次曲面？ 2． 求1S 与2S 的交线在xOy 平面上的投影曲线方程； 3． 画出由1S 及2S 所围成的立体的草图.七．（10%）假设33⨯实对称矩阵A 的秩为2，并且C AB =，其中⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=110011B ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=110011C 。

求A 的所有特征值及相应的特征向量；并求矩阵A 及9999A .八．（7%）证明题：1． 设t ηηη,,,21Λ是齐次线性方程组θ=Ax 的线性无关的解向量，β不是其解向量。

证明：t ηβηβηββ+++,,,,21Λ也线性无关.2． 设A 是n 阶正定矩阵，证明：1>+A I .04-05学年第二学期几何与代数期终考试试卷一、 (24%)填空题1． 以(1,1,2)A ，(2,1,1)B --，(1,1,1)C --为顶点的三角形的面积为 ；2． 设3阶矩阵123(,,)A ααα=，23131(,2,)B ααααα=+-。

若A 的行列式3A =，则B 的行列式B = ；3． 若向量(1,0,1)α=，(2,1,1)β=-，(1,1,)k γ=-共面，则参数k = ；4． 若A 为n 阶方阵，则方阵2I O B A I ⎛⎫= ⎪⎝⎭的逆矩阵1B -= ；5． 已知向量111η⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭是矩阵11201122a A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭的特征向量，则参数a = ，相应的特征值等于 ；6． 假设矩阵1000A ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则在实矩阵11001110,,,,11021101B C D E ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1300F ⎛⎫= ⎪⎝⎭中，与A 相抵的有 ；与A 相似的有 ；与A 相合的有 ．二、 （8%）计算行列式121111x x x x x x xx xx ．三、 （10%）假设200110102A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，121210B -⎛⎫= ⎪-⎝⎭，求矩阵方程3XB XA =+的解．四、 （14%）假设矩阵1101011A λλλ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭，000θ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，11a b ⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭．1． 已知齐次线性方程组Ax θ=的基础解系中有两个线性无关的解向量．试确定这时参数λ的值，并求这时Ax θ=的一个基础解系．2． 若在非齐次线性方程组Ax b =的解集中，存在两个线性无关的解向量，但不存在更多的线性无关的解向量，试确定这时参数λ及a 的值，并求Ax b =的通解．五、 （10%）已知直线l 过点(1,1,1)P ，与平面:1x y z π+-=平行，且与直线1121xy z λ- ==： 相交。