湖北省襄阳市四校2013-2014学年下学期高二年级期中联考数学试卷（理科）一选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 30<<x 是21<-x 成立的 （ ）A 、充分不必要条件B 、必要不充分条件C 、充要条件D 、既不充分也不必要条件2.已知三点)143()152()314(--，，、，，、，，λC B A 满足⊥，则λ的值 ( )A 、14B 、-14C 、7D 、-73.在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度)(m h 与起跳后的时间t )(s 存在函数关系105.69.4)(2++-=t t t h ，则瞬时速度为0s m /的时刻是 （ ）A 、s 9865B 、s 4965C 、s 6598D 、s 6549 4、由变量x 与y 相对应的一组数据)11y ，（、)5(2y ，、)7(3y ，、)13(4y ，、)19(5y ，得到的线性回归方程为452+=∧x y ，则=y （ ）A 、135B 、90C 、67D 、63 5.若椭圆经过原点，且焦点分别为），，（），，（301021F F 则该椭圆的短轴长为 （ ） A 、3 B 、32 C 、2 D 、46.给定命题p :{x x ∈∀x 是无理数}.，2x 是无理数；命题q :已知非零向量、，则“⊥+=.则下列各命题中，假命题是 ( )A 、p q ∨B 、()p q ⌝∨C 、()p q ⌝∧D 、()()p q ⌝∧⌝7.已知函数x bx x a x f 2cos )(2-+=，若0)(0='x f 则=-')(0x f （ ）A 、0B 、a 2C 、b 2D 、22-8.已知双曲线13222=-y x 的左右焦点分别是21F F 、,过1F 的直线l 与双曲线相交于A 、 B 两点，则满足23=AB 的直线l 有 ( )A 、1条B 、2条C 、3条D 、4条9.如图所示，在四棱锥ABCD S -中，底面ABCD 是直角梯形，AB ⊥AD ， AB ⊥BC ，侧棱SA ⊥底面ABCD ，且1,2====AD BC AB SA ，则点B 到平面SCD 的距离为（ ）A 、58B 、22C 、15152D 、362 10.过椭圆)1(1222>=+a y ax 的右焦点F 作相互垂直的两条弦AB 和CD ，若||||CD AB + 的最小值为32，则椭圆的离心率=e （ ）A 、33B 、36C 、22D 、66 第Ⅱ卷（非选择题，共100分）二、填空题：(本大题共5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡上)11.命题“若A b A a ∉∈，则”的否命题是 ▲12.在正三棱柱111C B A ABC -中，各棱长均相等，C B BC 11与的交点为D ，则AD 与平面C C BB 11所成角的大小是 ▲13.若曲线x y =在点)(a a P ，处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为2，则实数a的值是____▲____14．已知，，x xe x g m x x f =+--=)()1()(2若R x x ∈∃21，,使得)()(21x g x f ≥成立，则实数m 的取值范围是__▲___15.抛物线)0(22>=p px y 的焦点为F ，其准线经过双曲线12222=-b y a x 0(>a ，)0>b 的左顶点，点M 为这两条曲线的一个交点，且p MF 2=，则双曲线的渐近线的方程为____▲____．三、解答题：本大题共6个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤16.（本小题满分12分）已知命题)3)(1()3()1(22m m y m x m p --=-+-：方程表示的曲线是双曲线；命题：q 函数mx x x f -=3)(在区间(]1-∞-，上为增函数，若“p ∨q ”为真命题，“p ∧q ”为假命题，求实数m 的取值范围.17．（本小题满分12分） 已知椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 的左、右焦点分别为21F F 和,离心率22=e ，连接椭圆的四个顶点所得四边形的面积为24.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设B A 、是直线22=x l ：上的不同两点，若021=⋅BF ,求AB 的最小值.18. （本小题满分12分）如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 为矩形，PCD ∆ 为等边三角形，AB BC 2=，点M 为BC 中点，平面⊥PCD 平面ABCD .（1）求异面直线PD 和AM 所成角的余弦值；（2）求二面角D AM P --的大小.19. （本小题满分12分）已知()f x '是()f x 的导函数，()ln(1)2(1),f x x m f m R '=++-∈，且函数()f x 的图象过点)20(-，.（1）求函数()y f x =的表达式；（2）求函数16)()(+++=x x x f x g 的单调区间和极值. 20.（本小题满分13分） 已知定点F )02(，与分别在x 轴、y 轴上的动点)0()0(n N m M ，、，满足：0=⋅,动点P 满足=．（1）求动点P 的轨迹的方程；（2）设过点F 任作一直线与点P 的轨迹交于B A 、两点，直线OB OA 、与直线2-=x l ：分别交于点T S 、（O 为坐标原点）；（i ）试判断直线2-=x l ：与以AB 为直径的圆的位置关系；（ii ）探究FT FS ⋅是否为定值？并证明你的结论．21.（本小题满分14分）已知函数1ln )(+=x x x f（1）求函数)(x f 在][22e e x ，-∈上的最大值与最小值；（2）若1>x 时，函数)(x f y =的图像恒在直线kx y =上方，求实数k 的取值范围；（3）证明：当*∈N n 时，11413121)1ln(+++++>+n n ．“p ∨q ”为真命题，“p ∧q ”为假命题，∴q p 、一真一假。

………6分若假真q p ，则⎩⎨⎧>><331m m m 或解得：3>m ………………………………8分若真假q p ，则⎩⎨⎧≤≤≤331m m 解得：31≤≤m …………………………………10分 综上所述，满足条件的实数m 的取值范围是[)∞+，1 ……………………………12分（ 注： 若答案写为[)()∞+⋃，33,1，则扣2分。

）17．解：（1）由题意得：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=⨯⨯=+===24)2()2(2122222b a S c b a a c e …………………………2分 解得：⎪⎩⎪⎨⎧===222c b a ………4分 所以椭圆的标准方程为：12422=+y x …………5分 （2）由（1）知，21F F 、的坐标分别为）（、，0,2)02(21F F -，设直线22=x l ：上的不同两点B A 、的坐标分别为)22()2221y B y A ，、，（，则)23(11y AF --=，、 )2(22y BF --=， ,由021=⋅BF AF 得0621=+y y ， …………………………8分即126y y -=，不妨设01>y ，则6261121≥+=-=y y y y AB ， ………11分 当6621-==y y 、时取等号，所以AB 的最小值是62 ………………12分18.解：取CD 的中点O ，连接OP ， PCD ∆为等边三角形，∴CD OP ⊥，又平面⊥PCD 平面ABCD ，∴ABCD OP 平面⊥ ……………2分以O 为原点，过点O 垂直CD 的直线为x 轴，OC 为y 轴，OP 为z 轴建立如图所示的空间直角坐标系xyz O -. AB BC 2=，不妨设222==BC AB 则,依题意可得：），，，，，，，，，0,12()300()010()0,122(M P D A -- …3分 （1）)022()310，，，，，（-=--=AM PD ,从而 2-=⋅62==∴66622cos -=⨯-=>=< ……5分 于是异面直线PD 和AM 所成角的余弦值为66.………………………………6分19.解：（1）11)(+='x x f ， ∴21)1(='f ， ………………………………3分函数)(x f 的图象过点()20-，，∴2121ln 2⨯-+=-m ，解得：1-=m ∴函数的表达式为： 21ln(-+=）x y ……………………………………5分 （2）函数)(x g 的定义域为)1(∞+-，，22)1()1)(4()1(6111)(+-+=+-++='x x x x x x g ………………………………………7分 ∴当11<<-x 时，0)(<'x g ；当1>x 时，0)(>'x g …………………9分∴函数)(x g 的单调减区间为），（11-，单调增区间为），（∞+1 ………………11分 极小值是2ln 2)1(+=g ，无极大值. …………………………………………12分（2）由（1）知动点P 的轨迹是以)02(，F 为焦点，2-=x l ：为准线的抛物线,设直线AB 的方程为2+=ty x ；点B A 、的坐标分别为))2211y x B y x A ，（、，（.(ii)由⎩⎨⎧=+=xy ty x 822得01682=--ty y ， 1621-=∴y y ………………10分 OA 的方程为x x y y 11=，即x y y 18=由⎪⎩⎪⎨⎧=-=xy y x 182得点S 的坐标为)162(1y S --，，同理可得点T 的坐标为)162(2y T --，， ………………………11分 )164)164(21y FT y FS --=--=∴，（，， 于是01616161616161621=-⨯+=⨯+=⋅y y ……………………………12分 因此FT FS ⋅为定值，且定值为0. ………………………………13分21.解：（1）定义域为)0(∞+，，且1ln )(+='x x f ， ………………………1分 当[]12--∈e e x ，时，0)(<'x f ，当[]21e e x ，-∈时，0)(>'x f ∴)(x f 在[]12--∈e e x ，为为减函数；在[]21e e x ，-∈上为增函数，………………3分∴，11min 1)()(---==e e f x f ……………………………4分{}2222max 21)()(),(max )(e e f e f e f x f +===- ………………5分（3）证明：由（2）知当()+∞∈,1x 时，x x x >+1ln x x 11ln ->⇔ ………11分 令n n x 1+=，则111ln +->+n n n n ，化简得11ln )1ln(+>-+n n n ………13分 ∴11ln )1ln(312ln 3ln ,211ln 2ln +>-+>->-n n n ，， 1ln 1ln 2ln )1ln(ln ln )1ln()1ln(+-++--+-+=+∴）（）（）（ n n n n n 21111++++= n n 即11413121)1ln(+++++>+n n ……………………………………14分。