M/M/N模型应用 模型应用
一个大型露天矿山,考虑修建矿山卸位的个数,问题是建一个还是两个.估 计运矿石的车将按Poission 流到达,平均每小时到15辆,卸矿石时间服从指 数分布,平均每3分卸一辆.又知每辆运送矿石的卡车售价是8万元,修建一 个卸位的投资是14万元. 利用排队论知识,从投资成本和时间两方面考虑建一个还是两个卸位好, 给投资人提出你的建议. ŋk= η0 (λ/µ )k/k! , k <N ŋk= η0 (λ/µ )k/N!N(k-N) ,k ≧ N 系统中的平均顾客数量q=Nρ+ ρη0 (Nρ)N/N!(1-ρ)2 一个顾客在队列中等待的概率，亦即所有服务器都忙的拥塞概率， 一个顾客在队列中等待的概率，亦即所有服务器都忙的拥塞概率，可以 如下表示： 如下表示： P[排列 排列]= η0 (Nρ)N/N!(1-ρ) 排列 其中η0的表达式如下：
点来规定一个新的随1，2，…）是第n个顾客服务完成离开系统的时间点，令Xn是在 时间点tn系统中的顾客数量，即 Xn=Q（tn） n=1，2， 则随机过程｛Xn，n=1，2，…｝是一个离散时间的马尔可夫链。从而可以得 到的公式：
2.单服务员队列公式表 单服务员队列公式表
6.排队论中使用的数学符号及意义 排队论中使用的数学符号及意义
课堂练习
练习1:用M/M/N模型的另一套公式计算上一节的例子: 在一个工程公司，10个工程师每人都有一台PC，这些机器通 过LAN连到两个图形工作站进行分析和设计工作。在一天8小 时中，10个工程师将使用工作站，每次使用平均花费30分钟。 队列的模型为 M／M／2。求 ： （1） 两个服务都忙的概率 （2）每个工程师等待使用工作站的平均时间Tw （3） 在90％时间里的平均等待时间mTw（90）(用M/M/N公式) （4） 平均在等待的工程师数量：
结论: 在利用率和平均服务时间相同的情况下,服务时间服从指数分布的排 队模型中系统中顾客花费的平均时间最长,服务时间服从常数分布的排队模 型中系统中顾客花费的平均时间最短,服务时间服从一般分布的排队模型中 系统中顾客时间界于两者之间.
5.排队论在计算机系统性能评价中应用 排队论在计算机系统性能评价中应用
3.利用率与平均队列长度的关系 利用率与平均队列长度的关系
结论: 在利用率相同的情况下,服务时间服从指数分布的排队模型中系 统中逗留的平均顾客最多,服务时间服从常数分布的排队模型中系统中 逗留的平均顾客最少,服务时间服从一般分布的排队模型中系统中逗留 的平均顾客界于两者之间.
4. 利用率平均排队时间的关系
排队论部分思考问题
1.叙述随机过程如何在排队论中应用。 2.学习排队论和相关例题后，现在，假如让你 进行计算机和网络设计，你从这些例子中得 到那些经验？
题为书中p72习题 习题) 第一次作业(1.2题为书中 习题 题为书中
1 一个商店的经理观测到，平均每小时18个顾客到达，典型情况有8个顾 客在商店，每一个顾客在商店花费的平均时间是多少？ 2 到达国际电话交换局的顾客假定为泊松到达，到达间隔时间为18分钟。 当到达非常大的排队室时，顾客被给定一个顺序号并遵循FCFS规则。通话 的长度假设为指数分布且均值为7分钟。求解以下问题： （a）一个呼叫到达交换局后不得不等待的概率？ （b）排队室中的等待顾客的平均队长？ （C）系统中的顾客（包括等待的和正在接受服务的）超过5个人的概率？ （d）等待的顾客必须等待超过10分钟的概率？ （e）如果一个顾客等待的平均时间至少是7分钟，那么电讯公司将安排 第二部电话，问顾客到达速率必须增加到多少才能说明安排第二部电话是 合理的？
第5讲 讲
排队论在计算机系统 性能评价中的应用(2) 性能评价中的应用
1. M/G/1排队模型 排队模型
现在考虑这样的单服务员队列系统：到达过程为泊松过程，平均到达速 率为λ；服务员的服务时间是任意的独立同分布的随机变量，其均值为 Ts=1／µ，均方差为σTs。顾客根据它们到达的顺序被调度服务，即服务规 则为FCFS。这样的系统是M／G／1队列系统。 作为M/G/1系统的一个特例，如果服务员的服务时间服从参数为µ的 指数分布，那么就得到了M／M／1队列系统。如果服务时间假设为常数分 布，那么就可以得到 M／D／l队列系统。 令Q（t）是在时间t系统中顾客的数量（队列中等待的加上正在接受 服务的），如果Q（t）≥ 1，那么有顾客正接受服务。由于一般服务规则 不一定具有无记忆性，因此为了预测系统未来的行为，除了Q（t），还需 要知道顾客接受服务所花费的时间信息。在这种情况下，随机过程 {Q（t），t≥ 0}则不是一个马尔可夫链。 为了简化状态描述，我们在顾客离开系统的时间点对系统进行过程采 样。这些离开系统的时间点叫做再生点（regeneration points），我们用再生
书中p67 例 数据库服务器(书中 例3.2.5) 书中
一个 LAN有 100个 PC和一个服务器，服务器上有一个 公用查询数据库。服务器响应一个查询的平均时间是0．6 秒，标准差估计等于均值。在最忙的时段里，查询速率达 到每分钟 20次。回答如下问题： （1）如果线路开销忽略不记，求系统的平均响应时间。 （2）如果顾客 可以接受的最大响应时间为1．5秒，求 在最大值达到前，信息负载中还可以增长的百分比。 （3）如果利用率增长20％，则响应时间的增长是高于 还是低于20％？
课堂练习
练习3: 某电话亭有一部电话，来打电话的顾客服从 泊松分布，相继两个人到达间的平均时间为10min， 通话时间服从指数分布，平均数为3min，求： （1）顾客到达电话亭要等待的概率； （2）等待打电话的平均顾客数； （3）当一个顾客至少要等3min才能打电话时，电 话局打算增设一台电话机，问到达速度增加到多少 时，装第二台电话机才是合理的？ （4）打一次电话要等10min以上的概率是多少？ （5）第二台电话机安装后，顾客的平均等待时间？
第一次作业
3.某自行车修理店只有一个修理工，来修理的顾客到达过程为Poission 流，平均4人/小时；修理时间服从负指数分布，平均需要12分钟。试求： （1）修理店空闲的概率； （2）店内恰有三个顾客的概率 2 （3）店内至少有一个顾客的概率 （4）在店内的平均顾客数 （5）每位顾客在店内的平均逗留时间 （6）等待服务的平均顾客数 （7）每位顾客平均等待服务时间 （ 8）顾客在店内等待时间超过15分钟的概率