函数及其图象易错点1：求函数自变量取值范围时注意：①二次根式中被开方数为非负数；②分式中分母不等于零；零指数幂中底数不等于零.易错题：使函数y＝1(1)(2)x x-+有意义的自变量x的取值范围是_____________.错解：x＞﹣2正解：x＞﹣2且x≠1赏析：本题错误的原因是对分式中分母不为零的条件没有考虑全面，分式中分母不为零的条件应是x≠﹣2且x≠1.本题中的函数应满足被开方数为非负数且分母不为零这两个条件，同时要与不等式的解集综合求解.易错点2：在函数解析式中混淆各个待定系数表示的意义，如一次函数y＝kx+b（k≠0）中的k、b；二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）中的a、b、c.易错题：在一次函数y＝（2－k）x＋1中，y随x的增大而减小，则k的取值范围是_________.错解：k＞0正解：k＞2赏析：错误的原因是以为﹣k是一次项的系数，由﹣k＜0得到错解.本题中一次项系数应是2－k，由2－k＜0得到正解.易错点3：用待定系数法求函数解析式时由条件建立错误从而使求解不正确.易错题：将直线y＝﹣3x－4向左平移2个单位长度后，其解析式为___________________.错解：y＝﹣3x－6正解：y＝﹣3x－10赏析：本题可设平移后函数解析式为y＝kx+b，由平移中平行的关系可得k＝﹣3,错误的原因是由向左平移2个单位长度得到错误条件直线过点（﹣2,0），代入解析式从而求得错解.正确的解法是：先由平行得k＝﹣3，再由直线y＝﹣3x－4过点（0，﹣4），将此点向左平移2个单位长度得到点（﹣2，﹣4），再把点（﹣2，﹣4）及k＝﹣3代入所设解析式从而求得正解.易错点4：利用图象求不等式（组）的解集与方程（组）的解时，混淆函数图象的增减性与解（解集）的关系.易错题：已知一次函数y1＝kx＋b与反比例函数y2＝mx（m≠0）的图象相交于A、B两点，其横坐标分别是﹣1和3，当y1＞y2时，自变量x的取值范围是……………………（）A.x＜﹣1或0＜x＜3B.﹣1＜x＜0或0＜x＜3C.﹣1＜x＜0或x＞3D.0＜x＜3错解：D正解：A赏析：错解的原因是对函数图象及其增减性的分析理解不够透彻，没有完全弄清楚图象增减性与不等式解集的关系，从而漏掉x的一部分取值范围.正确的解法是：由题目条件，画出两个函数的大致图象，如图：2以交点A、B及原点O为界，把两个函数图象各分成四个部分，从左到右每部分图象所对应的自变量取值范围依次是：①A点左侧：x＜﹣1；②点A与原点O之间：﹣1＜x＜0；③原点O与B点之间：0＜x＜3；④B点右侧：x＞3.每部分中位于上方的图象所对应的函数值较大，因此，由y1＞y2可得，自变量x的取值范围是x＜﹣1或0＜x＜3.易错点5：二次函数y＝ax2+bx+c(a≠0)的位置与a，b，c的关系.易错题：已知二次函数y＝ax2+bx+c(a≠0)的图象如图，则下列说法：①c＝0；②该抛物线的对称轴是直线x＝﹣1；③当x＝1时，y＝2a；④am2＋bm＋a＞0（m≠﹣1）.其中正确的个数是……………………………………………………………………………………（ ）A.1B.2C.3D.4-2Oyx错解：B 正解：C赏析：本题错解的主要原因是不能很好地利用对称轴进行化简变形，没有理解最值的意义，从而对③、④判断错误.正确的解法是：由图象得抛物线与y 轴交点为原点O ，把（0,0）代入得c ＝0，∴①正确；由抛物线与x 轴交点为（﹣2,0）和（0,0）可得对称轴是直线x＝202-+＝﹣1，∴②正确；当x ＝1时，代入解析式得y ＝a +b +c ，又由对称轴是直线x ＝﹣1，得2ba-＝﹣1，∴b ＝2a ，又c ＝0，∴代入得y ＝3a ，∴③错误；当x ＝m 时，代入得y ＝am 2+bm +c ,当x ＝﹣1时，代入得y ＝a －b +c ,又x ＝﹣1时，函数有最小值，∴a －b +c ＜am 2+bm +c ,∴a －b ＜am 2+bm ，又b ＝2a ，∴a －2a ＜am 2+bm ，∴am 2＋bm ＋a ＞0，∴④正确.故选项C 正确.易错点6：利用函数图表求解问题时易从中获取出错错误信息；利用函数模型求解问题是注意结果要符合实际.易错题：科学家为了推测最适合某种珍奇植物生长的温度，将这种植物分别放在不同温度的环境中，经过一定时间后，测试出这种植物高度的增长情况，部分数据如表：温度t /℃ ﹣4﹣214植物高度增长量l /mm4149494625科学家经过猜想、推测出l 与t 之间是二次函数关系.由此可以推测最适合这种植物生长的温度为______________℃.错解：﹣2～0正解：﹣1赏析：错误的原因可能是由表格中的数据信息直接得出错解，而没有认真审题，没有仔细观察分析图表信息.正确的解法是：先设l＝at2+bt+c，再任选三点代入求得解析式l＝﹣t2－2t+49,可化为顶点式l＝﹣(t＋1)2＋50，当t＝﹣1时，l最大值＝50，故填﹣1.易错点7：实际问题中函数自变量取值范围与最值问题.易错题：经统计分析，某市跨河大桥上的车流速度v（千米/小时）是车流密度x(辆/千米)的函数，当桥上的车流密度达到220辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0千米/小时；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为80千米/小时.研究表明：当20≤x≤220时，车流速度v是车流密度x的一次函数.（1）求大桥上车流密度为100辆/千米时的车流速度；（2）在交通高峰时段，为使大桥上的车流速度大于40千米/小时且小于60千米/小时时，应控制大桥上的车流密度在什么范围内？（3）车流量（辆/小时）是单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，即：车流量＝车流速度×车流密度.求大桥上车流量y的最大值.错解：（1）设v＝kx＋b，把点（220，0）和（20，80）代入得2200 2080k bk b+=⎧⎨+=⎩，解得2588kb⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴v＝﹣25x＋88.当x＝100时，v＝﹣25×100＋88＝48.答：大桥上车流密度为100辆/千米时的车流速度为48千米/小时.（2）由（1）得，当20≤x≤220时，v＝﹣25x＋88，由题意，得288405288605xx⎧-+⎪⎪⎨⎪-+⎪⎩＞＜，解得70＜x＜120.答：应控制大桥上的车流密度范围是大于70辆/千米且小于120辆/千米. （3）由题意，得当0≤x≤20时，y＝vx＝80x，∵k＝80＞0，∴y随x的增大而增大，∴当x＝20时，车流量y最大为80×20＝1600.答：车流量y的最大值为1600辆/小时.正解：（1）设v＝kx＋b，把点（220，0）和（20，80）代入得2200 2080k bk b+=⎧⎨+=⎩，解得2588kb⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴v＝﹣25x＋88.当x＝100时，v＝﹣25×100＋88＝48.答：大桥上车流密度为100辆/千米时的车流速度为48千米/小时.（2）由（1）得，当20≤x≤220时，v＝﹣25x＋88，由题意，得288405288605xx⎧-+⎪⎪⎨⎪-+⎪⎩＞＜，解得70＜x＜120.答：应控制大桥上的车流密度范围是大于70辆/千米且小于120辆/千米. （3）①当0≤x≤20时，车流量y1＝vx＝80x，∵k＝80＞0，∴y随x的增大而增大，∴当x＝20时，车流量y1最大为80×20＝1600.②当20≤x≤220时，车流量y2＝vx＝（﹣25x＋88）x＝﹣25(x－110)2＋4840，当x＝110时，车流量y2取得最大值为4840.∵4840＞1600，∴车流量y的最大值为4840辆/小时.答：车流量y的最大值为1600辆/小时.赏析：本题在第（3）小题求最值时出错，原因是没有分两种情况分别求出车流量的最大值，再从两种情况的结果比较中得出车流量的最大值.实际上，从题目的条件分析可得车流速度与车流密度的关系式有两个：当0≤x≤20时，v＝80；当20≤x≤220时，v＝﹣2 5 x＋88.由此可得，车流量与车流密度也相应地有两个关系式，进而分类求解.易错练1.已知点P（2－m，m＋1）在第一象限，则m的取值范围在数轴上表示正确的是（）ABCD2.将一次函数y＝﹣12x的图象向下平移1个单位长度，平移后，若y＞0，则x的取值范围是…………………………………………………………………………………………（）A. x＞2B. x＜2C. x＞﹣2D.x＜﹣23.已知点A（﹣1，y1）和点B（1，y2）都在双曲线y＝12ax上，且y1＜y2，则a的取值范围是________________.4.如图，抛物线抛物线y＝ax2+bx+c(a＞0)的对称轴是直线x＝1，且点M（﹣2,0）在该抛物线上，则93a bc＝____________.第5题图(P A5.如图，在△ABC 中，AC ＝BC ，有一动点P 从点A 出发，沿A →C →B →A 匀速运动.则CP 的长度s 与时间t 之间的函数关系用图象描述大致是………………………………（ ）6.如图，△PAB 的直角顶点P 在第四象限，顶点A 、B 分别落在反比例函数y ＝kx图象的两个分支上，且PB ⊥x 轴于点C ，PA ⊥y 轴于点D ，AB 分别与x 轴、y 轴相交于点E 、F .已知B （1,3）.（1）k ＝___________； （2）试说明AE ＝BF ； （3）当四边形ABCD 的面积为214时，求点P 的坐标.7.用长8m的铝合金制成如图形状的矩形窗户框，试问怎样制作窗户框，使得其采光面积最大，最大采光面积是多少？参考答案3.a＜12解析：由点A、B的横坐标可知，点A、B在三、一或二、四象限，又y1＜y2，则A在第三象限，B在第一象限，∴双曲线在一、三象限，∴1－2a＞0，解得a＜1 2 .4.﹣1 解析：∵抛物线对称轴是直线x＝1，且点M（﹣2,0）在该抛物线上，∴由抛物线的对称性可得，点（3,0）也在抛物线上，∴将（3,0）代入解析式，得9a＋3b＋c＝0，∴9a＋3b＝c，∴93a bc+＝cc-＝﹣1.5.D 解析：如图，过点C作CD⊥AB于点D.s与t之间的函数关系属于分段函数：点P 在AC上时，s随t的增大而减小；点P在BC上时，s随t的增大而增大；点P在BD上时，s随t的增大而减小；点P在AD上时，s随t的增大而增大.故选D.（2）∵反比例函数解析式为y＝3x，∴可设A点坐标为（a，3a），∵PB⊥x轴于点C，PA⊥y轴于点D，∴D点坐标为（0，3a），P点坐标为（1，3a），C点坐标为（1,0），∴PB＝3－3a，PC＝﹣3a，PA＝1－a，PD＝1，∴31313PC aPB aa-==--，11PDPA a=-，∴PC PDPB PA=,又∵∠CPD＝∠BPA,∴△PCD∽△PBA，∴∠PCD＝∠PBA，∴CD∥BA，∵BC∥DE，AD∥FC，∴四边形BCDE、ADCF都是平行四边形，∴BE＝CD，AF＝CD，∴BE＝AF，∴AF＋EF＝BE＋EF，即AE＝BF；（3）∵四边形ABCD的面积＝S△PAB－S△PCD ，∴12·（3－3a）·（1－a）－12·1·（－3a）＝214，整理得2a2＋3a＝0，解得a1＝0（∵a≠0，∴舍去），a2＝﹣32，∴P点坐标为（1，﹣2）.。