一、反比例函数真题与模拟题分类汇编(难题易错题)1.如图,已知抛物线y=﹣x2+9的顶点为A,曲线DE是双曲线y= (3≤x≤12)的一部分,记作G1,且D(3,m)、E(12,m﹣3),将抛物线y=﹣x2+9水平向右移动a个单位,得到抛物线G2.(1)求双曲线的解析式;(2)设抛物线y=﹣x2+9与x轴的交点为B、C,且B在C的左侧,则线段BD的长为________;(3)点(6,n)为G1与G2的交点坐标,求a的值.(4)解:在移动过程中,若G1与G2有两个交点,设G2的对称轴分别交线段DE和G1于M、N两点,若MN<,直接写出a的取值范围.【答案】(1)把D(3,m)、E(12,m﹣3)代入y= 得,解得,所以双曲线的解析式为y= ;(2)2(3)解:把(6,n)代入y= 得6n=12,解得n=2,即交点坐标为(6,2),抛物线G2的解析式为y=﹣(x﹣a)2+9,把(6,2)代入y=﹣(x﹣a)2+9得﹣(6﹣a)2+9=2,解得a=6± ,即a的值为6± ;(4)抛物线G2的解析式为y=﹣(x﹣a)2+9,把D(3,4)代入y=﹣(x﹣a)2+9得﹣(3﹣a)2+9=4,解得a=3﹣或a=3+ ;把E(12,1)代入y=﹣(x﹣a)2+9得﹣(12﹣a)2+9=1,解得a=12﹣2 或a=12+2;∵G1与G2有两个交点,∴3+ ≤a≤12﹣2 ,设直线DE的解析式为y=px+q,把D(3,4),E(12,1)代入得,解得,∴直线DE的解析式为y=﹣ x+5,∵G2的对称轴分别交线段DE和G1于M、N两点,∴M(a,﹣ a+5),N(a,),∵MN<,∴﹣ a+5﹣<,整理得a2﹣13a+36>0,即(a﹣4)(a﹣9)>0,∴a<4或a>9,∴a的取值范围为9<a≤12﹣2 .【解析】【解答】解:(2)当y=0时,﹣x2+9=0,解得x1=﹣3,x2=3,则B(﹣3,0),而D(3,4),所以BE= =2 .故答案为2 ;【分析】(1)把D(3,m)、E(12,m﹣3)代入y= 得关于k、m的方程组,然后解方程组求出m、k,即可得到反比例函数解析式和D、E点坐标;(2)先解方程﹣x2+9=0得到B(﹣3,0),而D(3,4),然后利用两点间的距离公式计算DE的长;(3)先利用反比例函数图象上点的坐标特征确定交点坐标为(6,2),然后把(6,2)代入y=﹣(x ﹣a)2+9得a的值;(4)分别把D点和E点坐标代入y=﹣(x﹣a)2+9得a的值,则利用图象和G1与G2有两个交点可得到3+ ≤a≤12﹣2 ,再利用待定系数法求出直线DE的解析式为y=﹣ x+5,则M(a,﹣ a+5),N(a,),于是利用MN<得到﹣ a+5﹣<,然后解此不等式得到a<4或a>9,最后确定满足条件的a的取值范围.2.如图直角坐标系中,矩形ABCD的边BC在x轴上,点B,D的坐标分别为B(1,0),D(3,3).(1)点C的坐标________;(2)若反比例函数y= (k≠0)的图象经过直线AC上的点E,且点E的坐标为(2,m),求m的值及反比例函数的解析式;(3)若(2)中的反比例函数的图象与CD相交于点F,连接EF,在直线AB上找一点P,使得S△PEF= S△CEF,求点P的坐标.【答案】(1)(3,0)(2)解:∵AB=CD=3,OB=1,∴A的坐标为(1,3),又C(3,0),设直线AC的解析式为y=ax+b,则,解得:,∴直线AC的解析式为y=﹣ x+ .∵点E(2,m)在直线AC上,∴m=﹣ ×2+ = ,∴点E(2,).∵反比例函数y= 的图象经过点E,∴k=2× =3,∴反比例函数的解析式为y=(3)解:延长FC至M,使CM= CF,连接EM,则S△EFM= S△EFC, M(3,﹣0.5).在y= 中,当x=3时,y=1,∴F(3,1).过点M作直线MP∥EF交直线AB于P,则S△PEF=S△MEF.设直线EF的解析式为y=a'x+b',∴,解得,∴y=﹣ x+ .设直线PM的解析式为y=﹣ x+c,代入M(3,﹣0.5),得:c=1,∴y=﹣ x+1.当x=1时,y=0.5,∴点P(1,0.5).同理可得点P(1,3.5).∴点P坐标为(1,0.5)或(1,3.5).【解析】【解答】解:(1)∵D(3,3),∴OC=3,∴C(3,0).故答案为(3,0);【分析】(1)由D的横坐标为3,得到线段OC=3,即可确定出C的坐标;(2)由矩形的对边相等,得到AB=CD,由D的纵坐标确定出CD的长,即为AB的长,再由B的坐标确定出OB的长,再由A为第一象限角,确定出A的坐标,由A与C的坐标确定出直线AC的解析式,将E坐标代入直线AC解析式中,求出m的值,确定出E的坐标,代入反比例解析式中求出k的值,即可确定出反比例解析式;(3)延长FC至M,使CM=CF,连接EM,则S△EFM=S△EFC, M(3,﹣0.5).求出F(3,1),过点M作直线MP∥EF交直线AB于P,利用平行线间的距离处处相等得到高相等,再利用同底等高得到S△PEF=S△MEF.此时直线EF与直线PM的斜率相同,由F的横坐标与C横坐标相同求出F 的横坐标,代入反比例解析式中,确定出F坐标,由E与F坐标确定出直线EF斜率,即为直线PM的斜率,再由M坐标,确定出直线PM解析式,由P横坐标与B横坐标相同,将B横坐标代入直线PM解析式中求出y的值,即为P的纵坐标,进而确定出此时P的坐标.3.已知:如图,正比例函数y=ax的图象与反比例函数y= 的图象交于点C(3,1)(1)试确定上述比例函数和反比例函数的表达式;(2)根据图象回答,在第一象限内,当x取何值时,反比例函数的值大于正比例函数的值?(3)点D(m,n)是反比例函数图象上的一动点,其中0<m<3,过点C作直线AC⊥x 轴于点A,交OD的延长线于点B;若点D是OB的中点,DE⊥x轴于点E,交OC于点F,试求四边形DFCB的面积.【答案】(1)解:将点C(3,1)分别代入y= 和y=ax,得:k=3,a= ,∴反比例函数解析式为y= ,正比例函数解析式为y= x;(2)解:观察图象可知,在第二象限内,当0<x<3时,反比例函数值大于正比例函数值;(3)解:∵点D(m,n)是OB的中点,又在反比例函数y= 上,∴OE= OA= ,点D(,2),∴点B(3,4),又∵点F在正比例函数y= x图象上,∴F(,),∴DF= 、BC=3、EA= ,∴四边形DFCB的面积为 ×( +3)× = .【解析】【分析】(1)利用待定系数法把C坐标代入解析式即可;(2)须数形结合,先找出交点,在交点的左侧与y轴之间,反比例函数值大于正比例函数值.(3)求出DF、BC、EA,代入梯形面积公式即可.4.如图1,已知一次函数y=ax+2与x轴、y轴分别交于点A,B,反比例函数y= 经过点M.(1)若M是线段AB上的一个动点(不与点A、B重合).当a=﹣3时,设点M的横坐标为m,求k与m之间的函数关系式.(2)当一次函数y=ax+2的图象与反比例函数y= 的图象有唯一公共点M,且OM= ,求a的值.(3)当a=﹣2时,将Rt△AOB在第一象限内沿直线y=x平移个单位长度得到Rt△A′O′B′,如图2,M是Rt△A′O′B′斜边上的一个动点,求k的取值范围.【答案】(1)解:当a=﹣3时,y=﹣3x+2,当y=0时,﹣3x+2=0,x= ,∵点M的横坐标为m,且M是线段AB上的一个动点(不与点A、B重合),∴0<m<,,DANG则,﹣3x+2= ,当x=m时,﹣3m+2= ,∴k=﹣3m2+2m(0<m<)(2)解:由题意得:,ax+2= ,ax2+2x﹣k=0,∵直线y=ax+2(a≠0)与双曲线y= 有唯一公共点M时,∴△=4+4ak=0,ak=﹣1,∴k=﹣,则,解得:,∵OM= ,∴12+(﹣)2=()2,a=±(3)解:当a=﹣2时,y=﹣2x+2,∴点A的坐标为(1,0),点B的坐标为(0,2),∵将Rt△AOB在第一象限内沿直线y=x平移个单位得到Rt△A′O′B′,∴A′(2,1),B′(1,3),点M是Rt△A′O′B′斜边上一动点,当点M′与A′重合时,k=2,当点M′与B′重合时,k=3,∴k的取值范围是2≤k≤3【解析】【分析】(1)当a=﹣3时,直线解析式为y=﹣3x+2,求出A点的横坐标,由于点M的横坐标为m,且M是线段AB上的一个动点(不与点A、B重合)从而得到m的取值范围,由﹣3x+2= ,由X=m得k=﹣3m2+2m(0<m<);(2)由ax+2= 得ax2+2x﹣k=0,直线y=ax+2(a≠0)与双曲线y= 有唯一公共点M时,△=4+4ak=0,ak=﹣1,由勾股定理即可;(3)当a=﹣2时,y=﹣2x+2,从而求出A、B两点的坐标,由平移的知识知A′,B′点的坐标,从而得到k的取值范围。
5.如图,在平面直角坐标系中,△ABC的顶点A在x轴负半轴上,顶点在轴正半轴上,顶点B在第一象限,线段,的长是一元二次方程的两根,,.(1)直接写出点的坐标________点 C的坐标________;(2)若反比例函数的图象经过点,求k的值;(3)如图过点作轴于点;在轴上是否存在点,使以,,为顶点的三角形与以,,为顶点的三角形相似?若存在,直接写出满足条件的点的坐标;若不存在,请说明理由.【答案】(1);(2)解:如图,过点作,垂足为,∵,∴,设,∵ =12,∴EC=12-x,在RtΔBEC中,,∴整理得:,解得:(不合题意舍去),,∴,,∴,把代入,得(3)解:存在.如图2,若点P在OD上,若△PDB∽△AOP,则,即,解得:OP=2或OP=6,∴P(0,2)或P(0,6);如图3,若点P在OD上方,△PDB∽△AOP,则,即,解得:OP=12,∴P(0,12);如图4,若点P在OD上方,△BDP∽△AOP,则,即,解得:OP=4+2 或OP=4-2 (不合题意舍去),∴P(0,4+2 );如图5,若点P在y轴负半轴,△PDB∽△AOP,则,即,解得:OP=-4+2 或-4-2 (不合题意舍去),则P点坐标为(0,4-2 )故点的坐标为:或或或或【解析】【解答】解:(1)解一元二次方程,解得:,所以,所以,;【分析】(1)首先利用直接开平方法求出方程的两根,从而得出OA=OC=6,进而得出A,C两点的坐标;(2)如图,过点作,垂足为,根据等腰直角三角形的性质得出,设,EC=12-x,在RtΔBEC中利用勾股定理建立方程,求解并检验即可得出BE,OE 的长从而得出B点的坐标,然后利用待定系数法即可求出反比例函数的解析式;(3)存在.如图2,若点P在OD上,若△PDB∽△AOP,根据相似三角形对应边成比例得出,根据比例式列出方程,求解即可得出P点的坐标;如图3,若点P在OD上方,△PDB∽△AOP,根据相似三角形对应边成比例得出则根据比例式列出方程,求解并检验即可得出P点的坐标;如图4,若点P在OD上方,△PDB∽△AOP,根据相似三角形对应边成比例得出,根据比例式列出方程,求解并检验即可得出P 点的坐标;如图5,若点P在y轴负半轴,△PDB∽△AOP,根据相似三角形对应边成比例得出,根据比例式列出方程,求解并检验即可得出P点的坐标,综上所述即可得出答案。