实验五 连续系统分析
一、实验目的
1．深刻理解连续时间系统的系统函数在分析连续系统的时域特性、频域特性及稳定性中的重要作用及意义，掌握根据系统函数的零极点设计简单的滤波器的方法。
2．掌握利用MATLAB 分析连续系统的时域响应、频响特性和零极点的基本方法。
二、实验原理及内容
MATLAB 提供了许多可用于分析线性时不变连续系统的函数，主要包含有系统函数、系统时域响应、系统频域响应等分析函数。
1. 连续系统的时域响应
连续时间LTI 系统可用如下的线性常系数微分方程来描述：
)
()( )()(01)1(1)(t y a t y a t y a t y a n n n n ++++--
)()( )()(01)1(1)(t x b t x b t x b t x b m m m m ++++=-- 已知输入信号x (t )以及系统初始状态)0(,),0('),0()1(----n y y y ，就可以求出系统的响应。
MATLAB 提供了微分方程的数值计算的函数，可以计算上述n 阶微分方程描述的连续系统的响应，包括系统的单位冲激响应、单位阶跃响应、零输入响应、零状态响应和完全响应。
在调用MATLAB 函数时，需要利用连续系统对应的系数函数。
对微分方程进行Laplace 变换即可得系统函数：
1110111)()()(a s a s a s a b s b s b s b s X s Y s H n n n n m m m m ++++++++==---- 在MATLAB 中可使用向量和向量分别保存分母多项式和分子多项式的系数：
],,,,[011a a a a a n n -= ],,,,[011b b b b b m m -=
这些系数均按s 的降幂直至s 0排列。
● 连续系统的单位冲激响应h (t )的计算
impulse(sys)计算并画出系统的冲激响应。
参数：sys 可由函数tf(b,a)获得。
其中：
],,,,[011a a a a a n n -= ],,,,[011b b b b b m m -=
h=impulse(sys, t) 计算出系统在向量t 定义的区间上的冲激响应， 向
量h 保存对应区间的系统冲激响应的输出值。
● 连续系统的单位阶跃响应g (t )的计算
step(sys)计算并画出系统的阶跃响应。
参数：sys 可由函数tf(b,a)获得。
其中：
],,,,[011a a a a a n n -= ],,,,[011b b b b b m m -=
g=step(sys, t) 计算出系统在向量t 定义的区间上的阶跃响应，向量g 保存对应区间的系统阶跃响应的输出值。
已知描述某连续系统的微分方程：
)(8)( '2)(6)( '5)("t x t x t y t y t y +=++,计算该系统的单位冲激响应h (t )和阶跃响应g (t )。
t=(0:0.1:10)
程序如下
subplot(2,1,1);
t=0:0.1:10;
a=[1,5,6];
b=[2,8];
sys=tf(b,a);
h=impulse(sys,t);
plot(h);
subplot(2,1,2);
sys=tf(b,a);
g=step(sys,t);
plot(g);
程序运行结果如图
● 连续系统的零状态响应y (t )的计算
lsim(sys, x, t) 计算并画出系统的零状态响应。
参数: sys 可由函数tf(b,a)获得
x 为输入信号
t 为定义的时间向量。
已知描述某连续系统的微分方程：)(8)( '2)(6)( '5)("t x t x t y t y t y +=++，计算在输入)(e )(t u t x t -=为时系统的零状态响应。
t=(0:10/300:10)
t=0:10/300:10;
a=[1,5,6];
b=[2,8];
sys=tf(b,a);
x=exp(-t)
y=lsim(sys,x,t);
plot(t,y);
程序运行结果如图：
2．连续系统的系统函数零极点分析
连续LTI 系统的系统函数H (s )可以表示为部分分式形式：
)
)...()(())...()(()()()(2121n m p s p s p s z s z s z s k s D s N s H ------== 设n m ≤，且H (s )的极点p i 全部为单极点，则：
∑=-=n
i i i p s k s H 1)( )()(1t u e k t h t p n i i i ∑== 系统函数H (s )的极点p i 决定了冲激响应h (t )的基本形式，而零点和极点共同确定了冲激响应h (t )的幅值k i 。
MATLAB 中提供了roots 函数计算系统的零极点，提供了pzmap 函数绘制连续系统的零极点分布图。
其中：],,,,[011a a a a a n n -= ],,,,[011b b b b b m m -=
roots(b):求b 的特征根；
roots(a):求a 的特征根
pzmap(sys): sys 可由函数tf(b,a)获得
已知某连续系统的系统函数为：1
22132)(232+++++=s s s s s s H 计算其零极点，画出分布图。
b=[2,3,1];
a=[1,2,2,1];
roots(b);
roots(a);
sys=tf(b,a);
pzmap(sys);
程序运行结果如图：
3．连续系统的频率响应
若连续因果LTI 连续系统的系统函数H (s )的极点全部位于S 左半平面，则系统的频率响应可由H (s )求出，即
)(j j e )j ()()j (ωϕωωωH s H H s ===
MATLAB 中freqs 函数可以分析连续系统的频响，格式如下：
H=freqs(b,a,w): 计算系统在指定频率点向量w 上的频响H ；w 为频率点向量。
[H,w]=freqs(b,a) :自动选取200个频率点计算频率响应。
其中：],,,,[011a a a a a n n -= ],,,,[011b b b b b m m -=
已知某连续系统的系统函数为：)
1)(1(1)(2+++=s s s s H ，分析系统的幅频特性。
[H,w]=freqs(b,a); %自动选取若干个频率点计算频率响应 plot(w,abs(H)); %绘制频率响应图
xlabel('Frequency(rad/s)'); %x 坐标的频率
ylabel('Amplitude'); %y 坐标的振幅
title('Magnitude response'); %频率响应的标题
程序运行结果如图：。