第二章 函数与导数一、函数及其表示14.、[2014·安徽卷] 若函数f (x )(x ∈R )是周期为4的奇函数,且在[0,2]上的解析式为f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x (1-x ),0≤x ≤1,sin πx ,1<x ≤2,则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫294+f ⎝ ⎛⎭⎪⎫416=______. 14.516 [解析] 由题易知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫294+f ⎝ ⎛⎭⎪⎫416=f ⎝ ⎛⎭⎪⎫-34+f ⎝ ⎛⎭⎪⎫-76=-f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34-f ⎝ ⎛⎭⎪⎫76=-316+sin π6=516. 2.、[2014·北京卷] 下列函数中,定义域是R 且为增函数的是( )A .y =e -xB .y =x 3C .y =ln xD .y =|x |2.B [解析] 由定义域为R ,排除选项C ,由函数单调递增,排除选项A ,D.21. [2014·江西卷] 将连续正整数1,2,…,n (n ∈N *)从小到大排列构成一个数123…n ,F (n )为这个数的位数(如n =12时,此数为123456789101112,共有15个数字,F (12)=15),现从这个数中随机取一个数字,p (n )为恰好取到0的概率.(1)求p (100);(2)当n ≤2014时,求F (n )的表达式;(3)令g (n )为这个数中数字0的个数,f (n )为这个数中数字9的个数,h (n )=f (n )-g (n ),S ={n |h (n )=1,n ≤100,n ∈N *},求当n ∈S 时p (n )的最大值.21.解:(1)当n =100时,这个数中总共有192个数字,其中数字0的个数为11,所以恰好取到0的概率为p (100)=11192.(2)F (n )=⎩⎪⎨⎪⎧n ,1≤n ≤9,2n -9,10≤n ≤99,3n -108,100≤n ≤999,4n -1107,1000≤n ≤2014.(3)当n =b (1≤b ≤9,b ∈N *),g (n )=0;当n =10k +b (1≤k ≤9,0≤b ≤9,k ∈N *,b ∈N )时,g (n )=k ; 当n =100时,g (n )=11,即g (n )=⎩⎪⎨⎪⎧0,1≤n ≤9,k ,n =10k +b ,11,n =100.1≤k ≤9,0≤b ≤9,k ∈N *,b ∈N , 同理有f (n )=⎩⎪⎨⎪⎧0,1≤n ≤8,k ,n =10k +b -1,1≤k ≤8,0≤b ≤9,k ∈N *,b ∈N ,n -80,89≤n ≤98,20,n =99,100.由h (n )=f (n )-g (n )=1,可知n =9,19,29,39,49,59,69,79,89,90, 所以当n ≤100时,S ={9,19,29,39,49,59,69,79,89,90}. 当n =9时,p (9)=0.当n =90时,p (90)=g (90)F (90)=9171=119. 当n =10k +9(1≤k ≤8,k ∈N *)时,p (n )=g (n )F (n )=k 2n -9=k 20k +9,由y =k 20k +9关于k 单调递增,故当n =10k +9(1≤k ≤8,k ∈N *)时,p (n )的最大值为p (89)=8169.又8169<119,所以当n ∈S 时,p (n )的最大值为119.3.[2014·山东卷] 函数f (x )=1log 2x -1的定义域为( )A .(0,2)B .(0,2]C .(2,+∞)D .[2,+∞)3.C [解析] 若函数f (x )有意义,则log 2x -1>0,∴log 2x >1,∴x >2.二、反函数5.[2014·全国卷] 函数y=ln(3x+1)(x>-1)的反函数是()A.y=(1-e x)3(x>-1) B.y=(e x-1)3(x>-1) C.y=(1-e x)3(x∈R) D.y=(e x-1)3(x∈R)5.D[解析] 因为y=ln(3x+1),所以x=(e y-1)3.因为x>-1,所以y∈R,所以函数y=ln(3x+1)(x>-1)的反函数是y=(e x-1)3(x∈R).三、函数的单调性与最值2.、[2014·北京卷] 下列函数中,定义域是R且为增函数的是()A.y=e-x B.y=x3C.y=ln x D.y=|x|2.B[解析] 由定义域为R,排除选项C,由函数单调递增,排除选项A,D.4.、[2014·湖南卷] 下列函数中,既是偶函数又在区间(-∞,0)上单调递增的是()A.f(x)=1x2B.f(x)=x2+1C.f(x)=x3D.f(x)=2-x4.A[解析] 由偶函数的定义,可以排除C,D,又根据单调性,可得B 不对.19.、、、[2014·江苏卷] 已知函数f(x)=e x+e-x,其中e是自然对数的底数.(1)证明:f(x)是R上的偶函数.(2)若关于x的不等式mf(x)≤e-x+m-1在(0,+∞)上恒成立,求实数m的取值范围.(3)已知正数a 满足:存在x 0∈[1,+∞),使得f (x 0)<a (-x 30+3x 0)成立.试比较e a -1与a e -1的大小,并证明你的结论.19.解: (1)证明:因为对任意 x ∈R ,都有f (-x )=e -x +e -(-x )=e -x +e x =f (x ),所以f (x )是R 上的偶函数.(2)由条件知 m (e x +e -x -1)≤e -x -1在(0,+∞)上恒成立.令 t =e x(x >0),则 t >1,所以 m ≤-t -1t 2-t +1= -1t -1+1t -1+ 1对任意 t >1成立. 因为t -1+1t -1+ 1≥2 (t -1)·1t - 1+1=3, 所以 -1t -1+1t -1+ 1≥-13,当且仅当 t =2, 即x = ln 2时等号成立.因此实数 m 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤-∞,-13. (3)令函数 g (x )=e x+1e x - a (-x 3+3x ),则g ′ (x ) =e x -1e x +3a (x 2-1). 当 x ≥1时,e x -1e x >0,x 2-1≥0.又a >0,故 g ′(x )>0,所以g (x )是[1,+∞)上的单调递增函数, 因此g (x )在[1,+∞)上的最小值是 g (1)= e +e -1-2a .由于存在x 0∈[1,+∞),使e x 0+e -x 0-a (-x 30+ 3x 0 )<0 成立, 当且仅当最小值g (1)<0,故 e +e -1-2a <0, 即 a >e +e -12.令函数h (x ) = x -(e -1)ln x -1,则 h ′(x )=1-e -1x . 令 h ′(x )=0, 得x =e-1.当x ∈(0,e -1)时,h ′(x )<0,故h (x )是(0,e -1)上的单调递减函数;当x ∈(e -1,+∞)时,h ′(x )>0,故h (x )是(e -1,+∞)上的单调递增函数. 所以h (x )在(0,+∞)上的最小值是h (e -1).注意到h (1)=h (e)=0,所以当x ∈(1,e -1)⊆(0,e -1)时,h (e -1)≤h (x )<h (1)=0;当x ∈(e -1,e)⊆(e -1,+∞)时,h (x )<h (e)=0.所以h (x )<0对任意的x ∈(1,e)成立.故①当a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫e +e -12,e ⊆(1,e)时, h (a )<0, 即a -1<(e -1)ln a ,从而e a -1<a e -1;②当a =e 时,e a -1=a e -1;③当a ∈(e ,+∞)⊆(e -1,+∞)时,h (a )>h (e)=0,即a -1>(e -1)ln a ,故e a -1>a e -1.综上所述,当a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫e +e -12,e 时,e a -1<a e -1;当a =e 时,e a -1=a e -1;当a ∈(e ,+∞)时,e a -1>a e -1.15.、、[2014·四川卷] 以A 表示值域为R 的函数组成的集合,B 表示具有如下性质的函数φ(x )组成的集合:对于函数φ(x ),存在一个正数M ,使得函数φ(x )的值域包含于区间[-M ,M ].例如,当φ1(x )=x 3,φ2(x )=sin x 时,φ1(x )∈A ,φ2(x )∈B .现有如下命题:①设函数f (x )的定义域为D ,则“f (x )∈A ”的充要条件是“∀b ∈R ,∃a ∈D ,f (a )=b ”;②若函数f (x )∈B ,则f (x )有最大值和最小值;③若函数f (x ),g (x )的定义域相同,且f (x )∈A ,g (x )∈B ,则f (x )+g (x )∈/B ;④若函数f (x )=a ln(x +2)+x x 2+1(x >-2,a ∈R )有最大值,则f (x )∈B . 其中的真命题有________.(写出所有真命题的序号)15.①③④ [解析] 若f (x )∈A ,则函数f (x )的值域为R ,于是,对任意的b ∈R ,一定存在a ∈D ,使得f (a )=b ,故①正确.取函数f (x )=x (-1<x <1),其值域为(-1,1),于是,存在M =1,使得函数f (x )的值域包含于[-M ,M ]=[-1,1],但此时函数f (x )没有最大值和最小值,故②错误.当f (x )∈A 时,由①可知,对任意的b ∈R ,存在a ∈D ,使得f (a )=b ,所以,当g (x )∈B 时,对于函数f (x )+g (x ),如果存在一个正数M ,使得f (x )+g (x )的值域包含于[-M ,M ],那么对于该区间外的某一个b 0∈R ,一定存在一个a 0∈D ,使得f (x )+f (a 0)=b 0-g (a 0),即f (a 0)+g (a 0)=b 0∉[-M ,M ],故③正确.对于f (x )=a ln(x +2)+x x +1(x >-2),当a >0或a <0时,函数f (x )都没有最大值.要使得函数f (x )有最大值,只有a =0,此时f (x )=x x 2+1(x >-2).易知f (x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤-12,12,所以存在正数M =12,使得f (x )∈[-M ,M ],故④正确 21.、[2014·四川卷] 已知函数f (x )=e x -ax 2-bx -1,其中a ,b ∈R ,e =2.718 28…为自然对数的底数.(1)设g (x )是函数f (x )的导函数,求函数g (x )在区间[0,1]上的最小值;(2)若f (1)=0,函数f (x )在区间(0,1)内有零点,证明:e -2<a <1.21.解:(1)由f (x )=e x -ax 2-bx -1,得g (x )=f ′(x )=e x -2ax -b ,所以g ′(x )=e x -2a .当x ∈[0,1]时,g ′(x )∈[1-2a ,e -2a ].当a ≤12时,g ′(x )≥0,所以g (x )在[0,1]上单调递增,因此g (x )在[0,1]上的最小值是g (0)=1-b ;当a ≥e 2时,g ′(x )≤0,所以g (x )在[0,1]上单调递减,因此g (x )在[0,1]上的最小值是g (1)=e -2a -b ;当12<a <e 2时,令g ′(x )=0,得x =ln(2a )∈(0,1),所以函数g (x )在区间[0,ln(2a )]上单调递减,在区间(ln(2a ),1]上单调递增, 于是,g (x )在[0,1]上的最小值是g (ln(2a ))=2a -2a ln(2a )-b .综上所述,当a ≤12时,g (x )在[0,1]上的最小值是g (0)=1-b ;当12<a <e 2时,g (x )在[0,1]上的最小值是g (ln(2a ))=2a -2a ln(2a )-b ;当a ≥e 2时,g (x )在[0,1]上的最小值是g (1)=e -2a -b .(2)证明:设x 0为f (x )在区间(0,1)内的一个零点,则由f (0)=f (x 0)=0可知, f (x )在区间(0,x 0)上不可能单调递增,也不可能单调递减.则g (x )不可能恒为正,也不可能恒为负.故g (x )在区间(0,x 0)内存在零点x 1.同理g (x )在区间(x 0,1)内存在零点x 2.故g (x )在区间(0,1)内至少有两个零点.由(1)知,当a ≤12时,g (x )在[0,1]上单调递增,故g (x )在(0,1)内至多有一个零点;当a ≥e 2时,g (x )在[0,1]上单调递减,故g (x )在(0,1)内至多有一个零点,都不合题意.所以12<a <e 2.此时g (x )在区间[0,ln(2a )]上单调递减,在区间(ln(2a ),1]上单调递增. 因此x 1∈(0,ln(2a )),x 2∈(ln(2a ),1),必有g (0)=1-b >0,g (1)=e -2a -b >0.由f (1)=0有a +b =e -1<2,有g (0)=a -e +2>0,g (1)=1-a >0.解得e -2<a <1.所以,函数f (x )在区间(0,1)内有零点时,e -2<a <1.四、 函数的奇偶性与周期性4.[2014·重庆卷] 下列函数为偶函数的是( )A .f (x )=x -1B .f (x )=x 2+xC .f (x )=2x -2-xD .f (x )=2x +2-x4.D [解析] A 中,f (-x )=-x -1,f (x )为非奇非偶函数;B 中,f (-x )=(-x )2-x =x 2-x ,f (x )为非奇非偶函数;C 中,f (-x )=2-x -2x =-(2x -2-x )=-f (x ),f (x )为奇函数;D 中,f (-x )=2-x +2x =f (x ),f (x )为偶函数.故选D.14.、[2014·安徽卷] 若函数f (x )(x ∈R )是周期为4的奇函数,且在[0,2]上的解析式为f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x (1-x ),0≤x ≤1,sin πx ,1<x ≤2,则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫294+f ⎝ ⎛⎭⎪⎫416=______.14.516 [解析] 由题易知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫294+f ⎝ ⎛⎭⎪⎫416=f ⎝ ⎛⎭⎪⎫-34+f ⎝ ⎛⎭⎪⎫-76=-f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34-f ⎝ ⎛⎭⎪⎫76=-316+sin π6=516. 5.[2014·广东卷] 下列函数为奇函数的是( )A .2x -12xB .x 3sin xC .2cos x +1D .x 2+2x5.A [解析] 对于A 选项,令f (x )=2x-12x =2x -2-x ,其定义域是R ,f (-x )=2-x -2x =-f (x ),所以A 正确;对于B 选项,根据奇函数乘奇函数是偶函数,所以x 3sin x 是偶函数;C 显然也是偶函数;对于D 选项,根据奇偶性的定义,该函数显然是非奇非偶函数.9.、[2014·湖北卷] 已知f (x )是定义在R 上的奇函数,当x ≥0时,f (x )=x 2-3x ,则函数g (x )=f (x )-x +3的零点的集合为( )A .{1,3}B .{-3,-1,1,3}C .{2-7,1,3}D .{-2-7,1,3}9.D [解析] 设x <0,则-x >0,所以f (x )=-f (-x )=-[(-x )2-3(-x )]=-x 2-3x .求函数g (x )=f (x )-x +3的零点等价于求方程f (x )=-3+x 的解.当x ≥0时,x 2-3x =-3+x ,解得x 1=3,x 2=1;当x <0时,-x 2-3x =-3+x ,解得x 3=-2-7.故选D.4.、[2014·湖南卷] 下列函数中,既是偶函数又在区间(-∞,0)上单调递增的是( )A .f (x )=1x 2B .f (x )=x 2+1C .f (x )=x 3D .f (x )=2-x4.A [解析] 由偶函数的定义,可以排除C ,D ,又根据单调性,可得B 不对.15.[2014·湖南卷] 若f (x )=ln(e 3x +1)+ax 是偶函数,则a =________.15.-32 [解析] 由偶函数的定义可得f (-x )=f (x ),即ln(e -3x +1)-ax =ln(e 3x+1)+ax ,∴2ax =-ln e 3x=-3x ,∴a =-32. 19.、、、[2014·江苏卷] 已知函数f (x )=e x +e -x ,其中e 是自然对数的底数.(1)证明:f (x )是R 上的偶函数.(2)若关于x 的不等式mf (x )≤e -x +m -1在(0,+∞)上恒成立,求实数m 的取值范围.(3)已知正数a 满足:存在x 0∈[1,+∞),使得f (x 0)<a (-x 30+3x 0)成立.试比较e a -1与a e -1的大小,并证明你的结论.19.解: (1)证明:因为对任意 x ∈R ,都有f (-x )=e -x +e -(-x )=e -x +e x =f (x ),所以f (x )是R 上的偶函数.(2)由条件知 m (e x +e -x -1)≤e -x -1在(0,+∞)上恒成立.令 t =e x(x >0),则 t >1,所以 m ≤-t -1t 2-t +1= -1t -1+1t -1+ 1对任意 t >1成立. 因为t -1+1t -1+ 1≥2 (t -1)·1t - 1+1=3, 所以 -1t -1+1t -1+ 1≥-13, 当且仅当 t =2, 即x = ln 2时等号成立.因此实数 m 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤-∞,-13.(3)令函数 g (x )=e x +1e x - a (-x 3+3x ),则g ′ (x ) =e x -1e x +3a (x 2-1).当 x ≥1时,e x-1e x >0,x 2-1≥0.又a >0,故 g ′(x )>0,所以g (x )是[1,+∞)上的单调递增函数, 因此g (x )在[1,+∞)上的最小值是 g (1)= e +e -1-2a .由于存在x 0∈[1,+∞),使e x 0+e -x 0-a (-x 30+ 3x 0 )<0 成立, 当且仅当最小值g (1)<0,故 e +e -1-2a <0, 即 a >e +e -12. 令函数h (x ) = x -(e -1)ln x -1,则 h ′(x )=1-e -1x . 令 h ′(x )=0, 得x =e-1.当x ∈(0,e -1)时,h ′(x )<0,故h (x )是(0,e -1)上的单调递减函数;当x ∈(e -1,+∞)时,h ′(x )>0,故h (x )是(e -1,+∞)上的单调递增函数. 所以h (x )在(0,+∞)上的最小值是h (e -1).注意到h (1)=h (e)=0,所以当x ∈(1,e -1)⊆(0,e -1)时,h (e -1)≤h (x )<h (1)=0;当x ∈(e -1,e)⊆(e -1,+∞)时,h (x )<h (e)=0.所以h (x )<0对任意的x ∈(1,e)成立.故①当a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫e +e -12,e ⊆(1,e)时, h (a )<0, 即a -1<(e -1)ln a ,从而e a -1<a e -1;②当a =e 时,e a -1=a e -1;③当a ∈(e ,+∞)⊆(e -1,+∞)时,h (a )>h (e)=0,即a -1>(e -1)ln a ,故e a -1>a e -1.综上所述,当a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫e +e -12,e 时,e a -1<a e -1;当a =e 时,e a -1=a e -1;当a ∈(e ,+∞)时,e a -1>a e -1.12.[2014·全国卷] 奇函数f (x )的定义域为R .若f (x +2)为偶函数,且f (1)=1,则f (8)+f (9)=( )A .-2B .-1C .0D .112.D [解析] 因为f (x +2)为偶函数,所以其对称轴为直线x =0,所以函数f (x )的图像的对称轴为直线x =2.又因为函数f (x )是奇函数,其定义域为R ,所以f (0)=0,所以f (8)=f (-4)=-f (4)=-f (0)=0,故f (8)+f (9)=0+f (-5)=-f (5)=-f (-1)=f (1)=1.15.[2014·新课标全国卷Ⅱ] 偶函数y =f (x )的图像关于直线x =2对称,f (3)=3,则f (-1)=________.15.3 [解析] 因为函数图像关于直线x =2对称,所以f (3)=f (1),又函数为偶函数,所以f (-1)=f (1),故f (-1)=3.5.[2014·全国新课标卷Ⅰ] 设函数f (x ),g (x )的定义域都为R ,且f (x )是奇函数,g (x )是偶函数,则下列结论中正确的是( )A .f (x )g (x )是偶函数B .|f (x )|g (x )是奇函数C .f (x )|g (x )|是奇函数D .|f (x )g (x )|是奇函数5.C [解析] 因为f (x )是奇函数,g (x )是偶函数,所以有f (-x )=-f (x ),g (-x )=g (x ),于是f (-x )·g (-x )=-f (x )g (x ),即f (x )g (x )为奇函数,A 错; |f (-x )|g (-x )=|f (x )|g (x ),即|f (x )|g (x )为偶函数,B 错; f (-x )|g (-x )|=-f (x )|g (x )|,即f (x )|g (x )|为奇函数,C 正确; |f (-x )g (-x )|=|f (x )g (x )|,即f (x )g (x )为偶函数,所以D 也错.13.[2014·四川卷] 设f (x )是定义在R 上的周期为2的函数,当x ∈[-1,1)时,f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧-4x 2+2,-1≤x <0,x , 0≤x <1,则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32=________.13.1 [解析] 由题意可知,f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32=f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2-12f ⎝ ⎛⎭⎪⎫-12=-4⎝ ⎛⎭⎪⎫-122+2=1.五、 二次函数10.[2014·江苏卷] 已知函数f (x )=x 2+mx -1,若对于任意x ∈[m ,m +1],都有f (x )<0成立,则实数m 的取值范围是________.10.⎝ ⎛⎭⎪⎫-22,0 [解析] 因为f (x )=x 2+mx -1是开口向上的二次函数,所以函数的最大值只能在区间端点处取到,所以对于任意x ∈[m ,m +1],都有f (x )<0,只需⎩⎪⎨⎪⎧f (m )<0,f (m +1)<0,解得⎩⎨⎧-22<m <22,-32<m <0,即m ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫-22,0.14.、[2014·全国卷] 函数y =cos 2x +2sin x 的最大值为________. 14.32 [解析] 因为y =cos 2x +2sin x =1-2sin x 2+2sin x =-2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x -122+32,所以当sin x =12时函数y =cos 2x +2sin x 取得最大值,最大值为32.六、 指数与指数函数5.[2014·安徽卷] 设a =log 37,b =21.1,c =0.83.1,则( ) A .b <a <c B .c <a <b C .c <b <a D .a <c <b5.B [解析] 因为2>a =log 37>1,b =21.1>2,c =0.83.1<1,所以c <a <b . 8.,,[2014·福建卷] 若函数y =log a x (a >0,且a ≠1)的图像如图1-2所示,则下列函数图像正确的是( )图1-2A BC D 图1-38.B [解析] 由函数y =log a x 的图像过点(3,1),得a =3.选项A 中的函数为y =⎝ ⎛⎭⎪⎫13x,其函数图像不正确;选项B 中的函数为y =x 3,其函数图像正确;选项C 中的函数为y =(-x )3,其函数图像不正确;选项D 中的函数为y =log 3(-x ),其函数图像不正确,故选B.3.、[2014·辽宁卷] 已知a =2-13,b =log 213,c =log 1213,则( ) A .a >b >c B .a >c >bC .c >b >aD .c >a >b3.D [解析] 因为0<a =2-13<1,b =log 213<0,c =log 1213>log 1212=1,所以c >a >b .15.、[2014·全国新课标卷Ⅰ] 设函数f (x )=⎩⎨⎧e x -1,x <1,x 13,x ≥1,则使得f (x )≤2成立的x 的取值范围是________.15.(-∞,8] [解析] 当x <1时,由e x -1≤2,得x <1;当x ≥1时,由x 13≤2,解得1≤x ≤8,综合可知x 的取值范围为x ≤8.5.,[2014·山东卷] 已知实数x ,y 满足a x <a y (0<a <1),则下列关系式恒成立的是( )A .x 3>y 3B .sin x >sin yC .ln(x 2+1)>ln(y 2+1) D.1x 2+1>1y 2+15.A [解析] 因为a x <a y (0<a <1),所以x >y ,所以x 3>y 3恒成立.故选A.7.[2014·陕西卷] 下列函数中,满足“f (x +y )= f (x )f (y )”的单调递增函数是( ) A .f (x )=x 3 B .f (x )=3xC .f (x )=x 12 D .f (x )=⎝ ⎛⎭⎪⎫12x7.B [解析] 由于f (x +y )=f (x )f (y ),故排除选项A ,C.又f (x )=⎝ ⎛⎭⎪⎫12x为单调递减函数,所以排除选项D.12.[2014·陕西卷] 已知4a =2,lg x =a ,则x =________.12.10 [解析] 4a =2,即22a =2,可得a =12,所以lg x =12,所以x =1012=10.7.、[2014·四川卷] 已知b >0,log 5b =a ,lg b =c ,5d =10,则下列等式一定成立的是( )A .d =acB .a =cdC .c =adD .d =a +c7.B [解析] 因为5d =10,所以d =log 510,所以cd =lg b ·log 510=log 5b =a ,故选B.9.、[2014·四川卷] 设m ∈R ,过定点A 的动直线x +my =0和过定点B 的动直线mx -y -m +3=0交于点P (x ,y ),则|P A |+|PB |的取值范围是( )A .[5,2 5 ]B .[10,2 5 ]C .[10,4 5 ]D .[25,4 5 ]9.B [解析] 由题意可知,定点A (0,0),B (1,3),且两条直线互相垂直, 则其交点P (x ,y )落在以AB 为直径的圆周上,所以|P A |2+|PB |2=|AB |2=10,即|P A |+|PB |≥|AB |=10. 又|P A |+|PB |=(|P A |+|PB |)2= |P A |2+2|P A ||PB |+|PB |2≤ 2(|P A |2+|PB |2)=2 5,所以|P A |+|PB |∈[10,2 5],故选B.4.[2014·天津卷] 设a =log 2π,b =log 12π,c =π-2,则( ) A .a >b >c B .b >a >c C .a >c >b D .c >b >a4.C [解析] ∵a =log 2π>1,b =log 12π<0,c =1π2<1,∴b <c <a .七、 对数与对数函数12.[2014·天津卷] 函数f (x )=lg x 2的单调递减区间是________.12.(-∞,0) [解析] 函数f (x )=lg x 2的单调递减区间需满足x 2>0且y =x 2单调递减,故x ∈(-∞,0).11.[2014·安徽卷] ⎝⎛⎭⎪⎫1681-34+log 354+log 345=________.11.278 [解析] 原式=⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫234-34 +log 3⎝ ⎛⎭⎪⎫54×45=⎝ ⎛⎭⎪⎫23-3=278.8.、[2014·浙江卷] 在同一直角坐标系中,函数f (x )=x a (x >0),g (x )=log a x 的图像可能是( )A BC D图1-28.D [解析] 只有选项D 符合,此时0<a <1,幂函数f (x )在(0,+∞)上为增函数,且当x ∈(0,1)时,f (x )的图像在直线y =x 的上方,对数函数g (x )在(0,+∞)上为减函数.故选D.8.,,[2014·福建卷] 若函数y =log a x (a >0,且a ≠1)的图像如图1-2所示,则下列函数图像正确的是( )图1-2A BC D 图1-38.B [解析] 由函数y =log a x 的图像过点(3,1),得a =3.选项A 中的函数为y =⎝ ⎛⎭⎪⎫13x,其函数图像不正确;选项B 中的函数为y =x 3,其函数图像正确;选项C 中的函数为y =(-x )3,其函数图像不正确;选项D 中的函数为y =log 3(-x ),其函数图像不正确,故选B.13.、[2014·广东卷] 等比数列{a n }的各项均为正数,且a 1a 5=4,则log 2a 1+log 2a 2+log 2a 3+log 2a 4+log 2a 5=________.13.5 [解析] 在等比数列中,a 1a 5=a 2a 4=a 23=4.因为a n >0,所以a 3=2,所以a 1a 2a 3a 4a 5=(a 1a 5)(a 2a 4)a 3=a 53=25,所以log 2a 1+log 2a 2+log 2a 3+log 2a 4+log 2a 5=log 2(a 1a 2a 3a 4a 5)=log 225=5. 3.、[2014·辽宁卷] 已知a =2-13,b =log 213,c =log 1213,则( ) A .a >b >c B .a >c >b C .c >b >a D .c >a >b3.D [解析] 因为0<a =2-13<1,b =log 213<0,c =log 1213>log 1212=1,所以c >a >b .6.,[2014·山东卷] 已知函数y =log a (x +c )(a ,c 为常数,其中a >0,a ≠1)的图像如图1-1所示,则下列结论成立的是( )图1-1A .a >1,x >1B .a >1,0<c <1C .0<a <1,c >1D .0<a <1,0<c <16.D [解析] 由该函数的图像通过第一、二、四象限,得该函数是减函数,∴0<a <1.∵图像与x 轴的交点在区间(0,1)之间,∴该函数的图像是由函数y =log a x 的图像向左平移不到1个单位后得到的,∴0<c <1.7.、[2014·四川卷] 已知b >0,log 5b =a ,lg b =c ,5d =10,则下列等式一定成立的是( )A .d =acB .a =cdC .c =adD .d =a +c7.B [解析] 因为5d =10,所以d =log 510,所以cd =lg b ·log 510=log 5b =a ,故选B.9.、[2014·重庆卷] 若log 4(3a +4b )=log 2ab ,则a +b 的最小值是( ) A .6+2 3 B .7+2 3 C .6+4 3 D .7+4 39.D [解析] 由log 4(3a +4b )=log 2ab ,得3a +4b =ab ,则4a +3b =1,所以a +b =(a +b )⎝ ⎛⎭⎪⎫4a +3b =7+4b a +3a b ≥7+2 4b a ·3a b =7+4 3,当且仅当4ba =3ab ,即a =4+2 3,b =2 3+3时等号成立,故其最小值是7+4 3.八、幂函数与函数的图像8.、[2014·浙江卷] 在同一直角坐标系中,函数f(x)=x a(x>0),g(x)=log a x 的图像可能是()A BC D图1-28.D[解析] 只有选项D符合,此时0<a<1,幂函数f(x)在(0,+∞)上为增函数,且当x∈(0,1)时,f(x)的图像在直线y=x的上方,对数函数g(x)在(0,+∞)上为减函数.故选D.8.,,[2014·福建卷] 若函数y=log a x(a>0,且a≠1)的图像如图1-2所示,则下列函数图像正确的是()图1-2A BC D 图1-38.B [解析] 由函数y =log a x 的图像过点(3,1),得a =3.选项A 中的函数为y =⎝ ⎛⎭⎪⎫13x,其函数图像不正确;选项B 中的函数为y =x 3,其函数图像正确;选项C 中的函数为y =(-x )3,其函数图像不正确;选项D 中的函数为y =log 3(-x ),其函数图像不正确,故选B.15.[2014·湖北卷] 如图1-4所示,函数y =f (x )的图像由两条射线和三条线段组成.若∀x ∈R ,f (x )>f (x -1),则正实数a 的取值范围为________.15.⎝ ⎛⎭⎪⎫0,16 [解析] “∀x ∈R ,f (x )>f (x -1)”等价于“函数y =f (x )的图像恒在函数y =f (x -1)的图像的上方”,函数y =f (x -1)的图像是由函数y =f (x )的图像向右平移一个单位得到的,如图所示.因为a >0,由图知6a <1,所以a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫0,16.13.、[2014·江苏卷] 已知f (x )是定义在R 上且周期为3的函数,当x ∈[0,3)时,f (x )=⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2-2x +12.若函数y =f (x )-a 在区间[-3,4]上有10个零点(互不相同),则实数a 的取值范围是________.13.⎝⎛⎭⎪⎫0,12 [解析] 先画出y =x 2-2x +12在区间[0,3]上的图像,再将x 轴下方的图像对称到x 轴上方,利用周期为3,将图像平移至区间[-3,4]内,即得f (x )在区间[-3,4]上的图像如下图所示,其中f (-3)=f (0)=f (3)=0.5,f (-2)=f (1)=f (4)=0.5.函数y =f (x )-a 在区间[-3,4]上有10个零点(互不相同)等价于y =f (x )的图像与直线y =a 有10个不同的交点,由图像可得a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0,12.15.、[2014·全国新课标卷Ⅰ] 设函数f (x )=⎩⎨⎧e x -1,x <1,x 13,x ≥1,则使得f (x )≤2成立的x 的取值范围是________.15.(-∞,8] [解析] 当x <1时,由e x -1≤2,得x <1;当x ≥1时,由x 13≤2,解得1≤x ≤8,综合可知x 的取值范围为x ≤8.6.,[2014·山东卷] 已知函数y =log a (x +c )(a ,c 为常数,其中a >0,a ≠1)的图像如图1-1所示,则下列结论成立的是( )图1-1A .a >1,x >1B .a >1,0<c <1C .0<a <1,c >1D .0<a <1,0<c <16.D [解析] 由该函数的图像通过第一、二、四象限,得该函数是减函数,∴0<a <1.∵图像与x 轴的交点在区间(0,1)之间,∴该函数的图像是由函数y =log a x 的图像向左平移不到1个单位后得到的,∴0<c <1.九、 函数与方程6.[2014·北京卷] 已知函数f (x )=6x -log 2x ,在下列区间中,包含f (x )的零点的区间是( )A .(0,1)B .(1,2)C .(2,4)D .(4,+∞)6.C [解析] 方法一:对于函数f (x )=6x -log 2x ,因为f (2)=2>0,f (4)=-0.5<0,根据零点的存在性定理知选C.方法二:在同一坐标系中作出函数h (x )=6x 与g (x )=log 2x 的大致图像,如图所示,可得f (x )的零点所在的区间为(2,4).7.[2014·浙江卷] 已知函数f (x )=x 3+ax 2+bx +c ,且0<f (-1)=f (-2)=f (-3)≤3,则( )A .c ≤3B .3<c ≤6C .6<c ≤9D .c >97.C [解析] 由f (-1)=f (-2)=f (-3)得⎩⎪⎨⎪⎧-1+a -b +c =-8+4a -2b +c ,-8+4a -2b +c =-27+9a -3b +c⇒ ⎩⎪⎨⎪⎧-7+3a -b =0,19-5a +b =0⇒⎩⎪⎨⎪⎧a =6,b =11, 则f (x )=x 3+6x 2+11x +c ,而0<f (-1)≤3,故0<-6+c ≤3,∴6<c ≤9,故选C.10.[2014·重庆卷] 已知函数f (x )=⎩⎨⎧1x +1-3,x ∈(-1,0],x ,x ∈(0,1],且g (x )=f (x )-mx -m 在(-1,1]内有且仅有两个不同的零点,则实数m 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤-94,-2∪⎝⎛⎦⎥⎤0,12 B.⎝ ⎛⎦⎥⎤-114,-2∪⎝ ⎛⎦⎥⎤0,12 C.⎝ ⎛⎦⎥⎤-94,-2∪⎝⎛⎦⎥⎤0,23 D.⎝ ⎛⎦⎥⎤-114,-2∪⎝ ⎛⎦⎥⎤0,23 10.A [解析] 作出函数f (x )的图像,如图所示.函数g (x )=f (x )-mx -m 的零点为方程f (x )-mx -m =0的根,即为函数y =f (x )与函数y =m (x +1)图像的交点.而函数y =m (x +1)的图像恒过定点P (-1,0),由图易知有两交点的边界有四条,其中k PO =0,k P A =12,k PB =-2,第四条为过P 点的曲线y =1x +1-3的切线PC .将y =m (x +1)(m ≠0)代入y =1x +1-3,得mx 2+(2m +3)x +m +2=0,则由Δ=(2m +3)2-4m (m +2)=4m +9=0,得m =-94,即k PC =-94,所以由图可知满足条件的实数m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫-94,-2∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0,12.15.[2014·福建卷] 函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x 2-2,x ≤0,2x -6+ln x ,x >0的零点个数是________. 15.2 [解析] 当x ≤0时,f (x )=x 2-2,令x 2-2=0,得x =2(舍)或x =-2,即在区间(-∞,0)上,函数只有一个零点.当x >0时,f (x )=2x -6+ln x ,令2x -6+ln x =0,得ln x =6-2x .作出函数y =ln x 与y =6-2x 在区间(0,+∞)上的图像,则两函数图像只有一个交点,即函数f (x )=2x -6+ln x (x >0)只有一个零点. 综上可知,函数f (x )的零点的个数是2.9.、[2014·湖北卷] 已知f (x )是定义在R 上的奇函数,当x ≥0时,f (x )=x 2-3x ,则函数g (x )=f (x )-x +3的零点的集合为( )A .{1,3}B .{-3,-1,1,3}C .{2-7,1,3}D .{-2-7,1,3}9.D [解析] 设x <0,则-x >0,所以f (x )=-f (-x )=-[(-x )2-3(-x )]=-x 2-3x .求函数g (x )=f (x )-x +3的零点等价于求方程f (x )=-3+x 的解.当x ≥0时,x 2-3x =-3+x ,解得x 1=3,x 2=1;当x <0时,-x 2-3x =-3+x ,解得x 3=-2-7.故选D.13.、[2014·江苏卷] 已知f (x )是定义在R 上且周期为3的函数,当x ∈[0,3)时,f (x )=⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2-2x +12.若函数y =f (x )-a 在区间[-3,4]上有10个零点(互不相同),则实数a 的取值范围是________.13.⎝ ⎛⎭⎪⎫0,12 [解析] 先画出y =x 2-2x +12在区间[0,3]上的图像,再将x 轴下方的图像对称到x 轴上方,利用周期为3,将图像平移至区间[-3,4]内,即得f (x )在区间[-3,4]上的图像如下图所示,其中f (-3)=f (0)=f (3)=0.5,f (-2)=f (1)=f (4)=0.5.函数y =f (x )-a 在区间[-3,4]上有10个零点(互不相同)等价于y =f (x )的图像与直线y =a 有10个不同的交点,由图像可得a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0,12.4.[2014·江西卷] 已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧a ·2,x ≥0,2-x ,x <0(a ∈R ).若f [f (-1)]=1,则a =( )A.14B.12 C .1 D .24.A [解析] 因为f (-1)=21=2,f (2)=a ·22=4a =1,所以a =14.15.[2014·浙江卷] 设函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x 2+2x +2,x ≤0,-x 2, x >0.若f (f (a ))=2,则a =________. 15.2 [解析] 令t =f (a ),若f (t )=2,则t 2+2t +2=2 满足条件,此时t =0或t =-2,所以f (a )=0或f (a )=-2,只有-a 2=-2满足条件,故a = 2.21.[2014·全国卷] 函数f (x )=ax 3+3x 2+3x (a ≠0).(1)讨论f (x )的单调性;(2)若f (x )在区间(1,2)是增函数,求a 的取值范围.21.解:(1)f ′(x )=3ax 2+6x +3,f ′(x )=0的判别式Δ=36(1-a ).(i)若a ≥1,则f ′(x )≥0,且f ′(x )=0当且仅当a =1,x =-1时成立.故此时f (x )在R 上是增函数.(ii)由于a ≠0,故当a <1时,f ′(x )=0有两个根;x 1=-1+1-a a ,x 2=-1-1-a a. 若0<a <1,则当x ∈(-∞,x 2)或x ∈(x 1,+∞)时,f ′(x )>0,故f (x )分别在(-∞,x 2),(x 1,+∞)是增函数;当x ∈(x 2,x 1)时,f ′(x )<0,故f (x )在(x 2,x 1)是减函数.若a <0,则当x ∈(-∞,x 1)或(x 2,+∞)时,f ′(x )<0,故f (x )分别在(-∞,x 1),(x 2,+∞)是减函数;当x ∈(x 1,x 2)时f ′(x )>0,故f (x )在(x 1,x 2)是增函数.(2)当a >0,x >0时,f ′(x )=3ax 2+6x +3>0,故当a >0时,f (x )在区间(1,2)是增函数.当a <0时,f (x )在区间(1,2)是增函数当且仅当f ′(1)≥0且f ′(2)≥0,解得-54≤a <0.综上,a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫-54,0∪(0,+∞). 14.[2014·天津卷] 已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧|x 2+5x +4|,x ≤0,2|x -2|,x >0.若函数y =f (x )-a |x |恰有4个零点,则实数a 的取值范围为________.14.(1,2) [解析] 在同一坐标系内分别作出y =f (x )与y =a |x |的图像,如图所示,当y =a |x |与y =f (x )的图像相切时,联立⎩⎪⎨⎪⎧-ax =-x 2-5x -4,a >0,整理得x 2+(5-a )x +4=0,则Δ=(5-a )2-4×1×4=0,解得a =1或a =9(舍去),∴当y =a |x |与y =f (x )的图像有四个交点时,有1<a <2.十、 函数模型及其应用8.[2014·北京卷] 加工爆米花时,爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”.在特定条件下,可食用率p 与加工时间t (单位:分钟)满足函数关系p =at 2+bt +c (a ,b ,c 是常数),图1-2记录了三次实验的数据.根据上述函数模型和实验数据,可以得到最佳加工时间为( )图1-2A .3.50分钟B .3.75分钟C .4.00分钟D .4.25分钟8.B[解析] 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧0.7=9a +3b +c ,0.8=16a +4b +c ,0.5=25a +5b +c ,解之得⎩⎪⎨⎪⎧a =-0.2,b =1.5,c =-2, ∴p =-0.2t 2+1.5t -2=-0.2(t -3.75)2+0.8125,即当t =3.75时,p 有最大值.10.[2014·陕西卷] 如图1-2所示,修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连接(相切).已知环湖弯曲路段为某三次函数图像的一部分,则该函数的解析式为()图1-2A .y =12x 3-12x 2-xB .y =12x 3+12x 2-3xC .y =14x 3-xD .y =14x 3+12x 2-2x10.A [解析] 由题意可知,该三次函数的图像过原点,则其常数项为0,不妨设其解析式为y =f (x )=ax 3+bx 2+cx ,则f ′(x )=3ax 2+2bx +c ,∴f ′(0)=-1,f ′(2)=3,可得c =-1,3a +b =1.又y =ax 3+bx 2+cx 过点(2,0),∴4a +2b =1,∴a =12,b =-12,c =-1,∴y =f (x )=12x 3-12x 2-x .十一、 导数及其运算21.、、[2014·陕西卷] 设函数f (x )=ln x +m x ,m ∈R .(1)当m =e(e 为自然对数的底数)时,求f (x )的极小值;(2)讨论函数g (x )=f ′(x )-x 3零点的个数;(3)若对任意b >a >0,f (b )-f (a )b -a<1恒成立,求m 的取值范围. 21.解:(1)由题设,当m =e 时,f (x )=ln x +e x ,则f ′(x )=x -e x 2,∴当x ∈(0,e)时,f ′(x )<0,f (x )在(0,e)上单调递减;当x ∈(e ,+∞)时,f ′(x )>0,f (x )在(e ,+∞)上单调递增.∴x =e 时,f (x )取得极小值f (e)=ln e +e e =2,∴f (x )的极小值为2.(2)由题设g (x )=f ′(x )-x 3=1x -m x 2-x 3(x >0),令g (x )=0,得m =-13x 3+x (x >0),设φ(x )=-13x 3+x (x ≥0),则φ′(x )=-x 2+1=-(x -1)(x +1),当x ∈(0,1)时,φ′(x )>0,φ(x )在(0,1)上单调递增;当x ∈(1,+∞)时,φ′(x )<0,φ(x )在(1,+∞)上单调递减.∴x =1是φ(x )的唯一极值点,且是极大值点,因此x =1也是φ(x )的最大值点,∴φ(x )的最大值为φ(1)=23.又φ(0)=0,结合y =φ(x )的图像(如图所示),可知①当m >23时,函数g (x )无零点;②当m =23时,函数g (x )有且只有一个零点;③当0<m <23时,函数g (x )有两个零点;④当m ≤0时,函数g (x )有且只有一个零点.综上所述,当m >23时,函数g (x )无零点;当m =23或m ≤0时,函数g (x )有且只有一个零点;当0<m <23时,函数g (x )有两个零点.(3)对任意的b >a >0,f (b )-f (a )b -a<1恒成立,等价于f (b )-b <f (a )-a 恒成立.(*) 设h (x )=f (x )-x =ln x +mx -x (x >0), ∴(*)等价于h (x )在(0,+∞)上单调递减. 由h ′(x )=1x -mx 2-1≤0在(0,+∞)上恒成立, 得m ≥-x 2+x =-⎝ ⎛⎭⎪⎫x -122+14(x >0)恒成立,∴m ≥14⎝ ⎛⎭⎪⎫对m =14,h ′(x )=0仅在x =12时成立,∴m 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫14,+∞.20.、[2014·安徽卷] 设函数f (x )=1+(1+a )x -x 2-x 3,其中a >0. (1)讨论f (x )在其定义域上的单调性;(2)当x ∈[0,1]时,求f (x )取得最大值和最小值时的x 的值. 20.解: (1)f (x )的定义域为(-∞,+∞), f ′(x )=1+a -2x -3x 2.令f ′(x )=0,得x 1=-1-4+3a3, x 2=-1+4+3a 3,且x 1<x 2, 所以f ′(x )=-3(x -x 1)(x -x 2). 当x <x 1或x >x 2时,f ′(x )<0;当x 1<x <x 2时,f ′(x )>0.故f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫-∞,-1-4+3a 3和 ⎝ ⎛⎭⎪⎫-1+4+3a 3,+∞内单调递减, 在⎝ ⎛⎭⎪⎫-1-4+3a 3,-1+4+3a 3内单调递增. (2)因为a >0,所以x 1<0,x 2>0,①当a ≥4时,x 2≥1,由(1)知,f (x )在[0,1]上单调递增,所以f (x )在x =0和x =1处分别取得最小值和最大值.②当0<a <4时,x 2<1,由(1)知,f (x )在[0,x 2]上单调递增,在[x 2,1]上单调递减,因此f (x )在x =x 2=-1+4+3a3处取得最大值.又f (0)=1,f (1)=a , 所以当0<a <1时,f (x )在x =1处取得最小值; 当a =1时,f (x )在x =0和x =1处同时取得最小值; 当1<a <4时,f (x )在x =0处取得最小值. 20.、[2014·北京卷] 已知函数f (x )=2x 3-3x . (1)求f (x )在区间[-2,1]上的最大值;(2)若过点P (1,t )存在3条直线与曲线y =f (x )相切,求t 的取值范围; (3)问过点A (-1,2),B (2,10),C (0,2)分别存在几条直线与曲线y =f (x )相切?(只需写出结论)20.解:(1)由f (x )=2x 3-3x 得f ′(x )=6x 2-3. 令f ′(x )=0,得x =-22或x =22.因为f (-2)=-10,f ⎝ ⎛⎭⎪⎫-22=2,f ⎝ ⎛⎭⎪⎫22=-2,f (1)=-1,所以f (x )在区间[-2,1]上的最大值为f ⎝⎛⎭⎪⎫-22= 2.(2)设过点P (1,t )的直线与曲线y =f (x )相切于点(x 0,y 0),则y 0=2x 30-3x 0,且切线斜率为k =6x 20-3,所以切线方程为y -y 0=(6x 20-3)(x -x 0), 因此t -y 0=(6x 20-3)(1-x 0),整理得4x 30-6x 20+t +3=0,设g (x )=4x 3-6x 2+t +3,则“过点P (1,t )存在3条直线与曲线y =f (x )相切”等价于“g (x )有3个不同零点”.g ′(x )=12x 2-12x =12x (x -1).当x 变化时,g (x )与g ′(x )的变化情况如下:所以,g (0)=t +3是g (x )的极大值,g (1)=t +1是g (x )的极小值.结合图像知,当g (x )有3个不同零点时,有⎩⎪⎨⎪⎧g (0)=t +3>0,g (1)=t +1-0,解得-3<t <-1.故当过点P (1,t )存在3条直线与曲线y =f (x )相切时,t 的取值范围是(-3,-1).(3)过点A (-1,2)存在3条直线与曲线y =f (x )相切;过点B(2,10)存在2条直线与曲线y=f(x)相切;过点C(0,2)存在1条直线与曲线y=f(x)相切.22.、[2014·福建卷] 已知函数f(x)=e x-ax(a为常数)的图像与y轴交于点A,曲线y=f(x)在点A处的切线斜率为-1.(1)求a的值及函数f(x)的极值;(2)证明:当x>0时,x2<e x;(3)证明:对任意给定的正数c,总存在x0,使得当x∈(x0,+∞)时,恒有x <c e x.22.解:方法一:(1)由f(x)=e x-ax,得f′(x)=e x-a.又f′(0)=1-a=-1,得a=2.所以f(x)=e x-2x,f′(x)=e x-2.令f′(x)=0,得x=ln 2.当x<ln 2时,f′(x)<0,f(x)单调递减;当x>ln 2时,f′(x)>0,f(x)单调递增.所以当x=ln 2时,f(x)有极小值,且极小值为f(ln 2)=e ln 2-2ln 2=2-ln 4,f(x)无极大值.(2)证明:令g(x)=e x-x2,则g′(x)=e x-2x.由(1)得,g′(x)=f(x)≥f(ln 2)=2-ln 4>0,即g′(x)>0.所以g(x)在R上单调递增,又g(0)=1>0,所以当x >0时,g (x )>g (0)>0,即x 2<e x . (3)证明:对任意给定的正数c ,取x 0=1c , 由(2)知,当x >0时,x 2<e x .所以当x >x 0时,e x >x 2>1c x ,即x <c e x .因此,对任意给定的正数c ,总存在x 0,当x ∈(x 0,+∞)时,恒有x <c e x . 方法二:(1)同方法一. (2)同方法一.(3)证明:令k =1c (k >0),要使不等式x <c e x 成立,只要e x >kx 成立. 而要使e x >kx 成立,则只需要x >ln(kx ), 即x >ln x +ln k 成立.①若0<k ≤1,则ln k ≤0,易知当x >0时,x >ln x ≥ln x +ln k 成立. 即对任意c ∈[1,+∞),取x 0=0, 当x ∈(x 0,+∞)时,恒有x <c e x .②若k >1,令h (x )=x -ln x -ln k ,则h ′(x )=1-1x =x -1x , 所以当x >1时,h ′(x )>0,h (x )在(1,+∞)上单调递增. 取x 0=4k ,h (x 0)=4k -ln(4k )-ln k =2(k -ln k )+2(k -ln 2), 易知k >ln k ,k >ln 2,所以h (x 0)>0.因此对任意c ∈(0,1),取x 0=4c ,当x ∈(x 0,+∞)时,恒有x <c e x . 综上,对任意给定的正数c ,总存在x 0,当x ∈(x 0,+∞)时,恒有x <c e x . 方法三:(1)同方法一.(2)同方法一.(3)证明:①若c ≥1,取x 0=0, 由(2)的证明过程知,e x >2x ,所以当x ∈(x 0,+∞)时,有c e x ≥e x >2x >x , 即x <c e x . ②若0<c <1,令h (x )=c e x -x ,则h ′(x )=c e x -1. 令h ′(x )=0得x =ln 1c .当x >ln 1c 时,h ′(x )>0,h (x )单调递增. 取x 0=2ln 2c ,则h (x 0)=c e2ln 2c -2ln 2c =2⎝ ⎛⎭⎪⎫2c -ln 2c ,易知2c -ln 2c >0,又h (x )在(x 0,+∞)内单调递增, 所以当x ∈(x 0,+∞)时,恒有h (x )>h (x 0)>0, 即x <c e x .综上,对任意给定的正数c ,总存在x 0,当x ∈(x 0,+∞)时,恒有x <c e x . 11.、[2014·广东卷] 曲线y =-5e x +3在点(0,-2)处的切线方程为________.11.5x +y +2=0 [解析] ∵y ′=-5e x ,∴所求切线斜是k =-5e 0=-5,∴切线方程是y -(-2)=-5(x -0),即5x +y +2=0.11.[2014·江苏卷] 在平面直角坐标系xOy 中,若曲线y =ax 2+bx (a ,b 为常数)过点P (2,-5),且该曲线在点P 处的切线与直线7x +2y +3=0平行,则a +b 的值是________.11.-3 [解析] 易知y ′=2ax -bx 2.根据题意有⎩⎪⎨⎪⎧-5=4a +b 2,4a -b 4=-72,解得⎩⎪⎨⎪⎧a =-1,b =-2,故a +b =-3.23.、[2014·江苏卷] 已知函数f 0(x )=sin xx (x >0),设f n (x )为f n -1(x )的导数,n ∈N *.(1)求2f 1⎝ ⎛⎭⎪⎫π2+π2f 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2的值;(2)证明:对任意的n ∈N *,等式⎪⎪⎪⎪⎪⎪nf n -1⎝ ⎛⎭⎪⎫π4+π4f n ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4=22都成立. 23.解: (1)由已知,得f 1(x )=f ′0(x )=⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x x ′=cos x x -sin xx 2,于是f 2(x )=f 1′(x )=⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x x ′-⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x x 2′=-sin x x -2cos x x 2+2sin xx 3,所以f 1⎝ ⎛⎭⎪⎫π2=-4π,f 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2=-2π+16π.故2f 1⎝ ⎛⎭⎪⎫π2+π2f 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2=-1.(2)证明:由已知得,xf 0(x )=sin x ,等式两边分别对x 求导,得f 0(x )+xf 0′(x )=cos x ,即f 0(x )+xf 1(x )=cos x =sin ⎝⎛⎭⎪⎫x +π2.类似可得2f 1(x )+xf 2(x )=-sin x =sin(x +π),3f 2(x )+xf 3(x )=-cos x =sin ⎝⎛⎭⎪⎫x +3π2,4f 3(x )+xf 4(x )=sin x =sin(x +2π).下面用数学归纳法证明等式nf n -1(x )+xf n (x )=sin ⎝⎛⎭⎪⎫x +n π2对所有的n ∈N *都成立.(i)当n =1时,由上可知等式成立.(ii)假设当n =k 时等式成立,即kf k -1(x )+xf k (x )=sin ⎝⎛⎭⎪⎫x +k π2.因为[kf k -1(x )+xf k (x )]′=kf k -1′(x )+f k (x )+xf k ′(x )=(k +1)f k (x )+xf k +1(x ),⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x +k π2′=cos ⎝⎛⎭⎪⎫x +k π2·⎝⎛⎭⎪⎫x +k π2′=sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x +(k +1)π2, 所以(k +1)f k (x )+xf k +1(x )=sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x +(k +1)π2, 因此当n =k +1时,等式也成立.综合(i)(ii)可知,等式nf n -1(x )+xf n (x )=sin ⎝⎛⎭⎪⎫x +n π2对所有的n ∈N *都成立. 令x =π4,可得nf n -1⎝ ⎛⎭⎪⎫π4+π4f n ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4=sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4+n π2(n ∈N *),所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪nf n -1⎝ ⎛⎭⎪⎫π4+π4f n ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4=(n ∈N *).。