1．在△ABC 中，∠A ∶∠B ∶∠C ＝1∶2∶3，CD ⊥AB 于D ，AB ＝a ，则DB ＝（ ） A ．
4
a B ．
3
a C ．
2
a D ．
4
3a 2．如图，AD 是△ABC 高线，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，则(1)AD 2＝BD ·CD (2)AD 2＝AE ·AB (3)AD 2
＝AF ·AC (4)AD 2＝AC 2－AC ·CF 中正确的有( )
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
3．如图，AB 是⊙O 的直径，C ，D 是半圆的三等分点，则∠C ＋∠E ＋∠D ＝( )
A ．135°
B ．110°
C ．145°
D ．120° 4．如图，以等腰三角形的腰为直径作圆，交底边于D ，连结AD ，那么( )
A ．∠BAD ＋∠CAD ＝90°
B ．∠BAD ＞∠CAD
C ．∠BA
D ＝∠CAD D ．∠BAD ＜∠CAD
二、填空题
5．在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC 于D ，AB ＝2，DB ＝1，则DC ＝______，AD ＝______．
6．在Rt △ABC 中，AD 为斜边上的高，S △ABC ＝4S △ABD ，则AB ∶BC ＝______．
7．如图，AB 是半圆O 的直径，点C 在半圆上，CD ⊥AB 于点D ，且AD ＝3DB ，设∠COD ＝θ ，
则tan 2
2
θ
______．
8．如图，AB是⊙O的直径，CB切⊙O与B，CD切⊙O与D，交BA的延长线于E．若AB＝3，ED＝2，则BC的长为______．
9．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，⊙O为内切圆，E为切点，
(Ⅰ)求∠AOD的度数；
(Ⅱ)若AO＝8 cm，DO＝6 cm，求OE的长．
10．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，O是AB上一点，以OA为半径的⊙O经过点D．
(1)求证：BC是⊙O切线；
(2)若BD＝5，DC＝3，求AC的长．
11．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，且CD⊥AB于E，连结AC、OC、BC．
(1)求证：∠ACO＝∠BCD；
(2)若BE＝2，CD＝8，求AB和AC的长．
专题十三 相似三角形定理与圆幂定理参考答案
习题13
一、选择题：
1．A 2．C 3．D 4．C 二、填空题
5．3,3 6．1∶2 7．
3
1
8．3 三、解答题
9．(Ⅰ)∵AB ∥CD ，
∴∠BAD ＋∠ADC ＝180°.∵⊙O 内切于梯形ABCD ，
∴AO 平分∠BAD ，有∠DAO ＝21
∠BAD ， 又DO 平分∠ADC ，有∠ADO ＝2
1
∠ADC ．
∴∠DAO ＋∠ADO ＝2
1
(∠BAD ＋∠ADC )＝90°，∴∠AOD ＝180°－(∠DAO ＋∠ADO )＝
90°．
(Ⅱ)∵在Rt △AOD 中，AO ＝8cm ，DO ＝6cm ， ∴由勾股定理，得
.cm 1022=+DO AO
∵E 为切点，∴OE ⊥AD ．有∠AEO ＝90°，∴∠AEO ＝∠AOD ． 又∠CAD 为公共角，∴△AEO ∽△AOD ． ∴
cm 8.4,==∴=⋅AD
OD
AO OE AD AO OD OE . 10．(1)连接OD ．∵OA ＝OD ，AD 平分∠BAC ，
∴∠ODA ＝∠OAD ，∠OAD ＝∠CAD ．∴∠ODA ＝∠CAD ． ∴OD ∥AC ．∴∠ODB ＝∠C ＝90°．∴BC 是⊙O 的切线． (2)过D 作DE ⊥AB 于E ．∴∠AED ＝∠C ＝90°．
又∵AD ＝AD ，∠EAD ＝∠CAD ，∴△AED ≌△ACD ． ∴AE ＝AC ，DE ＝DC ＝3．
在Rt △BED 中，∠BED ＝90°，由勾股定理，得
422=-=
DE BD BE ，设AC ＝x (x ＞0)，则AE ＝x ．
在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝BD ＋DC ＝8，AB ＝x ＋4，由勾股定理，得 x 2＋82＝(x ＋4)2．解得x ＝6．即AC ＝6．
11．(1)连结BD ，∵AB 是⊙O 的直径，CD ⊥AB ，
∴＝．∴∠1＝∠2．
又∵OA ＝OC ，∴∠1＝∠A ．∴∠1＝∠2． 即：∠ACO ＝∠BCD ．
(2)由(1)问可知，∠A ＝∠2，∠AEC ＝∠CEB ．
∴△ACE ∽△CBE ．∴
CE
AE
BE CE =
．∴CE 2＝BE ·AE ． 又CD ＝8，∴CE ＝DE ＝4． ∴AE ＝8．∴AB ＝10．∴AC ＝
.548022==+CE AE
模拟题集锦：
1、 如图，已知⊙O 的直径5AB =，C 为圆周上一 点，4=BC ，过点C 作⊙O 的切线l ，过点A 作
l 的垂线AD ，垂足为D ，则CD =___________．
2、如图，已知PA 是圆O 的切线，切点为A ，PO 交圆O 于,B C 两点，3,1PA PB ==，
则圆O 的半径为 ，C ∠ .
3、如图，PAB 、PC 分别是圆O 的割线和切线（C 为切点），若3PA AB ==，则PC 的长为
A ．62
B ．6
C ．32
D ．3
O
A
D
C
B
A
B P
C
O
A
B
C O
4、如图，PC 切O 于点C ，割线PAB 经过圆心O ，弦CD AB ⊥于点E ，已知
O 的半径为3，2PA =，则PC =_________，
OE =_________.
5、如图，圆O 和圆O '相交于A ，B 两点，AC 是圆O '的切线，AD 是
圆O 的切线，若BC ＝2，AB ＝4，则=BD _.
6、如右图:PA 切
O 于点A ，4PA =，PBC 过圆心O ，且与圆相交于B 、C 两点，
:1:2AB AC =，则O 的半径为 ．
7、如下图，在圆内接四边形ABCD 中, 对角线, AC BD 相交于
点E ．已知23BC CD ==，2AE EC =，30CBD ∠=， 则CAB ∠= 30 ，AC 的长是 6 ．
8、如图所示，过⊙O 外一点A 作一条直线与⊙O 交于C ，D 两点，AB 切⊙O 于B ，弦MN 过CD 的中点P ．已知AC =4，AB =6，则MP ·NP = 254
．
·
P
C
B
A D
E
O . .'O
C
O B
D
A B C
O
A
P
C D M O
B A
P。