云南省高中毕业生2019年第一次复习统一检测数学试卷（文）一、选择题：本大共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合{0,1,2}S =，{0,3}T =，P S T =，则P 的真子集共有（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个2．已知i 为虚数单位，则121ii-=+（ ） A ．1322i -- B ．1322i -+C ．1322i + D ．1322i - 3．某学校为了了解高一年级、高二年级、高三年级这三个年级的学生对学校有关课外活动内容与时间安排的意见，拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查，则最合理的抽样方法是（ ） A ．抽签法B ．随机数法C ．分层抽样法D ．系统抽样法4．已知点(1,1)A -，(0,2)B ，若向量(2,3)AC =-，则向量BC =（ ） A ．(3,2)-B ．(2,2)-C ．(3,2)--D ．(3,2)-5．执行如图所示的程序框图，则输出S 的值等于（ ）A ．201712B ．201812C ．201912D ．2020126．如图，网格纸上小正方形的边长为1（单位mm ），粗实线画出的是某种零件的三视图，则该零件的体积（单位：3mm ）为（ ）A ．10824π+B ．7216π+C ．9648π+D ．9624π+7．为得到函数2sin(3)3y x π=-的图象，只需要将函数2sin(3)2y x π=+的图象（ ） A ．向左平行移动6π个单位 B ．向右平行移动6π个单位C ．向左平行移动518π个单位D ．向右平行移动518π个单位8．已知,αβ都为锐角，若4tan 3β=，cos()0αβ+=，则cos2α的值是（ ） A ．1825B ．725C ．725-D ．1825-9．已知M 是抛物线2:2C y px =上的任意一点，以M 为圆心的圆与直线1x =-相切且经过点(1,0)N ，设斜率为1的直线与抛物线C 交于,P Q 两点，则线段PQ 的中点的纵坐标为（ ）A ．2B ．4C ．6D ．810．已知函数1222,1()log (1),1x x f x x x -⎧-≤=⎨-+>⎩，若()3f a =-，则(7)f a -=（ ）A ．73-B ．32-C ．35D ．4511．双曲线M 的焦点是12,F F ，若双曲线M 上存在点P ，使12PF F ∆是有一个内角为23π的等腰三角形，则M 的离心率是（ ）A 31B 21C 31+ D ．21212．已知e 是自然对数的底数，不等于1的两正数,x y 满足5log log 2x y y x +=，若log 1x y >，则ln x y 的最小值为（ ）A ．﹣1B ．1e-C ．12e-D ．2e-二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。

13．设向量(1,)a x x =-，(1,2)b =，若a b ⊥．则x = ．14．若,x y 满足约束条件4124x y x x y +≤⎧⎪≥⎨⎪-≤⎩，则目标函数z y x =-的最大值等于 ．15．已知ABC ∆中内角,,A B C 对的边分别为,,a b c ，23ABC π∠=，BD 平分ABC ∠交AC 于点D ，2BD =，则ABC ∆面积的最小值为 ．16．已知,,,,P A B C D 是球O 的球面上的五个点，四边形ABCD 为梯形，//AD BC ，2AB DC AD ===，4BC =，PA PD ⊥，平面PAD ⊥平面ABCD ，则球O 的表面积为三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17．（12分）数列{}n a 中，12a =，1(1)()2(1)n n n n a a a n ++-=++． （1）求23,a a 的值；（2）已知数列{}n a 的通项公式是1n a n =+，21n a n =+，2n a n n =+中的一个，设数列1{}na 的前n 项和为n S ，1{}n n a a +-的前n 项和为n T ，若360nnT S >，求n 的取值范围． 18．（12分）为降低汽车尾气排放量，某工厂设计制造了,A B 两种不同型号的节排器，规定性能质量评分在[80,100]的为优质品．现从该厂生产的,A B 两种型号的节排器中，分别随机抽取500件产品进行性能质量评分，并将评分分别分成以下六个组；[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，绘制成如图所示的频率分布直方图：（1）设500件A 型产品性能质量评分的中位数为M ，直接写出M 所在的分组区间； （2）请完成下面的列联表（单位：件）（把有关结果直接填入下面的表格中）；A 型节排器B 型节排器总计 优质品 非优质品 总计5005001000（3）根据（2）中的列联表，能否有99%的把握认为A 、B 两种不同型号的节排器性能质量有差异？附：22()()()()()n ad bc k a b c d a c b d -=++++．其中n a b c d =+++．20()P K k ≥0.10 0.010 0.001 0k2.7066.63510.82819．（12分）在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 为菱形，且3ABC π∠=，,M N 分别为棱,AP CD 的中点．（1）求证：//MN 平面PBC ；（2）若PD ⊥平面ABCD ，22PB AB ==，求点M 到平面PBC 的距离．20．（12分）已知椭圆E 的中心在原点，左焦点1F 、右焦点2F 都在x 轴上，点M 是椭圆E 上的动点，12F MF ∆3，在x 轴上方使122MF MF •=成立的点M 只有一个． （1）求椭圆E 的方程；（2）过点(1,0)-的两直线12,l l 分别与椭圆E 交于点,A B 和点,C D ，且12l l ⊥，求证：12(||||)7||||AB CD AB CD +=．21．（12分）已知e 是自然对数的底数，函数2()x x f x e =与1()()F x f x x x =-+的定义域都是(0,)+∞．（1）求函数()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程； （2）求证：函数()F x 只有一个零点0x ，且0(1,2)x ∈．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。

作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑。

[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）已知常数a 是实数，曲线1C 的参数方程为22444x t ty t ⎧=-⎨=-⎩（t 为参数），以原点O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为cos sin a θθ=． （1）写出1C 的普通方程与2C 的直角坐标方程；（2）设曲线1C 与2C 相交于,A B 两点，求||AB 的最小值． 23．[选修4-5：不等式选讲]已知函数()|2||23|f x x a x a =-+-+．（1）当2a =时，解关于x 的不等式()9f x ≤；（2）当2a ≠时，若对任意实数x ，()4f x ≥都成立，求实数a 的取值范围．参考答案一、选择题BACDC ADBAB CD 二、填空题 13.1314.215. 16. 16π 三、解答题17.（1）∵1(1)()2(1)n n n n a a a n ++-=++，∴1321n n n a a n ++=++ ∴21132611a a +=+=+322321221a a +=+=+（2）由数列{}n a 的通项公式是1n a n =+，21n a n =+，2n a n n =+中的一个，和26a =得数列{}n a 的通项公式是2(1)n a n n n n =+=+由(1)n a n n =+可得1111(1)1n a n n n n ==-++ ∴12111111111(1)()()122311n a a a n n n +++=-++++-=-++ ∴111n S n =-+ ∵2132111()()()n n n a a a a a a a a ++-+-++-=-，(1)n a n n =+ ∴221321()()()3n n a a a a a a n n +-+-++-=+即23n T n n =+由360nnT S >，得243570n n +->，解得17n >或21n <- ∵n 是正整数，∴所求n 的取值范围为17n >，且n 是正整数18.解：（1）[70,80)； （2）列联表如下：（3）由于221000(180360140320)1257.353 6.63532068050050017K ⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯ 所以有99%的把握认为,A B 两种不同型号的节排器性能质量有差异 19.（1）证明：设PB 的中点为G ，连接,MG GC ∵,M G 分别是,AP PB 的中点， ∴//MG AB 且12MG AB = 由已知得12CN AB =且//CN AB ∴//MG CN 且MG CN = ∴四边形MGCN 是平行四边形 ∴//MN GC∵MN ⊄平面PBC ，CG ⊂平面PBC ∴//MN 平面PBC（2）解：设点M 到平面PBC 的距离为h 由//MN 平面PBC 得 点N 到平面PBC 的距离也为h连接,,BD BN PN ，∵PD ⊥平面ABCD ∴PD BD ⊥，由题设得3PD =3BCN S ∆=1138P BCN BCN V S PD -∆=⨯= 在PBC ∆中，由已知得2PC =，2PB =，1BC =，15PBC S ∆=∴115312N PBC PBC h V S h -∆=⨯= 由P BCN N PBC V V --=，得1510h =∴点M 到平面PBC 15 20.（1）解：根据已知设椭圆E 的方程为22221(0)x y a b a b+=>>，22c a b =-∵在x 轴上方使122MF MF •=成立的点M 只有一个，∴在x 轴上方使122MF MF •=成立的点M 是椭圆E 的短轴的端点当点M是短轴的端点时，由已知得221232bc MF MF b c c⎧=⎪⎪•=-=⎨⎪=⎪⎩解得2a b =⎧⎪⎨=⎪⎩∴椭圆E 的方程为22143x y += （2）证明：若直线AB 的斜率为0或不存在时，||24AB a ==，且22||3b CD a ==或||24CD a ==且22||3b AB a==， 此时，12(||||)7||||AB CD AB CD +=若直线AB 的斜率存在且不为0时，设:(1)(0)AB y k x k =+≠由22(1)143y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得2222(43)84120k x k x k +++-=设),(),,(2211y x B y x A ，则2122843k x x k +=-+，212241243k x x k -=+于是221212(1)|||43k AB x x k +=-==+ 同理可得：2222112[()1]12(1)||1344()3k k CD k k-++==+-+ ∴2221134437||||12(1)12k k AB CD k ++++==+ 综上所述：12(||||)7||||AB CD AB CD +=21.（1）解：∵(2)'()xx x f x e -=∴切线的斜率1'(1)k f e ==，1(1)f e=，∴函数()f x 在点1(1,)e 处的切线方程为1y x e= （2）证明：∵1()()F x f x x x=-+，2()x x f x e =， ∴1(1)0F e =>，243(2)02F e =-<， ∴(1)(2)0F F <∴()F x 存在零点0x ，且0(1,2)x ∈ ∵2(2)1'()1x x x F x e x -=-- ∴当2x ≥时，'()0F x <当02x <<时，由2(2)(2)[]12x x x x +--≤= 2221111'()1110x F x e x x x≤--<--=-< ∴()F x 在(0,)+∞上是减函数，∴若10x >，20x >，12x x ≠，则12()()F x F x ≠∴函数()F x 只有一个零点0x ，且0(1,2)x ∈.22.（1）1C 的普通方程为28160y x --= 2C 的直角坐标方程为0x ay -=（2）设1122(,),(,)A ay y B ay y，则||AB =由208160x ay y x -=⎧⎨--=⎩得28160y ay --=，264640a ∆=+> ∴1212816y y a y y +=⎧⎨=-⎩，∴||8AB =≥当0a =时，||8AB =∴||AB 的最小值等于823.（1）当2a =时，()3|1|f x x =-由()9f x ≤得|1|3x -≤由|1|3x -≤得313x -≤-≤解：313x -≤-≤，得24x -≤≤∴当2a =时，关于x 的不等式()9f x ≤的解集为{|24}x R x ∈-≤≤（2）①当2a >时，232a a <- 333,23()3,232333,2x a x a a f x x a x a a x a x ⎧⎪-+>-⎪⎪=+-≤≤-⎨⎪⎪-+-<⎪⎩ 所以()f x 在(,)2a -∞上是减函数，在[,)2a +∞是增函数所以min 3()()322a a f x f ==-+， 由题设得3342a -+≥，解得23a ≤- 综上所述，a 的取值范围为214(,][,)33-∞-+∞.。