信息光学
二维冲激 函数的定义
INFORMATION OPTICS
类似普通函数的定义
( x x0 , y y0 ) ( x x0 ) ( y y0 )
0, ( x, y ) , x 0 , y 0时 x y 0时
(1.2.2)
或
一维阶跃函数
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1, x x0 1 step ( x x0 ) , x x0 2 0, x x0
Step(x)
(1.1.1)
x
二维阶跃函数
step( x x0 , y y0 ) step( x x0 )step( y y0 )
信息光学Βιβλιοθήκη INFORMATION OPTICS
第1章 傅里叶分析
信息光学
INFORMATION OPTICS
1.1 一些常用函数
1. 阶跃函数 2. 符号函数 3. 矩形（rect）函数 4. 斜坡函数三角状（tri或Λ）函数 5. sinc函数 6. 高斯函数 7. 圆域（circ）函数
信息光学 阶跃函数
(1.1.2)
信息光学 符号函数
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一维符号函数
sgn( x) 0, -1,
1, x x0 sgn( x x0 ) x0 1, -1, x x0
(1.1.3)
x0
x0
二维符号函数
sgn( x x0 , y y0 ) sgn( x x0 )sgn( y y0 )

g n ( x, y )dxdy 1
lim g n ( x, y ) 0, x 0, y 0
n
｝
（1.2.4）
常用的表现形式有
2 2 2 ( x, y) lim n2 exp n x y n
（1.2.5） （1.2.6）



( x, y )dxdy 1
｝
（1.2.3）
普通函数序列极限形式的定义
( x, y ) lim g n x, y
n
信息光学
INFORMATION OPTICS
普通函数序列极限形式的定义
对函数序列中的任一函数 g n x, y 来说，都有


三角状（tri或Λ）函数
二维三角函数
x y x y tri , tri tri a b a b
（1.1.9）
2D:
( x) ( y )
信息光学
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sinc函数
一维sinc函数
x sin a x sin c x a a
（1.1.14）
极坐标系中，圆域（circ）函数
r 1, r r0 circ r 0, 其他 0
（1.1.15）
r0 1，圆域函数为 circ r
圆域函数常用来表示 圆孔的透过率。
信息光学
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1.2 脉冲函数
1.2.1 δ函数的定义与性质
2D:
（1.1.11）
信息光学
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高斯函数
一维高斯函数的定义
2 x x Gaus exp a a
（1.1.12）
二维高斯函数的定义
2 2 x y x y Gaus Gaus exp a b a b
（1.1.10）
1D:
sin x sin c( x) x
sin c( x)
x
sinc函数 是光学中最重要的函数之一，与矩形函数 互为傅里叶变换
信息光学
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sinc函数
二维sinc函数
x y x y sin c , sin c sin c a b a b
δ函数是描述物理学中质量或能量在空间或时间上高度集中的各 种现象，如点光源、点脉冲、点电荷等物理模型的数学工具。
类似普通函数的定义
一维冲激 函数的定义
0, x x0 时 ( x x0 ) , x x0时



( x)dx 1
｝
(1.2.1a) (1.2.1b)
（1.1.13）
，二维高斯函数用极坐标表示 a b 1
Gausr exp r 2


高斯函数常用来描述激光器发出的高斯光束
信息光学
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圆域函数
x2 y2 circ r0
2 2 1 , x y r0 其他 0,
信息光学
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三角状（tri或Λ）函数
一维三角状（tri或 ∧ ）函数
x x 1 , tri a a 0 x a 其他
（1.1.8）
( x)
1D:
( x) 1 x ,
信息光学
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符号函数与阶跃函数的关系
(1.1.4)
sgn( x x0 ) 2step( x x0 ) 1
(1.1.5)
信息光学
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矩形（rect）函数
一维矩形函数
a x 1 , x rect 2 a 0 其他
rect(x)
(1.1.6)
1D:
rect(x)
x
信息光学
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矩形（rect）函数
二维矩形函数
x y x y rect , rect rect a b a b
（1.1.7）
2D:
rect(x)rect(y)
矩形（rect）函数在时域中表示理想的低通滤波器，在空域 中表示一个狭缝、孔径的透过率