cn ~ 关系曲线称为幅度频谱图； n ~ 关系曲线称为相位频谱图。
可画出频谱图。
周期信号频谱具有离散性、谐波性、收敛性 。
14
频谱图
幅度频谱
cn ~
cn c1
或
Fn ~ 曲线 c0
c3
离散谱，谱线
相位频谱
O 1 31
n ~ 曲线
n
O 1 31
15
二．指数函数形式的傅里叶级数
1．复指数正交函数集 e jn1t n 0,1,2
n
arctan
bn an
正弦形式 f (t ) d 0 d n sinn 1t n n1
d0 a0
an dn sin n
dn
an2 bn2
n
arctan
an bn
bn dn cos n
13
幅度频率特性和相位频率特性
周
期
信
号
可
分
解
为
直
流，
基
波
（
）
1
和
各
次
谐
波
（n1 : 基波角频率的整数倍）的线性组合。
dt
11
求周期锯齿波的三角函数形式的傅里叶级数展开式。
f (t)
A t
T1 t T1
f t
T1 2
1 A T1
a0 T1
2 T1
2
T1
t
d
t
0
2
T1 2
A/2 T1 2
t
an
2 T1
2
bn T1
T1
2 T1
2
A T1
t cos
n1t
T1
2 T1
2
A T1
t sin
1、由这类基本信号能构成相当广泛的一类信号 2、LTI系统对每一个基本信号的响应，在结构上因该 十分简单，以便使系统对任意输入的响应有一个方便的表 达式。
δ(t)，冲激响应，卷积 1
正弦信号通过LTI系统
电阻
iR t
1 R
vt
电感 v L diL t
dt
电容
d v t iLt
1 L
t v
1 T
T 0
f
(t)cosn1t d t
j1 T
T 0
f (t)sinn1t d t
1 2
an
jbn
F
(n1
)
1 T
T 0
f
(t)cosn1t d t
j1 T
T 0
f
(t)sinn1t d t
1 2
an
j bn
F (n1 ), F (n1 )是复数
由积分可知
t在一个周期内，n=0,1,...
T
2 T
cosn1t
sinm1 t
0
2 T
2 T
2
cosn1t
cosm1t
T 2
,
0,
mn mn
T 2 T 2
sinn1t
sinm1t
T 2
,
0,
mn mn
10
2．级数形式
周期信号 f t ,周期为T1 , 基波角频率为1
在满足狄氏条件时，可展成
d
i t C d t C
当
iL (t) Asin(t 时
vC (t) Asin(t
电阻
iR
t
1 R
vt
A R
sin(
t
)
电容
iC
t
C
d vt
dt
C
d
(
Asin( t
dt
))
AC
cos(t
)
电感v
L
diL t
dt
L
d
(
Asin( t
dt
))
LA
cos(t
) 2
• 指数信号与正弦信号具有相同的特性
2．级数形式 f (t ) F (n1 ) ejn1t
4
n
3．系数
利用复变函数的正交特性
F (n1 )
T1 f (t ) e jn1t d t
0
e e d t T1 jn1t jn1t
0
1 T1 f (t)e jn1t d t T1 0
5 16
说明
f (t ) F (n1 ) ejn1t
5
二．正弦信号激励下系统的稳态响应
设激励信号为sin0t ，系统的频率响应为H ( ) H ( ) ej ( )，
则系统的稳态响应为
r(t) H (0 ) sin 0t (0 )
正弦信号sin0t 作为激励的稳态响应为与激励同 频率的信号，幅度由H j0 加权，相移 0 。 H j 代表了系统对信号的处理效果。
2
T1
f (t ) a0 an cosn1t bn sinn1t
1
n1
称为三角形式的傅里叶级数，其系数
直流分量
1
a0 T
t0T f (t)d t
t0
余弦分量的幅度
2 an T
t0 T
t0
f (t)cos
n1t
dt
正弦分量的幅度
bn
2 T
t0 T
t0
f (t)sin n1t
• 由系统的组成来说：当输入为指数信号时， 系统的输出一定也是一个指数信号，只不 过指数信号幅值发生变化。
3
指数信号通过LTI系统的输出
利用卷积法：输入为 e jt
r e
jt
(t)
e j h(t )d
e j(t )h( )d
e jte j h( )d e jt e j h( )d
n 1t
dt dt
0 A
1
2π T1
(1)n1
nπ
n 1,2,3
周期锯齿波的傅里叶级数展开式为
f
t
0
A π
sin1t
A 2π
sin 21t
12
直流
基波
谐波
其他形式
余弦形式 f (t ) c0 cn cosn 1t n
2
n1
c0 a0
cn
a
2 n
bn2
an cn cos n bn cn sin n
线性时不变（LTI)系统分析方法
• 基本思路：已知一些基本信号，将任意一个信号e(t)
（或者我们需要研究的信号）用一个基本信号的线性组合 来表示（信号分解），如果已知基本信号通过LTI系统的 响应r(t)，那么任意信号通过系统的响应就可以用r(t)的线 性组合来表示。 • 这些基本信号应该具备下列性质：
6
7
§3.2 周期信号傅里叶 级数分析
8
主要内容
•三角函数形式的傅氏级数 • 指数函数形式的傅氏级数 •两种傅氏级数的关系 • 频谱图 •函数的对称性与傅里叶级数的关系 •周期信号的功率 •傅里叶有限级数与最小方均误差
9
一．三角函数形式的傅里叶级数
1.三角函数集
cosn1t ,sinn1t 是一个完备的正交函数集
4
n
F
n1
1 T1
T1 f (t)
0
e jn1t d t
5
• 周期信号可分解为 , 区间上的指数信号ejn1t
的线性组合。
• 如给出F (n1 )，则f t 惟一确定，(4)、(5)式是一对
变换对。
17
三．两种系数之间的关系及频谱图
F
(n1
)
1 T
T f (t拉公式
设
H ( j)
e jh( )d
则
r e
jt
(t
)
e
jt
H
(
j)
输入为正弦信号？
4
δ(t)
h（t）
et
e
t
d
r
t
e
ht
d
e(t)
r（t）
ejωt
H（t）
r e
jt
(t)
e
jt
H
(
j)
Sin(ωt)
r(t) H (0 ) sin 0t (0 )
H（t）
f(t)
r（t）
f (t) a0 an cosn1t bn sin n1t n 1