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整理得
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第%期
万优艳， 等： 几类含参变量积分方程的求解
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若 !、 " " #! 且 ! # *， " # *， !、 （ ） （ ） （ ） （ ） ， 、 为常数且 (# !$ % " % & "$ % ! % ’ * ( ) ， 为自然数， 则积分方程 * *
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故原方程的解为
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令 # - 2 $ 3， 则原方程变为 （ # - 3） （ # - 3） !" !3 #3! #, - *# $ %， (
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求（ % !（ +% ） E + ’ )（ ! % ）& !， ! %） $ 解 令! （ % ）’ % ， （ % ）’ % ， " ( ’ )， ) ’& ， ， 则 （ ） （ ） （ ） （ ） ， ! * ’ D !$ % " % & "$ % ! % ’ * 据定 ! ) &)， 理 ! 得 ! &（ 即（ 将 % ）’ % # & %， ! % ）’（% # & %）
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证
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由 （’） 式得
将 （)） 式代入 （*） 式， 得! ’ " （ . ) #） $ 故原方程的解为 （ ） ! $ " -+ + 当 & " $ 时， （(） 式为伯努利方程， 解得 # . & ) $） $ ［ +（ ! （ $ ）" + ’］ *! . # 将 （,） 式代入 （*） 式得 ! ’ " -$ ) & ) .
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解
# 令 # " $， 据定理 ! 得 ! )（ & " %， $ ）" $ )# ）
即（ $ ) # $， ! $ ）"（$ ) # $ + $ 定理 ! 设 （ ! $） #、 -、 . 为常数， &为 $’， 自然数， 且 & % ! 时， 若 & 取奇数， 则 - / "； 若& 取偶数， 则 - 为任意数且 - " "， 则积分方程 （ ! $ ）* # 可积， 且
$ （$）当 & " $ 时， 其解为 （ ； ! $ ）" -(. ) #） （!）当 & " $ 时， 其解为 # & . $ ) &） $ # （ $ ［ !$)（ $ ）" (（ (. & ) $） + * -$ ) & ) ］ . . 证 令 $ ) , " 0， 则原方程变为
（$）当 ! / " 时， 其解为 # （ ［& （ $ *! ］ ! $ ）" & ’） !-. ! ! 其中 ! ’ " ’ ； /01-. & & ! ! （!）当 ! 2 " 时， 其解为 $
可积， 且 （!）当 * ’ ! 时， 其解为 （ ! % ）’ 01% ； （)）当 * # ! 且 0 # * 时， 其解为 !& * !& * （ ） （ ） ! % ’ !& * % , 0 ； * 且 0 ’ * 时， 其解为 ! ! & （ （D）当 * # !， % ）’ （! & * ） %证 令 % & . ’ 2， 则原方程变为
设二阶可微函数 （ 满足方程 ! #）
由 （"%） 式得 由 （""） 式得
（ （ （ 2） 求 ! # ）$ - " ) # ) # （ # - 2 ） ! 2） !" ! 2， （ ! #） 1 解
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将 （"&） （"’） 两式代入 （"$） 式得 ! *" $ , 将上式代入 （"$）式， 得 ( # * # ( !& 变量分离， 得# $ !# # & )! 当 ! . % 时， 解得
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（ ! $） + 解： 令 # " $， （ 1 / "） 据 - " 1 . " $， & " #， ! $ !$ 定理 # 得 ! )（ ， 整理得 $ ） " + ) !［ + * 1 ) ! ) $］ （ ! $ ）" 1 （ +) ! $ 1 * $ ) 1!） & 注： 例 # 是文献 ［#］中的习题， 利用定理 # 可
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当 # " " 时， 将 （%）式 代 入 （#）式 得 ! ’ " $) & $) & $) & 故 ! （ $ ）"（$ ) & ） # ， $ * # ； 将 （%） 式代入 （#） 式得 ! 故 当 # " " 时， ’ " "， $) & ! （ $ ）"（$ ) & ） $+ 例 ! 设一阶可微函数 （ 满足 ! $）
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（ % ）, )" （ %） " 令 . ’ +" （ %） 上式变为 （ %） ! *