②积分常数的确定——边界条件和连续条件：
边界条件：梁在其支承处的挠度或转角是已知的， 这样的已知条件称为边界条件。 连续条件：梁的挠曲线是一条连续、光滑、平坦 的曲线。因此，在梁的同一截面上不可能有两个 不同的挠度值或转角值，这样的已知条件称为连 续条件。
边界条件
积分常数2n个=2n个
连续条件
列出图示结构的边界条件和连续条件。
8
代入（1）（2）得：
1 ( 1 qx3 1 qL3)
EI 6 6
1 ( 1 qx4 qL3 x qL4 )
EI 24
68
将 x 0 代入得：
A
qL3 6EI
（与C比较知E：I A C）
A
qL4 8EI
（与D比较知E：IA ）D
因此
常数C表示起始截面的转角×刚度(EI)
常数D表示起始截面的挠度×刚度(EI)
x L
2
2、
d 2
dx 2
M (x) EI z
EI" 1 qx2
2
积分一次： EI' EI 1 qx3 C （1）
积分二次：
6
EI 1 qx4 Cx D （2）
24
B X``
3、确定常数C、D.
由边界条件： x L, 0 代入（1）得： C 1 qL3
6
x L, y 0 代入（2）得： D 1 qL4
支座反力，分段列弯矩方程； 分段的原则:
①凡载荷有突变处（包括中间支座），应作为分段点；
②凡截面有变化处，或材料有变化处，应作为分段点；
③中间铰视为两个梁段间的联系，此种联系体现为两部分之间 的相互作用力，故应作为分段点；
(2)分段列出梁的挠曲线近似微分方程，并对其积分 两次
对挠曲线近似微分方程积分一次，得转角方程：
b2
)x],
BC段 (a x L)
2 ( x)
Fb 6LEI
dx 2
d2
dx2
＝
M（x） EI
近似解释： （1）忽略了剪力的影响； （2）由于小变形，略去 了曲线方程中的高次项。
(3)选用不同坐标系下的挠曲线近似微分方程
2 2
d2 dx2
＝
M(x) EI
d2 dx2
＝
M(x) EI
二 计算弯曲变形的两种方法
1、积分法——基本方法
利用积分法求梁变形的一般步骤： （1）建立坐标系（一般：坐标原点设在左 B右
B左 B右
列出图示结构的边界条件和连续条件。
A 0
解：边界条件： A 0
C 0
D左 D右
连续条件： D左 D右
B左 B右
积分常数的物理意义和几何意义
物理意义：将x=0代入转角方程和挠曲线方程，得
C 即EI坐o标原点处梁的转角，它的EI倍就是积分常数C；
(x) d 1 ( M (x)dx c)
dx EI
再积分一次，得挠曲线方程：
(x) 1 ( M (x)dx) cx D EI
(3)利用边界条件、连续条件确定积分常数
①积分常数的数目——取决于的分段数
M (x) —— n 段 积分常数——2n个
举例：
M (x) 分2段，则积分常数2x2=4个
由光滑连续条件： x a时，1 2
x a时，1 2
可解得：
C1
Fb 6L
(L2
b2 )
C2 ,
x L,B 0
（3） （4）
D1 D2 0
（2）
则简支梁的转角方程和挠度方程为
AC段 (0 x a)
1(x)
Fb 6LEI
[3x2
(L2
b2
)],
1 ( x)
Fb 6LEI
[x3
(L2
c
c
w
x
x
W（-） θ（-）
（1）坐标系的建立： 坐标原点一般设在梁的左端，并规 定：以变形前的梁轴线为x轴，向右为正；以y轴代表曲线 的纵坐标（挠度），向上为正。
（2）挠度的符号规定：向上为正，向下为负。
（3）转角的符号规定：逆时针转向的转角为正； 顺时针转向的转角为负。
1、挠曲线：
在平面弯曲的情况下，梁变形后的轴线在弯曲 平面内成为一条曲线，这条曲线称为挠曲线。
EI2 "
Fb L
x
F(x
a),
AC段 (0 x a)
EI1'
EI1
Fb 2L
x2
C1,
EI1
Fb 6L
x3
C1x
D1,
3、确定常数
BC段 (a x L)
EI2 '
EI2
Fb 2L
x2
F 2
(x
a)2
C2
EI2
Fb 6L
x3
F 6
(x
a)3
C2 x
D2 ,
由边界条件： x 0,A 0 （1）
例题2: 一简支梁受力如图所示。试求 (x),(x) 和 A,max 。
解： 1、求支座反力
FAy
Fb L
,
FBy
Fa L
2、分段列出梁的弯矩方程
y
x
F
x A
a
C
B
b
x
L
FBy
FAy
AC段 (0 x a)
BC段 (a x L)
Fb M1(x) FAx L x,
EI1"
Fb L
x,
Fb M 2 (x) L x F (x a),
F
q
M
轴线
弯曲后梁的轴线 （挠曲线）
纵向对称面
2、挠曲线的近似微分方程
(1)曲率与弯矩、抗弯刚度的关系
纯弯曲
1
＝
M EI
力学公式
横力弯曲 （ l／h＞5）
1
M（x）
＝
（x） EI
数学公式
d2w （1x）＝＋ －[1+(ddxw2 )2]3/2
dx
小挠度情形下
max＝（0.01－0.001）l ；
D E即I坐o标原点处梁的挠度的EI倍就是积分常数D。
几何意义：C——转角 D——挠度
(4)建立转角方程和挠曲线方程；
(5)计算指定截面的转角和挠度值，特别注意 和
所在截 面。
max
max
及其
例题1: 悬臂梁受力如图所示。求 A和 A 。
解： 取参考坐标系Axy。
y
q
1、列出梁的弯矩方程
A
M (x) 1 qx2 (0 x L)
一 弯曲变形的量度及符号规定
梁的挠度和转角
y
p
c
c
w
x
x
1、度量弯曲变形的两个量：
（1）挠度：梁轴线上的点在垂直于梁轴线方向的所发生的线 位移ω称为挠度。（工程上的一般忽略水平线位移）
（2）转角：梁变形后的横截面相对于原来横截面绕中性轴所 转过的角位移θ称为转角。
梁的挠度和转角 2、符号规定：
y
p
max 10 or 0.0175 rad.
横力弯曲
d2 （1x）＝＋－[1+(ddx2 )2]3/2
dx
( d )2 << 0
dx
1
M（x）
＝
（x）
EI
＋ －
d2 dx2
＝
M（x） EI
此即弹性曲线的小挠度微分方程
(2)挠曲线近似微分方程符号及近似解释
w
dw2 dx 2
0
2
M 0
M
M
o
x
选取如图坐标系，则 弯矩M与 d 2 恒为同号