重庆市一中数学全等三角形专题练习（解析版） 一、八年级数学轴对称三角形填空题（难） 1．在直角坐标系中，O 为坐标原点，已知点 A（1，2），点 P 是 y 轴正半轴上的一点，且△AOP 为等腰三角形，则点 P 的坐标为_____________．
【答案】5(0,5),(0,4),0,
4
【解析】 【分析】 有三种情况：①以O为圆心，以OA为半径画弧交y轴于D，求出OA即可；②以A为圆心，以OA为半径画弧交y轴于P，求出OP即可；③作OA的垂直平分线交y轴于C，则AC＝OC，根据勾股定理求出OC即可．
【详解】 有三种情况：①以O为圆心，以OA为半径画弧交y轴于D，则OA＝OD＝22125；
∴D（0，5）； ②以A为圆心，以OA为半径画弧交y轴于P，OP＝2×yA=4， ∴P（0，4）； ③作OA的垂直平分线交y轴于C，则AC＝OC，
由勾股定理得：OC＝AC＝2212OC，
∴OC＝54， ∴C（0，54）； 故答案为：5(0,5),(0,4),0,4．
【点睛】 本题主要考查对线段的垂直平分线，等腰三角形的性质和判定，勾股定理，坐标与图形性质等知识点的理解和掌握，能求出符合条件的所有情况是解此题的关键．
2．如图，ABC中，90BAC，ADBC，ABC的平分线BE交AD于点F，AG平分DAC．给出下列结论：①BADC；②EBCC；③AEAF；
④//FGAC；⑤EFFG．其中正确的结论是______．
【答案】①③④ 【解析】 【分析】 ①根据等角的余角相等即可得到结果，故①正确；②如果∠EBC=∠C，则
∠C=12∠ABC，由于∠BAC=90°，那么∠C=30°，但∠C不一定等于30°，故②错误；③
由BE、AG分别是∠ABC、∠DAC的平分线，得到∠ABF=∠EBD．由于∠AFE=∠BAD+∠FBA，∠AEB=∠C+∠EBD，得到∠AFE=∠AEB，可得③正确；④连接EG，先证明△ABN≌△GBN，得到AN=GN，证出△ANE≌△GNF，得∠NAE=∠NGF，进
而得到GF∥AE，故④正确；⑤由AE=AF，AE=FG，而△AEF不一定是等边三角形，得到EF不一定等于AE，于是EF不一定等于FG，故⑤错误．
【详解】 ∵∠BAC=90°，AD⊥BC， ∴∠C+∠ABC=90°，∠C+∠DAC=90°，∠ABC+∠BAD=90°， ∴∠ABC=∠DAC，∠BAD=∠C， 故①正确；
若∠EBC=∠C，则∠C=12∠ABC， ∵∠BAC=90°， 那么∠C=30°，但∠C不一定等于30°， 故②错误； ∵BE、AG分别是∠ABC、∠DAC的平分线， ∴∠ABF=∠EBD， ∵∠AFE=∠BAD+∠ABF，∠AEB=∠C+∠EBD， 又∵∠BAD=∠C， ∴∠AFE=∠AEF， ∴AF=AE， 故③正确； ∵AG是∠DAC的平分线，AF=AE， ∴AN⊥BE，FN=EN， 在△ABN与△GBN中，
∵90ABNGBNBNBNANBGNB， ∴△ABN≌△GBN（ASA）， ∴AN=GN， 又∵FN=EN，∠ANE=∠GNF， ∴△ANE≌△GNF（SAS）， ∴∠NAE=∠NGF， ∴GF∥AE，即GF∥AC， 故④正确； ∵AE=AF，AE=FG， 而△AEF不一定是等边三角形， ∴EF不一定等于AE， ∴EF不一定等于FG， 故⑤错误． 故答案为：①③④． 【点睛】 本题主要考查等腰三角形的判定和性质定理，全等三角形的判定和性质定理，直角三角形的性质定理，掌握掌握上述定理，是解题的关键．
3．如图，已知等边ABC的边长为8，E是中线AD上一点，以CE为一边在CE下方作等边CEF，连接BF并延长至点,NM为BN上一点，且5CMCN，则MN的长为_________． 【答案】6 【解析】 【分析】
作CG⊥MN于G，证△ACE≌△BCF，求出∠CBF=∠CAE=30°，则可以得出124CGBC，在Rt△CMG中，由勾股定理求出MG，即可得到MN的长． 【详解】 解：如图示：作CG⊥MN于G，
∵△ABC和△CEF是等边三角形，
∴AC=BC，CE=CF，∠ACB=∠ECF=60°，
∴∠ACB-∠BCE=∠ECF-∠BCE，
即∠ACE=∠BCF， 在△ACE与△BCF中 ACBCACEBCFCECF
∴△ACE≌△BCF（SAS）， 又∵AD是三角形△ABC的中线 ∴∠CBF=∠CAE=30°，
∴124CGBC， 在Rt△CMG中，2222543MGCMCG， ∴MN=2MG=6， 故答案为：6． 【点睛】 本题考查了勾股定理，等边三角形的性质，全等三角形的性质和判定的应用，解此题的关键是推出△ACF≌△BCF．
4．如图，点P是AOB内任意一点，OP=5 cm，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，PNPMMN的最小值是5 cm，则AOB的度数是__________．
【答案】30° 【解析】 试题解析：分别作点P关于OA、OB的对称点C、D，连接CD， 分别交OA、OB于点M、N，连接OC、OD、PM、PN、MN，如图所示：
∵点P关于OA的对称点为D，关于OB的对称点为C， ∴PM=DM，OP=OD，∠DOA=∠POA； ∵点P关于OB的对称点为C， ∴PN=CN，OP=OC，∠COB=∠POB，
∴OC=OP=OD，∠AOB=12∠COD， ∵PN+PM+MN的最小值是5cm， ∴PM+PN+MN=5， ∴DM+CN+MN=5， 即CD=5=OP， ∴OC=OD=CD， 即△OCD是等边三角形， ∴∠COD=60°， ∴∠AOB=30°．
5．如图，已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，直角∠EPF的顶点P是BC中点，两边PE、PF分别交AB、AC于点E、F，给出下列四个结论：
①AE=CF； ②△EPF是等腰直角三角形；
③EF=AB；
④12ABCAEPFSS四边形，当∠EPF在△ABC内绕顶点P旋转时(点E不与A、B重合)，上述
结论中始终正确的有________(把你认为正确的结论的序号都填上).
【答案】①②④ 【解析】 试题分析：∵∠APE、∠CPF都是∠APF的余角， ∴∠APE=∠CPF，
∵AB=AC，∠BAC=90°，P是BC中点，
∴AP=CP， ∴∠PAE=∠PCF，
在△APE与△CPF中，
{?PAEPCFAPCPEPAFPC ， ∴△APE≌△CPF（ASA），
同理可证△APF≌△BPE，
∴AE=CF，△EPF是等腰直角三角形，S四边形AEPF=12S
△ABC
，①②④正确；
而AP=12BC，当EF不是△ABC的中位线时，则EF不等于BC的一半，EF=AP， ∴故③不成立．
故始终正确的是①②④． 故选D． 考点：1．全等三角形的判定与性质；2．等腰直角三角形．
6．如图，在ABC中，ABAC，点D和点A在直线BC的同侧，,82,38BDBCBACDBC，连接,ADCD，则ADB的度数为__________．
【答案】30° 【解析】 【分析】 先根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理以及角的和差求出ABD的度数，然后作点D关于直线AB的对称点E，连接BE、CE、AE，如图，则BE=BD，∠EBA=∠DB，∠BEA=∠BDA，进而可得∠EBC=60°，由于BD=BC，从而可证△EBC是等边三角形，可得∠BEC=60°，EB=EC，进一步即可根据SSS证明△AEB≌△AEC，可得∠BEA的度数，问题即 得解决． 【详解】
解：∵ABAC，82BAC，∴180492BACABC， ∵38DBC，∴493811ABD， 作点D关于直线AB的对称点E，连接BE、CE、AE，如图，则BE=BD，∠EBA=∠DBA=11°，∠BEA=∠BDA， ∴∠EBC=11°+11°+38°=60°， ∵BD=BC，∴BE=BC，∴△EBC是等边三角形，∴∠BEC=60°，EB=EC， 又∵AB=AC，EA=EA，
∴△AEB≌△AEC（SSS），∴∠BEA=∠CEA=1302BEC， ∴∠ADB=30°．
【点睛】 本题考查了等腰三角形的性质、三角形的内角和定理、等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质以及轴对称的性质等知识，涉及的知识点多、综合性强，难度较大，作点D关于直线AB的对称点E，构造等边三角形和全等三角形的模型是解题的关键．
7．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E在BC的延长线上，G是AC上一点，且CG＝CD，F是GD上一点，且DF＝DE．若∠A＝100°，则∠E的大小为_____度．
【答案】10 【解析】 【分析】 由DF=DE，CG=CD可得∠E=∠DFE，∠CDG=∠CGD，再由三角形的外角的意义可得∠GDC=∠E+∠DFE=2∠E，∠ACB=∠CDG+∠CGD=2∠CD G，进而可得∠ACB=4∠E，最后代入数据即可解答.