专题7
全等三角形
知识归纳
1.定义：能够完全重合的两个
2.性质：全等△的对应边、对应角、对应角的平分线、对应边上的中线、高相等。
3.判定：SAS、ASA、AAS. SSS、HL.
4.判定两个△全等的思路：
(1)有两边对应相等时，找夹角相等或第三边相等。
(2)有一边和一角对应相等时，找另一角相等或夹角的另一边相等。
(3)有两角对应相等时，找一对对应边相等。
5.重要辅助线：“截长补短法”、“倍长中线法”。
特别提示
1 . △全等的判定中至少有一个条件是边。
2. SSA不一定全等。
3. △稳定的依据是SSSo
4•证两个△全等是证明角等、线段等的重要手段。
典例精析
1.(01重庆)如图1,某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的
玻璃，那么最省事的办法是()
A.带①去
B.带②去
C.带③去
D.带①和②去
2.下列判断正确的是()
A.有两边和其中一边的对角对应相等的两个△全等
B.三个角对应相等的△全等
C.有一边和一角对应相等的两个Rt△全等
D.有两角和一边对应相等的△全等
3.根据下列条件，能唯一画出AABC的是()
A. AB=3, BCM, AC=8
B. A B 二4, BC 二3, ZA=3()° C・ ZA=6()', ZB=45°, ABM D. ZC 二9(几AB 二6
4.如图2, AABC^ABAD, ZC 和ZD 对应，AC 和BD 对应，AB二8, BD二5, AD二7。
那么BC 的长为( )
A. 8
B. 5
C. 7
D.无法确定
5.如图3,已知AB二AC, AE二AD,则①Z\ABD竺Z\ACE；②ABOE竺△COD；③0在ZBAC的平分线上。
以上结
论 A.都正确 B.都不正确 C.只有一个正确 D.只有一个不正确 ()
6.如图4,在厶ABC屮，AB二AC, BF=CD, BD二CE, ZFDE二a,则下列结论正确的是()
7.如图5,己知AC、BD交于0点,OA=OB, OC=OD,则全等三角形有_______________________ 对。
8.如图6,已知C是ZAOB平分线上一点，点P、P分别在边04、03上，如果要得到OP=OP ,需要
添加以下条件中的一个即可，请你写出所有可能结果的序号为_____________________ o
(1) Z0CP=Z0CP (2) Z0PC = Z0P C (3) PC = P C (4) PP丄0C
9.如图7,己知AB二AC, BD二DC, AD与BC交于点E,由这些条件你能推岀哪些结论？(至少写出两个) 。
D. a +ZA=180°
图2 图3
C. 2a+ZA二90°
A
13.
（07重庆）如图11, B 、F. C 、E 在同一直线上，AC 、DF 相交于点G, AB 丄BE,垂足为氏DE 丄BE,
15.如图13,在AABC 中，AD 是ZBAC 的平分线，交BC 于D, 若 AC=AB+BD, ZC
二30 ,求ZB 的度数。
如图14,公园里有一条“Z”形公路，其中AB 〃CD,在AB 、BC. CD 三段路旁各有一只小石凳E 、\1、F, 且BE
④CD 二DN,其中正确的结论是
（把你认为所有正确结论的序号填上）。
11.如图 9,在 RtAABC 中,ZC=90\
DE 丄AB 于 D,交 AC 于 E,若 BC 二BD, AC=8cm, BC=6cnb AB=10cm,
I) A
12.
（06重庆）如图，A 、 求证：（1） AAEF^ABCD ；
B 在同一直线上,AD 二
BF,
（2） EF 〃CD 。
14. 垂足为E ，且AB=DE, BF=CEo 求证: 如图12,已知AM 是ZXABC 的BC 边上的中线,求证:
16.
则△ ADE 的周长是
B
D 、
、 B
(1) AABC^ADEF ；
图II
A
A
图14
二CF, M在BC的中点。
三只小石凳E、M、F会在一条直线上吗？证明你的结论。
专题8角平分线的性质
知识归纳
1.画法：依据是SSS 。
2. 性质：①角的平分线上的点到角的两边的距离相等；②△的三条角平分线相交于一点。
3. 判定：到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。
4. 重要辅助线：翻折法、作距离。
特别提示
性质是证“线段相等”的又一重要方法；判定是证“角相等”的又一重要方法。
典例精析
则D 到AB 的距离等于 _________ o
7. 如图7, AB 〃CD,点P 至UAB 、BC 、CD 的距离相等，则ZP 二 ____________ 。
8. 如图8, OB 与OC 分别是AABC 的ZB 与ZC 的平分线，那么ZBAO 与ZCAO 大小关系为 _______________ 。
9. 如图9,在ZXABC 中，ZACB=90 , CD 丄AB 于D, AE 是ZBAC 的平分线，CD 交AE 于点F 。
点E
1.如图 1,在ZkABC 中,AD 平分ZCAE, ZB=30°, ZCAD=65°,则ZACD 等于 () A. 5() B. 65° C. 8() D. 95
2.如图 2,在AABD 中，ADM, AB=3, AC 平分ZBAD,则 : S^CD =
()
A. 3:4
B. 4:3
C. 16:19
D.不能确定
3.如图3,在ZXABC 中，ZC 二90", AD 平分ZBAC, DE 丄AB 于E,则下列结论： ①AD 平分ZCDE ；
②ZBAC 二ZBDE ；③DE 平分ZADB ；④BE+AC 二AB 。
其中正确的有
()
A. 2个
B. 3个
C. 4个
D. 1个
ZD 二90 , 4.如图 4, AD/7BC, AP 平分ZDAB,
PB 平分ZABC,点P 恰好在CD 上，则PD 与PC 的大小关系
5. 6. 是
A. PD>PC
B. PD<PC
C. PD 二PC
在△ABC 中,ZC=90\
如图 6,在AABC 中，ZC=90\ AD 平分ZBAC, CD 二6cm, AB=15cm,
BC=16cm, ZBAC 的平分线 AD 交 BC 于 D,且 CD ： D3 = 3：5,
如图5, B
D.
如图11, ZB 二ZC 二90°
, M 是BC 的中点, DM 平分ZADCo 求证：AM 平分ZDAB 图
12.如图 12, PA=PB, Zl+Z2=180°o 求证：0P 平分ZAOBo
13.如图13, AABC 中，P 、Q 分别是BC 、AC 上的点，PR 丄AB 于R, 则
PQ 与AB 是否平行？请说明理由。
14. 如图14, AABC 中，AB 二AC, ZA 二90°, ZB 的平分线交AC 于D,过C 作BD 的垂线,
于 Eo 求证：BD=2CEo
15. 如图，在AABC 中，AB=2AC, AD 平分ZBAC,且 AD 二BD 。
求证：CD 丄AC 。
A
11. 交BD 的延长线
A
B
图15。