圆的“对称性”的应用
圆是轴对称图形图形，对称轴是任意一条过圆心的直线，利用这个“对称性”，我们可以得到垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．结合圆的特点，我们体会它们的用处：
【例1】在直径为1米的圆柱形油槽内装入一些油后,截面如图1所示,若油面宽AB =0.6米,则油的最大深度为_______.
分析：本题考查垂径定理和勾股定理.欲求油的最大深度,就是求图1中弓形高CD =OD －
OC ,所以关键是求OC ,利用勾股定理在△AOC 中可求出.通过本题可看出图中弦长a ,弦心距d ,
半径r ,与弓形高h 四者之间的关系,要特别明确:①r =h +d ;②r 2
=(
2
a )2+d 2
,由两个式子可知对于a 、d 、r 、h 这四个量,已知两个,另外两个一定能求,我们应该熟记.
解:作半径OD ⊥AB 于C ,∴AC =
21AB =0.6×2
1
=0.3. 在Rt △AOC 中,∵OC =22AC OA -=2
2)3.0()5.0(-=0.4,
∴CD =OD －OC =0.5－0.4=0.1(米). ∴油的最大深度为0.1米.
【例2】在半径为5厘米的圆内有两条互相平行的弦,一条弦长为8厘米,另一条弦长为6厘米,则两弦之间的距离为_______.
分析：本题考查垂径定理和勾股定理.根据题意,画出图形,这是与半径、弦长有关的问题,很自然联想到垂径定理,作出垂径,根据弦长a ,圆心到弦的距离d ,半径r 三者之间的关系
r 2=(
2
a )2+d 2
可求出弦心距d ,从而问题解决.解答本题时,一定要注意分两种情况讨论,两条平行弦可能在圆心两侧,也可能在圆心同侧.
解:①如图2所示,如果两条平行弦在圆心两侧, 过O 作EF ⊥AB 于E ,EF ⊥CD 于F ,连结AO 、CO ,
在Rt △AOE 中,OE =22AE OA -=2245-=3, 在Rt △COF 中,OF =22CF OC -=2235-=4, ∴EF =OE +OF =7(厘米).
B
②如图3所示,,
过O 作OE ⊥AB 于E ,延长OE 交CD 于F ,∵AB ∥CD ,则OF ⊥CD . 连结AO 、CO ,
在Rt △AOE 中,OE =22AE OA -=2245-=3, 在Rt △COF 中,OF =22CF OC -=2235-=4, ∴EF =OF －OE =1(厘米).
【例3】已知：如图4，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于P ，CD ＝10cm ，AP ︰PB ＝1︰5． 求：⊙O 的半径．
图3 分析：已知直径AB ⊥弦CD ，利用垂径定理可知PC =
2
1
CD =5cm ，可设AP =x ，PB =5x ，直径AB =6x ，连结OC ，则OC =3x ，把已知和未知集中在Rt △CPO 中，利用勾股定理可以求解．一个圆的半径有无数条，在解题时要利用好这个条件，并能恰当地增添辅助线．连结OC ，构造出一个直角三角形，利用勾股定理便可以使问题得以解决．在圆中有关弦，弦心距，半径的问题常作的辅助线是连半径或作弦心距，常把垂径定理和勾股定理结合起来解题． 解：连结OC
∵ AP ︰PB ＝1︰5，
∴ 设AP ＝x ，PB ＝5x ，AB ＝AP ＋PB ＝6x ，
∵ 直径AB ⊥弦CD ， ∴ PC ＝PD ＝
2
1
CD ＝5cm ， ∵ OC ＋OA ＝3x ， ∴ PO ＝2x ，
在Rt △POC 中，根据勾股定理，得 OC 2
＝PC 2
＋OP 2
． ∴ （3x ）2
＝52
＋（2x ）2
．
解方程，得x ＝±5，x ＝－5不合题意，舍去． ∴ ⊙O 的半径为35cm ．
【例4】“圆材埋壁”是我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题,“今有圆材,埋壁中,不知大小,以锯锯之,深一寸,锯道长一尺,问径几何？”用现在的数学语言表述是:“如图3－2－16所示,CD 为⊙O 的直径,弦AB ⊥CD ,垂足为E , CE =1寸,求直径CD 的长.”
分析：,把文言文翻译成数学语言,然后画出几何图形,再利用数学知识来解决.
解:连结OA .
∵AB ⊥CD ,CD 为直径,∴AE =
21AB =2
1
×10=5(寸). 在Rt △AEO 中,设OA =x ,则OE =x －1,由勾股定理,得x 2
=52
+(x －1)2
,解得x =13. ∴OA =13,∴CD =2AO =26(寸).。